2023-2024学年陕西省西安市灞桥区联考高二（上）第一次月考数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年陕西省西安市灞桥区联考高二（上）第一次月考数学试卷（含解析），共20页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023-2024学年陕西省西安市灞桥区联考高二（上）第一次月考数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.直线在轴上的截距为，在轴上的截距为，则(    )A. ， B. ，
C. ， D. ，2.若，，三点共线，则(    )A.  B.  C.  D. 3.若直线是圆的一条对称轴，则(    )A.  B.  C.  D. 4.圆：与圆：的公切线有(    )A. 条 B. 条 C. 条 D. 条5.如图，在圆锥中，是底面圆的直径，，分别为，的中点，，，则直线与直线所成角的余弦值为(    )A.
B.
C.
D. 6.若某等腰直角三角形斜边所在直线的倾斜角为，则该三角形两条直角边所在直线的斜率之和为(    )A.  B.  C.  D. 7.如图，在正四棱柱中，，点，，分别在棱，，上，，，，则点到平面的距离为(    )A.
B.
C.
D. 8.如图，在四棱锥中，底面，底面是矩形，，，是的中点，若点在矩形内，且平面，则(    )A.
B.
C.
D. 二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）9.已知直线：，：，则下列说法正确的是(    )A. 若，则
B. 若，则
C. 过定点
D. 当时，与之间的距离的最大值为10.如图，在四棱柱中，四边形是正方形，，，且，则(    )A.
B.
C.
D. 直线与平面所成的角为11.已知直线：与圆：交于，两点，下列说法正确的是(    )A. 的最小值是
B. 若过点的直线垂直平分弦，则
C. 的面积的最大值是
D. 中点的轨迹方程为12.清初著名数学家孔林宗曾提出一种“蒺藜形多面体”，其可由两个正交的正四面体组合而成，如图，也可由正方体切割而成，如图在图所示的“蒺藜形多面体”中，若，则给出的说法中正确的是(    )

 A. 该几何体的表面积为
B. 该几何体的体积为
C. 二面角的余弦值为
D. 若点，在线段，上移动，则的最小值为三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若，，且，则 ______ ．14.如图，圆和圆的圆心分别为，，半径都为，写出一条与圆和圆都相切的直线的方程：______ ．
 15.在正四棱台中，，，，，，若平面，则 ______ ．
16.已知，为圆上的动点，点在轴上，若，则点的坐标为______ ；若点为直线上的动点，则的最小值为______ ．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.本小题分
已知的三个顶点的坐标分别为，，．
求点到直线的距离；
求边上的高所在直线的方程．18.本小题分

如图，在直四棱柱中，，，，，，分别为棱，，的中点．
求的值；
证明：，，，四点共面．
19.本小题分

图，在正方体中，，，分别是，，的中点．
证明：G.
求直线与平面所成角的正弦值．
20.本小题分
已知直线：，圆：．
若直线与圆相离，求的取值范围．
若直线与圆交于，两点，是否存在过点的直线垂直平分弦？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．21.本小题分
已知圆：，过点的直线与交于点，，且．
求的方程；
设为坐标原点，求．22.本小题分

如图，在四面体中，，，，，，，，分别为棱，，的中点，点在线段上．
若平面，试确定点的位置，并说明理由；
求平面与平面的夹角的取值范围．

答案和解析 1.【答案】 【解析】解：令，解得，故；
令，解得，故．
故选：．
根据截距的定义计算即可．
本题考查的知识要点：直线的方程的求法，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．2.【答案】 【解析】解：因为，，所以，
解得故．
故选：．
根据空间向量平行坐标关系计算求解即可．
本题考查的知识要点：向量的运算，三点共线，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．3.【答案】 【解析】解：由题意直线是圆的一条对称轴，
则直线过圆心，则，解得．
故选：．
通过直线经过圆的圆心，列出方程求解即可．
本题考查直线与圆的位置关系的应用，是基础题．4.【答案】 【解析】解：由圆：与圆：，
可得圆的标准方程为，圆心坐标为，半径为．
圆与圆的圆心距为，等于两个圆的半径之和，
所以圆与圆外切，故圆与圆的公切线有条．
故选：．
求出两圆的圆心坐标与半径，由圆心距与半径间的关系可知两圆相离，从而得到两圆公切线的条数．
本题考查圆与圆的位置关系，考查圆的公切线条数的确定，是基础题．5.【答案】 【解析】解：以点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
由于，分别为，的中点，，，
则，，，，
，，
．

