2023-2024学年江苏省宿迁市泗阳县八年级（上）月考数学试卷（10月份）（含解析）

2023-2024学年江苏省宿迁市泗阳县八年级（上）月考数学试卷（10月份）

一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.二十四节气是历法中表示自然节律变化以及确立“十二月建”的特定节令下面四幅设计作品分别代表“立春”、“芒种”、“白露”、“大雪”，其中轴对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.下列说法正确的是(    )

A. 两个等边三角形一定全等 B. 形状相同的两个三角形全等
C. 面积相等的两个三角形全等 D. 全等三角形的面积一定相等

3.如图，，若，，则的度数为(    )

 

A.  B.  C.  D.

4.如图，要测量河两岸相对的两点、的距离，先在的垂线上取两点、，使，再作出的垂线，使点、、在同一条直线上如图，可以说明≌，得，因此测得的长就是的长，判定≌，最恰当的理由是(    )

 

A.  B.  C.  D.

5.如图，已知，下列所给条件不能证明≌的是(    )

A.
B.
C.
D.

6.下列条件中，能判断两个直角三角形全等的是(    )

A. 有两条边分别相等 B. 有一个锐角和一条边相等
C. 有一条斜边相等 D. 有一直角边和斜边上的高分别相等

7.三个全等三角形按如图的形式摆放，则的度数是(    )

 

A.  B.  C.  D.

8.如图，在中，，平分，于，有下列结论：；；；平分；：：，其中正确的有
(    )
 

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）

9.在镜子中看到的一串数字是“
”则这串数字是______ ．

10.如图，如果≌，周长是，，，，则______．

11.如图，，，，，，则______．

 

12.将以长方形纸片如图折叠，若，则 ______ ．

13.如图所示的网格是正方形网格，图形的各个顶点均为格点，则_______．

 

14.如图，，只需补充条件______ ，就可以根据“”得到≌．

15.如图，点是外的一点，点，分别是两边上的点，点关于的对称点恰好落在线段上，点关于的对称点落在的延长线上若，，，则线段的长为______ ．

16.我们把顶点在小正方形顶点上的三角形叫做格点三角形，在如图所示的方格纸中，除了格点三角形外，可画出与全等的格点三角形共有______ 个

17.中，，，将折叠，使得点与点重合，折痕分别交、于点、，当中有两个角相等时，的度数为______．

18.如图，中，，为中点，为上一点，交的延长线于点，则四边形周长的最小值是______ ．

三、解答题（本大题共10小题，共96.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19.本小题分

如图，点、、、在同一条直线上，点、在直线的异侧，，，求证：≌．

20.本小题分

如图，在中，，是的平分线，于点，点在上，证明：
．
．

21.本小题分
如图，，，，，图中、有怎样的大小和位置关系？试证明你的结论．

22.本小题分
如图，在中，，．
尺规作图：作边的垂直平分线交于点；
连接，作的平分线交于点；要求：保留作图痕迹，不写作法
在所作的图中，求的度数．
 

23.本小题分

如图，，，点、分别在边、上，，过点作，且点在的延长线上．
与全等吗？为什么？
若，，求的长．

24.本小题分
已知如图，的平分线与的垂直平分线相交于点，，，垂足分别为、．

求证：；
若，，求的长．

25.本小题分
如图，在中，、分别垂直平分和，交于、两点，与相交于点．

若的周长为，求的长；
若，求的度数．

26.本小题分

如图，中，点在边上，，的平分线交于点，过点作，垂足为，且，连接．
求的度数；
求证：平分；
若，，，且，求的面积．

27.本小题分
我们学习了判定两个三角形全等的个基本事实、、、个推论，以及直角三角形全等的判定定理善于思考的小聪和小明对“两边及其中一边的对角分别对应相等的两个三角形是否全等简称”进行探究．

【探究发现】他们探究发现：在两个均为锐角三角形或均为钝角三角形中，两边及其中一边的对角分别对应相等的两个三角形全等．
【推理证明】在和中，和均为钝角，，，，求证：≌【结论应用】三角形为等边三角形，是外角的平分线，点在边上，点在上，且，求的度数．

