2023-2024学年重庆重点中学高二（上）月考数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年重庆重点中学高二（上）月考数学试卷（含解析），共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023-2024学年重庆重点中学高二（上）月考数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.设直线，的斜率和倾斜角分别为，和，，则“”是“”的(    )A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件2.已知向量，，且，其中，，则(    )A.  B.  C.  D. 3.已知空间向量，，且，则(    )A.  B.  C.  D. 4.已知点，，若点在线段上，则的取值范围(    )A.  B.
C.  D. 5.已知在空间单位正交基底下，是空间的一组单位正交基底，是空间的另一组基底若向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标为(    )A.  B.  C.  D. 6.如图，正四棱锥中，已知，，，，则(    )A.
B.
C.
D. 7.在正方体中，点满足，且，若二面角的大小为，为的中心，则(    )A.  B.  C.  D. 8.我国古代数学名著九章算术中记载的“刍甍”是底面为矩形，顶部只有一条棱的五面体．如下图五面体是一个刍甍，其中四边形为矩形，其中，，与都是等边三角形，且二面角与相等，则长度的取值范围为(    )
A.  B.  C.  D. 二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）9.在以下命题中，不正确的命题有(    )A. 是，共线的充要条件
B. 若，则存在唯一的实数，使
C. 对空间任意一点和不共线的三点，，，若，则，，，四点共面
D. 已知，是夹角为的两个单位向量，则向量在向量上的投影向量为：10.已知点是平行四边形所在的平面外一点，如果，，，下列结论正确的有(    )A.  B. 四边形为矩形
C. 是平面的一个法向量 D. 11.设是空间的一组基底，则下列结论正确的是(    )A. ，，可以为任意向量
B. 对空间任一向量，存在唯一有序实数组，使
C. 若，，则
D. 可以作为构成空间的一组基底12.如图，在边长为的正方形中，点是边的中点，将沿翻折到，连结，，在翻折到的过程中，下列说法正确的是(    )
 A. 四棱锥的体积的最大值为
B. 当面平面时，二面角的正切值为
C. 存在某一翻折位置，使得
D. 棱的中点为，则的长为定值三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.过点且与直线平行的直线的方程为______．14.直线：恒过的定点坐标为______．15.已知，，三点不共线，对平面外一点，给出下列表达式：，其中，是实数，若点与，，四点共面，则______．16.在边长为的菱形中，，沿对角线将折起，使与成角，则此时、两点之间的距离为______ ．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.本小题分
直线的方程为．
若在两坐标轴上的截距相等，求的值；
若不经过第二象限，求实数的取值范围．18.本小题分

如图，平行六面体中，底面是边长为的正方形，，设，，
试用，，表示向量、；
若，求直线与所成的角．
19.本小题分
如图，在四棱柱中，平面，底面满足，且，．
Ⅰ求证：平面；
Ⅱ求直线与平面所成角的正弦值．
20.本小题分

如图所示，直角梯形中，，，，四边形为矩形，，平面平面．
求证：平面平面；
求二面角的余弦值．
21.本小题分

如图，在四棱锥中，四边形是矩形，是正三角形，且平面平面，，为棱的中点，四棱锥的体积为．
若为棱的中点，求证：平面；
在棱上是否存在点，使得平面与平面所成锐二面角的余弦值为？若存在，指出点的位置并给以证明；若不存在，请说明理由．
22.本小题分
如图，已知三棱柱的侧棱与底面垂直，，，、分别是、的中点，点在上，且满足．
证明：；
当取何值时，直线与平面所成的角最大？并求该最大角的正切值；
若平面与平面所成的二面角为，试确定点的位置．

答案和解析 1.【答案】 【解析】解：直线，的斜率和倾斜角分别为，和，，
当倾斜角均为锐角时，和均为钝角时，若“”则“”，若“”则“”，
当倾斜角一个为锐角一个为钝角时，若“”则“与”的大小不能确定，若“”则“与”的大小也不能确定，
故则“”是“”的既不充分也不必要条件，
故选：
根据直线倾斜角和斜率之间的关系，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可
本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用倾斜角和斜率之间的关系是解决本题的关键，属于基础题．2.【答案】 【解析】解：向量，，且，其中，，
，
解得，，
．
故选：．
由，利用向量平行的性质列出方程，从而求出，，由此能求出．
本题考查实数值求和，考查向量平行的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3.【答案】 【解析】【分析】本题考查空间向量垂直的坐标表示，属于基础题．
由，根据空间向量数量积的坐标运算，即可得解．【解答】
解：因为，
所以，解得．
故选B．4.【答案】 【解析】解：设，则，
因为点在线段上，
所以的取值范围是．