故选：．
将向量表示出来，代入夹角公式即可计算求值．
本题考查利用向量的夹角公式计算异面直线所称的角，属于基础题．6.【答案】 【解析】解：作草图，如图所示，因为直线的倾斜角为，
则，，
所以直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，
所以．
故选：．
由已知结合等腰直角三角形的性质先求出，进而可求直线，的倾斜角，再由斜率与倾斜角关系可求．
本题主要考查了直线的倾斜角与斜率关系的应用，属于基础题．7.【答案】 【解析】解：在正四棱柱中，，点，，分别在棱，，上，，，，
以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，
，，．
设平面的法向量为，
则，令，得，
点到平面的距离为．
故选：．
以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出点到平面的距离．
本题考查正四棱柱结构特征、点到平面的距离等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．8.【答案】 【解析】解：如图，以为坐标原点，，，的方向分别为，，轴的正方向，建立空间直角坐标系，

则，，，，
，，
设平面的法向量为，
则，令，得．
设，则，
平面，，
则，解得，．
故．
故选：．
建立空间直角坐标系，求得平面的一个法向量，设点，求得直线的方向向量，通过平面，建立关于，的方程，确定，的值，即可求解．
本题考查线面垂直的判定与性质、两点间距离公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．9.【答案】 【解析】解：直线：，：，
对于，当时，
则，即，A正确；
对于，当时，
则，且，B错误；
对于，过定点，C正确；
过定点，
故与之间的距离的最大值为，D正确．
故选：．
根据已知条件，结合直线平行、垂直的性质，以及两点之间的距离公式，即可求解．
本题主要考查直线平行、垂直的性质，以及两点之间的距离公式，属于基础题．10.【答案】 【解析】解：，A正确；
，B错误；
，故，C正确；
连接，如下图：

即直线与平面所成的角，，，D正确．
故选：．，D正确．
故选：．
空间向量的线性运算可判断A正确；空间向量的数量积运算可判断B错误；计算向量的模可判断C正确；根据直线与平面的夹角可判断D正确．
本题考查空间向量的线性运算、数量积、模、线面角等内容，属于中档题．11.【答案】 【解析】解：由得令，
解得，直线过定点，由，得，
可得圆心，半径，
当直线时，取得最小值，最小值为：，故A正确．
直线的斜率为，
直线垂直平分弦，直线的斜率为，即，解得，故B正确．
设圆心到直线的距离为，的面积为，
，，故C错误．
设的中点为，易得，则，
整理得，即，
直线的斜率为过定点，且斜率为的直线，与圆的相交弦的中点坐标为，故AB中点的轨迹方程为，故D正确．
故选：．
求解直线系经过的定点，然后求解弦长的最小值判断；通过直线的垂直关系，求解判断；求解三角形的面积判断；求解轨迹方程判断．
本题考查直线与圆的位置关系的综合应用，轨迹方程的求法，考查转化思想以及计算能力，是中档题．12.【答案】 【解析】解：“蒺藜形多面体”，其可由两个正交的正四面体组合而成，如图，
也可由正方体切割而成，如图在图所示的“蒺藜形多面体”中，
因为，所以该几何体的表面积为，故A错误；
该几何体的体积为，故B正确；
设的中点为，连接，，如图，

则即二面角的平面角．，，故C正确；
建立如图所示的空间直角坐标系，

设，，
，
当且仅当，时，等号成立．
故的最小值为，故D正确．
故选：．
求出，由此能求出该几何体的表面积，判断；求出该几何体的体积，判断；设的中点为，连接，，则即二面角的平面角，利用余弦定理判断；建立空间直角坐标系，利用向量法判断．
本题考查几何体的表面积、体积公式、余弦定理等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．13.【答案】 【解析】解：，，且，
，
．
故答案为：．
由题意，利用两个向量垂直的性质，两个向量的的数量积公式，两个向量坐标形式的运算法则，计算求得值．
本题主要考查两个向量垂直的性质，两个向量的的数量积公式，两个向量坐标形式的运算法则的应用，属于基础题．14.【答案】或或 【解析】解：圆和圆的圆心分别为，，半径都为，
，两个圆的位置关系是外切，，中点坐标，
所以一条公切线方程为：，即．
设切线方程为，可得，解得或，
所以公切线方程为：或或．
故答案为：或或．
判断两个圆的位置关系，然后求解切线方程．
本题考查直线与圆的位置关系的应用，切线方程的求法，是中档题．15.【答案】 【解析】解：连接，设，平面平面．

