2023-2024学年四川省南充市重点中学高一（上）第一次月考数学试卷（10月份）（含解析）

这是一份2023-2024学年四川省南充市重点中学高一（上）第一次月考数学试卷（10月份）（含解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023-2024学年四川省南充市重点中学高一（上）第一次月考数学试卷（10月份）一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.设集合，若，则的值为(    )A. ， B.  C. ，， D. ，2.命题“，”的否定是(    )A. ， B. ，
C. ， D. ，3.设，则，，的大小顺序是(    )A.  B.  C.  D. 4.某小学对小学生的课外活动进行了调查调查结果显示：参加舞蹈课外活动的有人，参加唱歌课外活动的有人，参加体育课外活动的有人，三种课外活动都参加的有人，只选择两种课外活动参加的有人，不参加其中任何一种课外活动的有人，则接受调查的小学生共有多少人？(    )A.  B.  C.  D. 5.“”是“”的(    )A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件6.已知集合或，，若，则实数的取值范围是(    )A.  B.  C.  D. 7.已知不等式的解集为，则不等式的解集为(    )A. 或 B.
C.  D. 或8.已知且，则的最小值为(    )A.  B.  C.  D. 二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）9.已知集合，，为全集的子集，且满足，则下列结论正确的是(    )A.  B.  C.  D. 10.下列说法正确的是(    )A. 若，则 B. 若，，则
C. 若，，则 D. 若，则11.“关于的不等式对恒成立”的必要不充分条件有(    )A.  B.  C.  D. 12.若正数，满足，则(    )A.  B.
C.  D. 三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知集合，用列举法表示为          ．14.已知，，则的取值范围是______．15.若集合有且仅有两个子集，则实数的值是______．16.若对于任意，不等式恒成立，的范围为______．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.本小题分
已知全集，，，
求集合，；
若集合，求实数的值．18.本小题分

如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙墙的长度没有限制的矩形菜园设菜园的长为，宽为．
若菜园面积为，则当，为何值时，可使所用篱笆总长最小？并求出最小值．
若使用的篱笆总长度为，则当，为何值时，可使菜园面积最大？并求出最大值．
19.本小题分
已知，，且．
求证：；
求的最小值以及此时的，的值．20.本小题分
关于的不等式．
若，求不等式的解集．
若不等式的解集为，求实数的取值范围．21.本小题分
关于的一元二次方恒有两个实数根，．
当且两个根皆为负时，求实数的取值范围．
不等式恒成立，求实数的最大值．22.本小题分
对任意的非空数集，定义：，其中表示非空数集中所有元素的乘积，特别地，如果，规定．
若，，请直接写出集合和中元素的个数；
若，其中是正整数，求集合中元素个数的最大值和最小值，并说明理由；
若，其中是正实数，求集合中元素个数的最小值，并说明理由．
答案和解析 1.【答案】 【解析】解：集合 ，，
或，当 时，或，
若，则不满足集合中元素的互异性，故，
若，则集合满足题意，
当时，，，集合满足题意，
综上所述，或．
故选：．
根据已知条件，结合集合元素的互异性，即可求解．
本题主要考查元素与集合关系的判断，属于基础题．2.【答案】 【解析】解：因为，所以其否定为，．
故选：．
由特称命题的否定的定义即可得出结果．
本题考查命题的否定，属于基础题．3.【答案】 【解析】解：，，
，，，
又，故，
则．
故选：．
将，化简，使分子相同，即可根据分母大小关系进行比较；利用作差比较，大小关系即可．
本题主要考查了不等式比较大小，考查了作差法比较两数大小关系，属于基础题．4.【答案】 【解析】解：如图所示，

