人教A版 (2019)必修 第二册第七章 复数7.2 复数的四则运算学案设计

7.2.1　复数的加、减运算及其几何意义

知识点一　　　复数的加法与减法

(1)复数的加减法运算法则

(a＋bi)±(c＋di)＝(a±c)＋(b±d)i.

(2)复数加法的运算律

复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z1，z2，z3∈C，有z1＋z2＝z2＋z1；(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．

知识点二　　　复数加、减法的几何意义

(1)复数加法的几何意义

设，分别与复数a＋bi，c＋di对应，则＝(a，b)，＝(c，d)．由平面向量的坐标运算法则，得＋＝(a＋c，b＋d)．这说明两个向量与的和就是与复数(a＋c)＋(b＋d)i对应的向量．因此复数的加法可以按照向量加法来进行．

(2)复数减法的几何意义

复数z1－z2是连接向量，的终点，并指向被减向量的向量所对应的复数．设z1＝x1＋y1i，z2＝x2＋y2i，则d＝|Z1Z2|＝||＝|z1－z2|＝|(x1＋y1i)－(x2＋y2i)|＝|(x1－x2)＋(y1－y2)i|＝.

(3)复平面内的两点间距离公式：d＝|z1－z2|.

其中z1，z2是复平面内的两点Z1和Z2所对应的复数，d为Z1和Z2间的距离．

如图：设复数z1，z2对应向量分别为，，四边形OZ1ZZ2为平行四边形，则与z1＋z2对应的向量是，与z1－z2对应的向量是.

复数模的两个重要性质

(1)||z1|－|z2||≤|z1±z2|≤|z1|＋|z2|；

(2)|z1＋z2|2＋|z1－z2|2＝2|z1|2＋2|z2|2.

1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)复数与向量一一对应．(　　)

(2)复数与复数相加减后结果只能是实数．(　　)

(3)因为虚数不能比较大小，所以虚数的模也不能比较大小．(　　)

(4)两个共轭虚数的差为纯虚数．(　　)

答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√

2．做一做

(1)计算：(3＋5i)＋(3－4i)＝________.

(2)(5－6i)＋(－2－2i)－(3＋3i)＝________.

(3)已知向量对应的复数为2－3i，向量对应的复数为3－4i，则向量对应的复数为________．

答案　(1)6＋i　(2)－11i　(3)1－i

题型一  复数的加、减运算

例1　计算：(1)(3－5i)＋(－4－i)－(3＋4i)；

(2)(－7i＋5)－(9－8i)＋(3－2i)．

[解]　(1)原式＝(3－4－3)＋(－5－1－4)i＝－4－10i.

(2)原式＝(5－9＋3)＋(－7＋8－2)i＝－1－i.

复数代数形式的加、减法运算，其运算法则是对它们的实部和虚部分别进行加、减运算．在运算过程中应注意把握每一个复数的实部和虚部．这种运算类似于初中的合并同类项．

计算：(1)(1＋2i)＋(－2＋i)＋(－2－i)＋(1－2i)；

(2)(i2＋i)＋|i|＋(1＋i)．

解　(1)原式＝(－1＋3i)＋(－2－i)＋(1－2i)＝(－3＋2i)＋(1－2i)＝－2.

(2)原式＝(－1＋i)＋＋(1＋i)＝－1＋i＋1＋(1＋i)＝1＋2i.

题型二  复数加、减运算的几何意义

例2　已知四边形ABCD是复平面内的平行四边形，且A，B，C三点对应的复数分别是1＋3i，－i,2＋i，求点D对应的复数．

[解]　解法一：设点D对应的复数为x＋yi(x，y∈R)，

则D(x，y)．

又由已知得A(1,3)，B(0，－1)，C(2,1)，

∴AC中点为，BD中点为.

∵平行四边形对角线互相平分，∴

∴

即点D对应的复数为3＋5i.

解法二：设点D对应的复数为x＋yi(x，y∈R)．

则对应的复数为(x＋yi)－(1＋3i)＝(x－1)＋(y－3)i，

又对应的复数为(2＋i)－(－i)＝2＋2i.

由已知得＝，∴(x－1)＋(y－3)i＝2＋2i，

∴∴

即点D对应的复数为3＋5i.

[条件探究]　若一个平行四边形的三个顶点对应的复数分别为1＋3i，－i,2＋i，求第四个顶点对应的复数．

解　设1＋3i，－i,2＋i对应A，B，C三点，D为第四个顶点，则①当四边形ABCD是平行四边形时，点D对应的复数是3＋5i.②当四边形ABDC是平行四边形时，点D对应的复数为1－3i.③当四边形ADBC是平行四边形时，点D对应的复数为－1＋i.

(1)根据复数的两种几何意义可知：复数的加、减运算可以转化为点的坐标运算或向量运算．

(2)复数的加减运算用向量进行时，同样满足平行四边形法则和三角形法则．

(3)复数及其加减运算的几何意义为数形结合思想在复数中的应用提供了可能．

已知复平面内平行四边形ABCD，A点对应的复数为2＋i，向量对应的复数为1＋2i，向量对应的复数为3－i，求：

(1)点C，D对应的复数；

(2)平行四边形ABCD的面积．

解　(1)因为向量对应的复数为1＋2i，向量对应的复数为3－i，

所以向量对应的复数为(3－i)－(1＋2i)＝2－3i.