故选：．
设，分别求出，，根据表示直线的斜率即可得到结果．
本题考查了直线的斜率，是基础题．5.【答案】 【解析】解：设在基底下的坐标为，
则，
整理得：，
所以，解得，
故选：．
待定系数法设出，列出方程组求解．
本题考查空间向量基本定理，属于基础题．6.【答案】 【解析】解：连接，，设交点为，连接，

为的中点，为的中点，
，，
，
，
．
故选：．
根据已知条件，连接，，设交点为，连接，再结合向量的线性运算，即可求解．
本题主要考查空间向量及其运算法则，属于基础题．7.【答案】 【解析】【分析】本题考查空间角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中等题．
设正方体中心为，先根据条件得平面，作于，连接，推导出面，从而是二面角的平面角，由此能求出【解答】
解：设正方体中心为，
点满足，
且，
平面，
平面平面，
由正方体性质得平面，
且平面，
作于，连接，


则，，，
面，
即为的平面角，，
设正方体棱长为，中，
，
，
在中，，
．
故选：．8.【答案】 【解析】解：等边三角形边上的高为同理等边三角形边上的高为．
二面角与相等，且为平角时，，因此．
二面角与相等，且为零角时，，因此．
则长度的取值范围为．
故选：．
等边三角形边上的高为同理等边三角形边上的高为取两个极限情况：二面角与相等，且为平角时，二面角与相等，且为零角时，，即可得出．
本题考查了空间角、运动思想方法、空间位置关系，考查了空间想象能力、推理能力与计算能力，属于中档题．9.【答案】 【解析】解：对于，向量，同向时，，
只满足充分性，不满足必要性，故A错误；
对，应该为非零向量，故B错误；
对，，根据共面向量定理、、、四点不共面，故C错误；
对于，，
故向量在向量上的投影向量为：，故D错误．
故选：．
对于，结合充分条件、必要条件的定义，即可求解；
对于，结合特值，即可求解；
对于，结合四点共面的性质，即可求解；
对于，结合投影向量的公式，即可求解．
本题主要考查命题的真假判断与应用，属于基础题．10.【答案】 【解析】解：对于，，所以，即，故选项A正确；
对于，题中没有相关条件可以判断四边形是否为矩形，故选项B错误；
对于，，所以，
又，所以是平面的一个法向量，故选项C正确；
对于，因为是平面的一个法向量，则，故选项D错误．
故选：．
利用向量垂直的坐标表示以及法向量的含义，分别判断四个选项即可．
本题考查了平面法向量的理解与应用，空间向量垂直的坐标表示，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于基础题．11.【答案】 【解析】解：对于，是空间的一组基底，则，，是不共面的一组向量，不是任意向量，所以A错误；
对于，根据空间向量的基本定理知，对空间任一向量，存在唯一有序实数组，使，所以B正确；
对于，由，，能得出垂直于与所确定的平面，但与不一定垂直，所以C错误；
对于，设，则；
由向量相等的定义知，，解得，
所以可以作为构成空间的一组基底，D正确；
故选：．
根据是空间的一组基底，利用空间向量基本定理，对选项中的命题判断正误即可．
本题考查了空间向量基本定理和应用问题，也考查了推理与计算能力，是基础题．12.【答案】 【解析】解：对于，过作，交于，延长交于，
因为底面不变，所以当平面底面时，
体积最大，其体积为，所以对；
对于，过作交于，连接，
因为平面平面时，，所以平面，
于是，二面角的平面角为，
其正切值为，所以对；
对于，因为，，所以平面，
假设存在某一翻折位置，使得，则平面，
与与平面相交矛盾，所以错；
对于，取中点，连接，，，
，，四边形为平行四边形，，，
所以，而，，不变，
由余弦定理知定值，所以对．
故选：．
运动思想判断；寻找二面角的平面角判断；用反证法判断；平移直线法判断．
本题考查了棱锥的基本物质，考查了直线与平面位置关系，考查了二面角的计算问题，考查了体积计算问题，属于较难题．13.【答案】 【解析】解：设经过点，且与直线平行的直线方程为，
把点代入，得：
，
解得，
所求直线方程为：．
故答案为：．
设经过点，且与直线平行的直线方程为，把点代入，能求出直线方程．
本题考查直线方程的求法，解题时要认真审题，注意直线平行的条件的灵活运用．14.【答案】 【解析】解：直线：，即，
令，解得，，
故直线的定点坐标为．
故答案为：．
将直线变形为，令，解出，，即可求解．
本题主要考查恒过定点的直线，属于基础题．15.【答案】 【解析】解：，，
点，，，四点共面，，．
故答案为：．
四点共面的向量表示的条件是三个向量的系数和为，列出方程求出的值即可．
本题考查了四点共面的应用问题，属于基础题．16.【答案】 【解析】解：连接，连接、，则、和共线，
因为是边长为的菱形，，所以是边长为的正方形如图，
沿对角线将折起如图，
因为，又因为与成角，所以，
因为，所以，
又因为，所以在平面内投影为外心，
因为外心为，所以平面，
因为，所以，
故答案为．
寻找异面直线成角，把问题转化为解直角三角形问题．
本题考查了空间两点间距离问题，属于基础题．17.【答案】解：当过坐标原点时，，解得：，满足题意，
当不过坐标原点时，即时，
若，即时，，不符合题意，
若，即时，方程可整理为：，
，解得，
综上所述，或．
当，即时，：，不经过第二象限，满足题意，
当，即时，方程可整理为：，，解得，
综上所述，，
故的取值范围为． 【解析】根据已知条件，分直线过坐标原点，不过坐标原点两种情况讨论，即可求解．
根据已知条件，分是否为两种情况讨论，即可求解．
本题主要考查直线的截距式方程，考查转化能力，属于基础题．18.【答案】解：，．
由题意得：；
，；
若设向量与所成的角为，则，，直线与所成的角为． 【解析】根据向量的加法或减法很容易求解．
要求直线与所成的角，我们来求向量与所成的角．设这两个向量夹角为，则，根据条件分别求出即可．
注意通过求来求的方法，以及通过求向量夹角来求直线的夹角的方法，利用这种方法时注意直线间夹角的范围．19.【答案】解：Ⅰ证明：在四棱柱中，平面，
底面满足，且，．
，，，
，平面．
Ⅱ解：以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
，，，，，
，，，
设平面的法向量为，
则，取，得，
设直线与平面所成角为，
则直线与平面所成角的正弦值为：
． 【解析】Ⅰ推导出，，由此能证明平面．
Ⅱ以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线与平面所成角的正弦值．
本题考查线面垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20.【答案】证明：连接，依题可得，，
，，
又四边形为矩形，平面平面，
平面，，
，平面，
平面平面．
解：取中点，连接．
如图，以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系，