用韦恩图表示题设中的集合关系，不妨将参加舞蹈、唱歌、体育课外活动的小学生分别用集合，，表示，
则，，，，
不妨设总人数为，韦恩图中三块区域的人数分别为，，，
即，，，，
由容斥原理：，解得．
故选：．
用韦恩图表示题设中的集合关系，结合三个集合的容斥原理，即得解．
本题主要考查韦恩图的应用，属于基础题．5.【答案】 【解析】【分析】本题考查了不等式的性质、简易逻辑的判定方法，属于基础题．
由，利用不等式的性质可得，反之不一定成立，例如取，时．【解答】
解：，可得．
反之不一定成立，例如取，时．
“”是“”的充分不必要条件．
故选：．6.【答案】 【解析】解：因为集合或，，，所以．
故选：．
由已知结合集合并集运算，即可求解．
本题主要考查了集合并集运算，属于基础题．7.【答案】 【解析】解：因为不等式的解集为，
所以的两根为，
即，
解得，．
所以不等式可化为，其解集为或．
故选：．
由的两根为，得出，，再由一元二次不等式的解法得出答案．
本题要考查了“三个二次”的关系，考查了一元二次不等式的解法，属于基础题．8.【答案】 【解析】解：由题意得，，，
令，，则，
由得，
故
，
当且仅当，结合，即时取等号，
也即，即时，等号成立，
故的最小值为．
故选：．
令，，结合可得，由此即得，展开后利用基本不等式即可求得答案．
本题主要考查了换元法的应用，还考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于中档题．9.【答案】 【解析】解：集合，，为全集的子集，且满足，
作出韦恩图，如右图所示．
由韦恩图，得：，故A正确；
，故B正确；
，故C正确；
，故D错误．
故选：．
根据已知条件画出韦恩图结合各选项知，只有不正确．
本题考查命题真假的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意韦恩图的合理运用．10.【答案】 【解析】解：对于，，
，
，
，
，
，故A正确；
对于，当，，，时，有，，
但此时，，，故B错误；
对于，当，，时，有，，
但此时，，，故C错误；
对于，，
，
，
，
，
由不等式的同向可加性，
由和可得，故D正确．
故选：．
通过不等式性质证明选项正确或通过反例判断选项错误即可．
本题主要考查等式与不等式的性质，属于基础题．11.【答案】 【解析】解：若关于的不等式对恒成立，
当时，不等式为，满足题意；
时，则必有且
解得，
故的范围为，
故“关于的不等式对恒成立”的必要不充分条件的集合必真包含集合．
故选：．
讨论二次项系数，求出满足条件的的范围，根据题中条件考查选项即可．
本题主要考查了不等式恒成立求解参数范围，体现了转化思想的应用，属于基础题．12.【答案】 【解析】解：因为，，，则，当且仅当，时，等号成立，A错误；
，，则，同理可得，，所以，
当且仅当时，等号成立，B正确．
因为，，，，则C错误；
，当且仅当，时，等号成立，所以D正确．
故选：．
项直接应用基本不等式；项，需先将已知等式变形再应用基本不等式；项根据已知等式求出的范围，再判断；项利用“”代换求解即可．
本题考查基本不等式的应用，属于中档题．13.【答案】 【解析】【分析】可得集合中的元素有，，，，然后用列举法表示出集合即可．
本题考查集合的表示方法，是基础题．【解答】
解：集合，可知，，，，则，，，．
集合．
故答案为：．14.【答案】 【解析】解：令
则，
，
又，
，

得．
故答案为：
令，求得，，利用不等式的性质可求的取值范围．
本题考查简单线性规划问题，可以作图利用线性规划知识解决，也可以用待定系数法，利用不等式的性质解决，是中档题．15.【答案】 【解析】解：集合有且仅有两个子集，
只有一个实数解，
或，
解得或．
则实数的值是．
故答案为：．
由集合有且仅有两个子集，得到只有一个实数解，由此能求出实数的值．
本题考查集合的运算，考查子集定义、一元二次方程的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．16.【答案】 【解析】解：对于任意，不等式恒成立，
可得当时，不等式恒成立，
设，；
可得时递减，时递增，
可得时取得最小值，时取得最大值，
所以的值域为；
所以原不等式恒成立，等价于，
为的一次函数，最大值与最小值都在端点处
即，
设，则，
所以，
所以目标函数，
画出不等式组表示的平面区域，如图所示；