因为平面，所以，正方形中，，
则，同理，则，
，
，
因为，所以．
故答案为：．
用向量将与表示出来，根据共线向量的性质即可求值．
本题考查向量的线性运算，属于中档题．16.【答案】  【解析】解：设，，
因为，所以，
结合，可得，当时，上式恒成立，所以．，点到直线的距离为，
故．
故答案为：．
设，，通过，可得，转化求解即可．，结合点到直线的距离，推出结果即可．
本题考查直线与圆的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．17.【答案】解：，，
则，
直线的方程为，即，
，
点到直线的距离为；
结合可得，边上的高所在直线的斜率为，
边上的高所在直线的方程为，即． 【解析】先求出直线的方程，再结合点到直线的距离公式，即可求解；
结合直线垂直的性质，即可求解．
本题主要考查点到直线的距离公式，以及直线垂直的性质，属于基础题．18.【答案】解：以点为坐标原点，直线，，分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，．，．

．
证明：．
令，根据向量的坐标的对应关系，整理得，
解得，所以．
故C，，，四点共面． 【解析】首先建立空间直角坐标系，进一步求出结果；
利用向量的坐标运算求出结果．
本题考查的知识要点：向量的坐标运算，向量的共线，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．19.【答案】解：证明：方法一：证明方法一：正方体的棱长为，以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，，．

，，，．
因为，所以，即G.
方法二：连接G.

在正方体中，平面，所以．
因为，所以．
因为，所以，，，四点共面，
在正方形中，，分别是边，的中点，可得≌，
所以，，所以G.
因为，，平面，所以平面．
因为平面，所以G.
因为，所以，即．
因为，，平面，
所以平面，即为平面的一个法向量．
设直线与平面所成的角为，
则．
故直线与平面所成角的正弦值为． 【解析】方法一：建立空间直角坐标系，证明得；
方法二：连接，证明平面得；
证明为平面的一个法向量，用空间向量运算求线面角．
本题考查证明异面直线的垂直与求线面角，需要熟练应用空间向量，属于中档题．20.【答案】解：圆：，即：．
因为直线与圆相离，所以，
化简得，解得或，
故的取值范围为：．
若存在直线垂直平分弦，则直线必过圆心，
直线的斜率，
因为直线垂直平分弦，所以直线的斜率为．
结合可得，当直线的斜率为时，直线与圆相离，与题设矛盾．
故不存在过点的直线垂直平分弦． 【解析】利用圆心到直线的距离与半径，列出不等式，求解即可．
求解直线方程，结合判断即可．
本题考查直线与圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．21.【答案】解：将化为标准方程，得，
则的圆心为，半径，
当直线的斜率不存在时，的方程为．
此时圆心到的距离，，不符合题意，
故直线的斜率存在，设的方程为，即．
圆心到的距离，
由垂径定理可得，即，解得．
故直线的方程为．
联立，整理得．
设，，则，，
，
故． 【解析】分直线的斜率是否存在讨论，由垂径定理即可求解；
由韦达定理和向量的数量积的坐标运算公式即可求解．
本题考查了直线和圆的位置关系，向量的数量积，属于中档题．22.【答案】解：若平面，则为的中点，理由如下：
因为，分别为，的中点，
所以，
因为平面，
所以平面，
若平面，只需即可，
因为为的中点，
所以为的中点．
过点作平面，垂足为，连接，，
设，
因为，，
所以，，，，
在中，，，
因为，
所以，
解得，
所以，
以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系：

则，，，，
过点作，垂足为，作，垂足为，
设，则，，
所以，，，，，
设平面的法向量为，
则，
令，则，，
所以，
设平面的法向量为，
则，
令，则，
所以，
当时，，
当时，，
令，则，
因为函数为开口向上，对称轴为，
所以函数在上单调递增，
所以
所以，即
所以，
所以平面与平面的夹角的取值范围为． 【解析】由中位线定理可得，由线面平行的判定定理可得平面，若平面，只需即可，进而可得答案．
过点作平面，垂足为，连接，，设，根据题意解得的值，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面的法向量，平面的法向量为，再由数量积公式，进而可得答案．
本题考查直线与平面的位置关系，二面角，解题关键是空间向量法的应用，属于中档题．