28.本小题分
【问题呈现】我们曾做过这样的实验：画，并画的平分线把三角尺的直角顶点落在的任意一点上，使三角尺的两条直角边分别与、相交于点、．
如图，若，，则 ______ ；填“或”
把三角尺绕点旋转如图，则 ______ ；填“或”
在三角板绕着点的旋转过程中，四边形的面积是否发生变化？请说明理由．
【拓展延伸】
若在三角板绕着点的旋转过程中，使三角尺一条直角边交的反向延长线于点，另一条直角边相交于点上述的结论还成立吗？请自己画图加以说明．
【深入探究】如图，若将改为，并画的平分线，把三角尺角即的顶点落在上，使三角尺一条边交的反向延长线于点，另一条边相交于点．
请直接写出个正确的结论： ______ ； ______ ．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B.不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C.不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D.是轴对称图形，故本选项符合题意；
故选：．
根据轴对称图形的定义逐个判断即可．
本题考查了轴对称图形的定义，注意：一个图形延一条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫轴对称图形．

2.【答案】 

【解析】解：、两个边长不相等的等边三角形不全等，故本选项错误；
B、形状相同，边长不对应相等的两个三角形不全等，故本选项错误；
C、面积相等的两个三角形不一定全等，故本选项错误；
D、全等三角形的面积一定相等，故本选项正确．
故选D．
根据全等图形的性质对各选项进行逐一分析即可．
本题考查的是全等图形，熟知全等三角形的判定与性质是解答此题的关键．

3.【答案】 

【解析】解：，
，
．
故选：．
直接利用全等三角形的性质得出答案．
此题主要考查了全等三角形的性质，正确得出对应角是解题关键．

4.【答案】 

【解析】【分析】
此题考查了全等三角形的应用，判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、，做题时注意选择．注意：、不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．根据全等三角形的判定进行判断，注意看题目中提供了哪些证明全等的要素，要根据已知选择判断方法．
【解答】
解：因为证明在≌用到的条件是：，，，
所以用到的是两角及这两角的夹边对应相等即这一方法．
故选D．

5.【答案】 

【解析】解：、添加可利用判定≌，故此选项不合题意；
B、添加可利用定理判定≌，故此选项不合题意；
C、添加可利用定理判定≌，故此选项不合题意；
D、添加不能判定≌，故此选项符合题意．
故选：．
根据题目所给条件，再加上公共边，然后再结合判定定理分别进行分析即可．
本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、．
注意：、不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．

6.【答案】 

【解析】解：两边分别相等，但是不一定是对应边，不一定能判定两直角三角形全等，故此选项不符合题意；
B.一个锐角和一条边相等，不一定能判定两直角三角形全等，故此选项不符合题意；
C.有一条斜边相等，两直角边不一定对应相等，不能判定两直角三角形全等，故此选项不符合题意；
D.有一条直角边和斜边上的高对应相等的两个直角三角形全等，故此选项符合题意；
故选：．
根据全等三角形的判定定理：、、、及直角三角形的判定定理对个选项逐个进行分析，即可得出答案．
此题主要考查了直角三角形全等的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题关键．

7.【答案】 

【解析】解：如图所示：
由图形可得：，
三个全等三角形，
，
又，
，
的度数是．
故选：．
直接利用平角的定义结合三角形内角和定理以及全等三角形的性质得出，，进而得出答案．
此题主要考查了全等三角形的性质以及三角形内角和定理，正确掌握全等三角形的性质是解题关键．

8.【答案】 

【解析】【分析】
本题主要考查三角形全等的判定与性质以及角平分的判定与性质，同角的余角性质，三角形面积，属于中档题．
综合利用题目所给条件逐条分析即可．
【解答】
解：
正确，因为角平分线上的点到角两边的距离相等；
正确，因为由可知，所以，即；
正确，因为和都与互余，根据同角的余角相等，所以；
正确，因为由可知，，所以平分；
正确，因为，和的高相等，所以：：．
所以正确的有五个．
故选A．

9.【答案】 

【解析】解：是从镜子中看，
对称轴为竖直方向的直线，
镜子中数字的顺序与实际数字顺序相反，
这串数字应为：，
故答案为：．
根据镜面对称的性质解答即可．
本题考查轴对称中的镜面对称问题，解题的关键是理解镜面对称的性质：从镜子中看，对称轴为竖直方向的直线，镜子中数字的顺序与实际数字顺序相反．

10.【答案】 

【解析】解：．
≌，，
．
故答案为．
根据周长是，，就可求出第三边的长，根据全等三角形的对应边相等，即可求得的长．
本题考查全等三角形的性质，解题时应注重识别全等三角形中的对应边，要根据对应角去找对应边．