则，，，，
，，，
设平面的一个法向量为，，
，
不妨设，，则，；
设平面的一个法向量为，，即，
不妨设，则，，，
设向量与的夹角为，则，
，
二面角的余弦值为． 【解析】连接，推出，，然后证明平面，推出平面平面．
取中点，连接以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，平面的一个法向量利用空间向量的数量积求解二面角的余弦值即可．
本题考查直线与平面垂直的判断定理的应用，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力，转化思想以及计算能力，是中档题．21.【答案】解：取中点，连、．

，为棱，的中点，，且，
四边形是矩形，为棱的中点，
，，
，，四边形是平行四边形，
，
又平面，平面，
平面；
假设在棱上存在点满足题意，
在等边三角形中，为的中点，所以，
又平面平面，平面平面，平面，
平面，是四棱锥的高．
设，则，，
，．

以点为原点，，的方向分别为，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
，，．
设，
．
设平面的一个法向量为，
则，，
易知平面的一个法向量为，
，，
解得，
存在点，使得平面与平面所成锐二面角的余弦值为． 【解析】取中点，连、可证四边形是平行四边形，从而可证平面；
假设在棱上存在点满足题意，利用体积先求得，以点为原点，，的方向分别为，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，
，先表示出两平面的法向量，从而可求的值．
本题考查线面平行的证明，考查面面角的求法，属中档题．22.【答案】解：证明：如图，以，，分别为，，轴，建立空间直角坐标系．
则，，，分
从而，，
，
所以分
平面的一个法向量为，
则，
分
而，当最大时，最大，最大，除外，
由式，当时，，分
平面的一个法向量为．
设平面的一个法向量为，
由得
由
解得
平面与平面所成的二面角为，
，，
解得分
故点在的延长线上，且分 【解析】以，，分别为，，轴，建立空间直角坐标系，求出各点的坐标及对应向量的坐标，易判断，即；
设出平面的一个法向量，我们易表达出，然后利用正弦函数的单调性及正切函数的单调性的关系，求出满足条件的值，进而求出此时的正线值；
平面与平面所成的二面角为，则平面与平面法向量的夹角为，代入向量夹角公式，可以构造一个关于的方程，解方程即可求出对应值，进而确定出满足条件的点的位置．
本题考查的知识点是向量评议表述线线的垂直、平等关系，用空间向量求直线与平面的夹角，用空间向量求平面间的夹角，其中熟练掌握向量夹角公式是解答此类问题的关键．