当时，目标函数，
所以，时，，时；
当时，目标函数，
所以，时为临界值，，时；
综上可得，的范围是．
故答案为：．
由题意不等式恒成立化为恒成立，设，，求出的值域，根据一次函数的性质转化为，即；设，求出、的表达式，把目标函数化为关于、的解析式，利用线性规划的知识求出的取值范围，即可得出结论．
本题考查不等式恒成立应用问题，注意运用转化与变形应用，也考查了运算求解能力，是难题．17.【答案】解：，；
由得，
故，
若，
所以，解得，
故的值为． 【解析】结合集合的描述与列举法的转化即可求解；
结合集合的并集运算及集合相等的条件可求．
本题主要考查了集合表示方法及集合相等条件的应用，属于基础题．18.【答案】解：若菜园面积为，则，
所以所用篱笆总长，
当且仅当，即，时，等号成立，此时取得最小值，
故当，时，可使所用篱笆总长最小，最小值为．
若使用的篱笆总长度为，则，
所以菜园面积，
当且仅当，即，时，等号成立，此时取得最大值，
故当，时，可使菜园面积最大，最大值为． 【解析】易知，所用篱笆总长，再利用基本不等式求的最小值，即可得解；
易知，菜园面积，再利用基本不等式求的最大值，即可得解．
本题考查实际应用问题，熟练掌握利用基本不等式求最值是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．19.【答案】证明：因为，，且．
所以，
则，当且仅当且，即，时取等号；
解：，
当且仅当且，即，时取等号，此时的最小值为． 【解析】由已知利用乘法，结合基本不等式可证；
，然后结合基本不等式可求．
本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，解题的关键是应用条件的配凑，属于中档题．20.【答案】解：根据题意，若，该不等式为，
变形可得：，即，
不等式的解集为；
根据题意，若不等式的解集为，
分种情况讨论：
当时，不等式为，解集为，符合题意，
当时，若不等式的解集为，则有，
解可得，
综合可得：，即的取值范围为． 【解析】根据题意，若，该不等式为，解可得答案；
根据题意，分种情况讨论，当时，不等式为，易得此时符合题意，当时，结合二次函数的性质可得的取值范围，综合可得答案．
本题考查一元二次不等式的解法，涉及二次函数的性质，属于基础题．21.【答案】解：关于的一元二次方程的两个根皆为负，
．
故实数的取值范围为．
恒有两个零点，则．
设，
则


，
令，则
，
又恒成立，
，
故的最大值为． 【解析】利用判别式和韦达定理即可；
根据二次函数恒有两个零点可得，设，将转化关于的函数，利用换元法求出值域即可求出所求．
本题主要考查了函数恒成立问题，以及二次函数的性质，解题的关键是配凑成关于的二次函数，同时考查了学生计算能力，属于难题．22.【答案】解：，，
中有个元素，中有个元素．
最大值即：集合的非空子集有个，因此中最多有个元素．
可能的构造如下：，
则集合中人员两个不同子集元素的乘积不同．
最小值：如，则最少有个元素．
即集合中的元素成等比数列即可．
中最少有个元素．如，

证明如下：
对集合分类：
，
，
，
设，，，．
设，再对集合分类：
，
，
，
设，，分析，，与，，的关系：
对集合中的元素：，则
，
则，
对集合中的元素：，
对集合中的元素：，
则，
则，
得

，
注意到，当时，均值不等式．
从而中最少有个元素． 【解析】根据已知新定义结合条件求解即可．
根据已知新定义，分类讨论，列举结合条件进行求解．
根据已知新定义，分类讨论，列举进行求解证明．
本题主要考查集合元素个数的最值，考查新定义的应用，属于难题．