11.【答案】 

【解析】【分析】
本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的外角性质的应用，解此题的关键是推出≌．
求出，证≌，推出，根据三角形的外角性质求出即可．
【解答】
解：，
，
．
在和中，

≌，
．
，
．
故答案为：．

12.【答案】 

【解析】【分析】
根据平行线的性质可得，，然后可得的度数，进而可得答案．
此题主要考查了平行线的性质，关键是掌握两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．
【解答】
解：，
，，
根据折叠可得：，
，
故答案为：．

13.【答案】 

【解析】【分析】
此题主要考查了全等三角形的判定和性质，正确借助网格分析是解题关键．直接利用网格证明≌，得出对应角，进而得出答案．
解：如图所示：

在和中

≌，
，
．
故答案为：．

14.【答案】 

【解析】解：补充条件．
理由：在和中，
，
所以≌．
故答案为：．
根据的判定方法可得出答案．
此题主要考查了全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、．

15.【答案】 

【解析】解：点关于的对称点恰好落在线段上，
垂直平分，
，
，
点关于的对称点落在的延长线上，
垂直平分，
，
．
故答案为：．
根据轴对称的性质得到垂直平分，垂直平分，则利用线段垂直平分线的性质得，，然后计算，再计算即可．
本题考查了轴对称的性质：如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．

16.【答案】 

【解析】解：用判定两三角形全等，所以共有个全等三角形，
除去外有个与全等的三角形．
故答案为：．
用判定两三角形全等．认真观察图形可得答案．
此题主要考查了全等三角形的判定以及格点三角形的定义，利用数形结合与分类讨论是解决问题的关键．

17.【答案】或或 

【解析】解：将折叠，使得点与点重合，
，
当时，
，，
，
当时，，
，
当时，，
故答案为：或或．
由于没有说中哪两个角相等，所以要进行分类讨论，分三种情况分别计算即可．
本题考查折叠，三角形内角和定理，三角形外角定理，解题的关键是分类讨论，做到不重不漏．

18.【答案】 

【解析】解：，
，
在和中，
，
≌，
，
，
当时，最短，此时，
四边形周长的最小值为，
故答案为．
由条件易知与全等，从而，则，所以只需最小即可，由垂线段最短原理可知，当垂直时最短．
本题主要考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质、垂线段最短原理，难度中等．识别出≌，并将问题转化为求的最小值是解答本题的关键．

19.【答案】证明：，
，即．
在和中，
，
≌． 

【解析】根据，可以得到，然后根据题目中的条件，利用证明≌即可．
本题重点考查了三角形全等的判定定理，普通两个三角形全等共有四个定理，即、、、，直角三角形可用定理，但、，无法证明三角形全等，本题是一道较为简单的题目．

20.【答案】证明：，是的平分线，，
，
在与中，
，
≌，
；
在和中，
，
≌，
，
，
． 

【解析】通过证明≌，即可得出结论；
通过证明≌，得，再进行等量代换即可．
本题主要考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质等知识，熟记角平分线的性质是解题的关键．

21.【答案】解：，．
证明：设和交于点，

，
，
在和中，

≌，
，，
，，
，
． 

【解析】本题考查了全等三角形的判定与性质等知识点，利用全等三角形得出线段相等和角相等是解题的关键．
根据即可求得≌，求得因为，根据三角形的内角和定理就可求得，从而证得．

22.【答案】解：如图，直线，射线即为所求．

因为垂直平分线段，
所以，
所以，
因为，
所以，
所以，
因为平分，
所以． 

【解析】利用尺规作出线段的垂直平分线，交于，交于，连接；作的角平分线交于，直线，射线即为所求．
首先证明，推出，利用三角形内角和定理求出，即可解决问题．
本题考查作图基本作图，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．

23.【答案】解：全等．
证明：，
，
在和中，
，
≌；
，，
，
≌，
，，
，
，
，
在和中，
，
≌
．
≌，
，
． 

【解析】先证明，然后依据证明两个三角形全等即可；
依据证明≌，从而可得到，然后再由可得到．
本题主要考查的是全等三角形的性质和判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定解题的关键．