又＝＋，所以点C对应的复数为(2＋i)＋(2－3i)＝4－2i.

因为＝，所以向量对应的复数为3－i，即＝(3，－1)，

设D(x，y)，则＝(x－2，y－1)＝(3，－1)，

所以解得

所以点D对应的复数为5.

(2)因为·＝||||cosB，

所以cosB＝＝＝＝.

所以sinB＝＝，

所以S＝||||sinB＝××＝7.

所以平行四边形ABCD的面积为7.

题型三  复数加、减运算的几何意义的应用

例3　已知|z1|＝|z2|＝|z1－z2|＝1，求|z1＋z2|.

[解]　解法一：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，

∵|z1|＝|z2|＝|z1－z2|＝1，

∴a2＋b2＝c2＋d2＝1，①

(a－c)2＋(b－d)2＝1.②

由①②得2ac＋2bd＝1.

∴|z1＋z2|＝

＝＝.

解法二：设O为坐标原点，z1，z2，z1＋z2对应的点分别为A，B，C.

∵|z1|＝|z2|＝|z1－z2|＝1，∴△OAB是边长为1的正三角形，

∴四边形OACB是一个内角为60°，边长为1的菱形，且|z1＋z2|是菱形的较长的对角线OC的长，

∴|z1＋z2|＝|OC|

＝＝.

掌握以下常用结论：

在复平面内，z1，z2对应的点为A，B，z1＋z2对应的点为C，O为坐标原点，则四边形OACB：

①为平行四边形；

②若|z1＋z2|＝|z1－z2|，则四边形OACB为矩形；

③若|z1|＝|z2|，则四边形OACB为菱形；

④若|z1|＝|z2|且|z1＋z2|＝|z1－z2|，则四边形OACB为正方形．

若复数z满足|z＋i|＋|z－i|＝2，求|z＋i＋1|的最小值．

解　解法一：设复数－i，i，－(1＋i)在复平面内对应的点分别为Z1，Z2，Z3.如图，

因为|z＋i|＋|z－i|＝2，|Z1Z2|＝2，

所以复数z对应的点Z的集合为线段Z1Z2.

问题转化为：动点Z在线段Z1Z2上移动，求|ZZ3|的最小值，由图可知|Z1Z3|为最小值且最小值为1.

解法二：设z＝x＋yi(x，y∈R)．

因为|z＋i|＋|z－i|＝2，

所以＋＝2，

又＝2－≥0，

所以0≤ ≤2，

因为＝2－，

所以两边平方可得1－y＝，

即(1－y)2＝x2＋(y－1)2，且0≤1－y≤2.

所以x＝0且－1≤y≤1，则z＝yi(－1≤y≤1)．

所以|z＋i＋1|＝|1＋(y＋1)i|＝≥1，

等号在y＝－1即z＝－i时成立．

所以|z＋i＋1|的最小值为1.

1．复数z1＝3＋i，z2＝1－i，则z1－z2在复平面内对应的点位于(　　)

A．第一象限  B．第二象限

C．第三象限  D．第四象限

答案　A

解析　∵z1－z2＝(3＋i)－(1－i)＝2＋2i，∴z1－z2在复平面内对应的点位于第一象限．

2．已知|z|＝3，且z＋3i是纯虚数，则等于(　　)

A．－3i   B．3i

C．±3i   D．4i

答案　A

解析　设z＝x＋yi(x，y∈R)，由z＋3i＝x＋(y＋3)i为纯虚数，得x＝0，且y≠－3，又|z|＝＝|y|＝3，∴y＝3，∴z＝3i，∴＝－3i.故选A.

3．非零复数z1，z2分别对应复平面内的向量O，O，若|z1＋z2|＝|z1－z2|，则(　　)

A．O＝O   B．|O|＝|O|

C．O⊥O   D．O，O共线

答案　C

解析　如图，由向量的加法及减法法则可知，O＝O＋O，B＝O－O.由复数加法及减法的几何意义可知，|z1＋z2|对应O的模，|z1－z2|对应B的模．又|z1＋z2|＝|z1－z2|，所以四边形OACB是矩形，则O⊥O.

4．复数z满足z－(1－i)＝2i，则z等于(　　)

A．1＋i   B．－1－i

C．－1＋i   D．1－i

答案　A

解析　z＝2i＋(1－i)＝1＋i.故选A.

5．如图所示，平行四边形OABC的顶点O，A，C分别对应复数0,3＋2i，－2＋4i.求：

(1)向量对应的复数．

(2)向量对应的复数．

(3)向量对应的复数．

解　(1)因为＝－，所以向量对应的复数为－3－2i.

(2)因为＝－，所以向量对应的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i.

(3)因为＝＋，所以向量对应的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i.