24.【答案】解：连、，如图，

平分，，，
，
又垂直平分，
，
在和中
，
≌，
；

在和中
，
≌，
，
设，则，
，
，解得，
即． 

【解析】连、，如图，根据角平行线的性质定理得到，根据线段垂直平分线的性质得，则可利用““证明≌，从而得到；
先证明≌得到，设，则，而，则，然后解方程求出即可．
本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．也考查了角平分线的性质．

25.【答案】解：因为、分别垂直平分和，
所以，，
所以的周长，
因为的周长为，
所以；
因为，
所以，
因为，，
所以，
所以，
因为，，
所以，，
所以． 

【解析】本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质、等边对等角的性质、三角形的内角和定理，整体思想的利用是解题的关键．
根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得，，然后求出的周长；
根据三角形的内角和定理列式求出，再求出，根据等边对等角可得，，然后利用三角形的内角和定理列式计算即可得解．

26.【答案】解：，，
，
，
；
证明：过点作于，于，
，，，
，
平分，，，
，
，
，，
平分；
解：，
，即，
解得，，
，
的面积． 

【解析】根据直角三角形的性质求出，根据补角的定义计算，得到答案；
过点作于，于，根据角平分线的性质得到，，等量代换得到，根据角平分线的判定定理证明结论；
根据三角形的面积公式求出，再根据三角形的面积公式计算，得到答案．
本题考查的是角平分线的性质、三角形的面积计算，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．

27.【答案】【探究发现】解：两边及其中一边的对角分别对应相等的两个三角形，无法确定第三边上的另一个角是锐角还是钝角，
两边及其中一边的对角分别对应相等的两个三角形不一定全等，
在两个均为锐角三角形或均为钝角三角形中，两边及其中一边的对角分别对应相等的两个三角形全等，
例如：如图，和都是锐角三角形，，，，求证：≌．
证明：作于点，于点，则，
在和中，
，
≌，
，
在和中，
，
≌，
，
在和中，
，
≌．
【推理证明】证明：如图，作交的延长线于点，交的延长线于点，则，
，，且，
，
在和中，
，
≌，
，
在和中，
，
≌，
，
在和中，
，
≌．
【结论应用】解：如图，作，交于点，则，
为等边三角形，
，
，，
，
是等边三角形，，
，
，平分，
，
，
，
作于点，交的延长线于点，则，
，
平分，
，
在和中，
，
≌，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，
，
的度数是． 

【解析】【探究发现】两边及其中一边的对角分别对应相等的两个三角形不一定全等的原因是无法确定第三边上的另一个角是锐角还是钝角，因此在两个均为锐角三角形或均为钝角三角形中，两边及其中一边的对角分别对应相等的两个三角形全等，举例：和都是锐角三角形，，，，求证：≌，作于点，于点，先证明≌，得，再证明≌，得，即可证明≌；
【推理证明】作交的延长线于点，交的延长线于点，可证明≌，得，再证明≌，得，即可证明≌；
【结论应用】作，交于点，则，可证明是等边三角形，，则，再推导出，作于点，交的延长线于点，由角平分线的性质得，即可证明≌，得，再证明≌，得，于是得，可求得，则．
此题重点考查全等三角形的判定与性质、等角的补角相等、等边三角形的性质、角平分线的性质、三角形内角和定理等知识，此题综合性强，难度较大，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．

28.【答案】       

【解析】解：平分，，，
；
故答案为：；
当与垂直时，由可得；
当与不垂直时，如图，作于点，于点，

，，，
≌，
，
，，
，
，
，
，
≌，
，
综上所述，，
故答案为：；
四边形的面积不会变化，理由如下：
，，，
四边形是矩形，
，
四边形是正方形，
≌，
，
四边形的面积，
点是定点，
是定长，
四边形的面积，是定值；
【拓展延伸】结论成立，理由如下：作于点，于点，

，，，
≌，
，
，，
，
，
，
，
≌，
；
【深入探究】结论，结论，

理由如下：作于点，于点，
平分，，，
，，
，
，
，，，
，
，
，
又，
≌，
；，
．
由角平分线的性质可得；
由“”可证≌，可得，由“”可证≌，可得；
由全等三角形的性质可得，可得四边形的面积，即可求解；
【拓展延伸】由“”可证≌，可得，由“”可证≌，可得；
【深入探究】由角平分线的性质可得，由“”可证≌，可得；，由线段的数量关系可求解．
本题是四边形综合题，考查的是角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．