2023-2024学年福建省三明重点中学高一（上）月考数学试卷（10月份）（含解析）

2023-2024学年福建省三明重点中学高一（上）月考数学试卷（10月份）

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.下列关系正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.已知集合，或，则(    )

A.  B.
C.  D.

3.如图中的文物叫做“垂鳞纹圆壶”，是甘肃礼县出土的先秦时期的青铜器皿，其身流线自若、纹理分明，展现了古代中国精湛的制造技术．科研人员为了测量其容积，以恒定的流速向其内注水，恰好用时秒注满，设注水过程中，壶中水面高度为，注水时间为，则下面选项中最符合关于的函数图象的是(    )

A.  B.
C.  D.

4.已知函数，如表所示，则不等式的解集为(    )

A.  B.  C.  D.

5.已知，，则与的大小关系是(    )

A.  B.  C.  D.

6.已知函数，则(    )

A.  B.  C.  D.

7.已知函数，若在上是增函数，则实数的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

8.已知函数满足对任意，，当时，恒成立，若，则不等式的解集为(    )

A.  B.  C.  D.

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9.如图是函数的图像，则下列说法正确的是(    )

 

A.  B. 的定义域为
C. 的值域为 D. 若，则或

10.下面命题正确的是(    )

A. “”是“”的充分不必要条件
B. 命题“，”的否定是“，”
C. 当时，的最小值为
D. 设、，则“”是“”的必要不充分条件

11.给出以下四个判断，其中正确的是(    )

A. 函数的值域为
B. 若函数的定义域为，则函数的定义域为
C. 函数定义域，值域，则满足条件的有个
D. 若函数，且，则实数的值为

12.九章算术中“勾股容方”问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”魏晋时期数学家刘徽在其九章算术注中利用出入相补原理给出了这个问题的一般解法：如图，用对角线将长和宽分别为和的矩形分成两个直角三角形，每个直角三角形再分成一个内接正方形黄和两个小直角三角形朱、青将三种颜色的图形进行重组，得到如图所示的矩形，该矩形长为，宽为内接正方形的边长由刘徽构造的图形可以得到许多重要的结论，如图，设为斜边的中点，作直角三角形的内接正方形的对角线，过点作于点，则下列推理正确的是(    )

A. 由题图和题图面积相等得
B. 由可得
C. 由可得
D. 由可得

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.已知函数若，则实数的值为______ ．

14.函数的定义域为______ ．

15.函数的单调递减区间是______ ．

16.表示不超过的最大整数，如，，，已知且满足，则 ______ ．

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.本小题分
已知函数．
若，求；
用定义法证明：函数在区间上单调递减．

18.本小题分
已知全集，集合，．
当时，求；
在；“”是“”的必要不充分条件；，这三个条件中任选一个，补充到横线处，若_____，求实数的取值范围．

19.本小题分
设．
若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围；
解关于的不等式．

20.本小题分

某种植户要倚靠院墙建一个高的长方体温室用于育苗，至多有的材料可用于面墙壁和顶棚的搭建，设温室中墙的边长分别为，，如图所示．
写出：，满足的关系式；
求温室体积的最大值．

21.本小题分
已知定义在上的函数，满足，，且对于任意，都有．
Ⅰ求；
Ⅱ若，求实数的取值范围．

22.本小题分
已知函数，．
若的解集为，求的值；
若对，总，使得，求实数的取值范围．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：选项A：因为是集合中的元素，所以，表示的符号不正确，故A错误；
选项B：因为是任何集合的子集，所以，表示的符号不正确，故B错误；
选项C：因为中含有元素、，而且还有其它元素，所以，故C正确；
选项D：因为是无理数，而是有理数集，所以，故D错误．
故选：．
根据元素与集合、集合与集合的关系进行判断，即可得到本题的答案．
本题主要考查了集合的表示法、元素与集合的关系、集合的包含关系等知识，属于基础题．

2.【答案】 

【解析】解：因为集合，或，则．
故选：．
利用补集的定义可求得集合A.
本题主要考查了集合补集运算，属于基础题．

3.【答案】 

【解析】解：由文物的形状知，两头细中间粗，
在注水过程中，以恒定的流速向其内注水，前段部分注水高度逐渐递增，但增长速度逐步变慢，
当超过中间部分，注水高中继续递增，但增长速度逐步变快，
对应图象满足条件，
故选：．
根据文物形状，结合注水速度，判断水面高度增长变化关系进行判断即可．
本题主要考查函数图象的识别和判断，根据条件判断注水高度的增长速度是解决本题的关键，是基础题．

4.【答案】 

【解析】解：根据题意，当时，，，
当时，，，
当时，，，
故当或时，，即不等式不等式的解集为；
故选：．
根据题意，由函数的定义，分析的值，验证是否成立，由此可得不等式的解集，即可得答案．
本题考查函数的定义，涉及不等式的解法，属于基础题．

5.【答案】 

【解析】解：因为，，
则，
所以．
故选：．
利用作差法可得出与的大小关系．
本题主要考查了不等式大小的比较，属于基础题．

6.【答案】 

【解析】解：由，设，则
所以，
所以．
故选：．
利用换元法求得函数的解析式．
本题考查利用换元法求解函数解析式，属于基础题．

7.【答案】 

【解析】【分析】

本题考查分段函数的单调性问题，考查常见函数的性质，属于基础题．
先保证每一段在定义域内单调递增，再保证在时的单调性保持一致，得到关于的不等式组，解出即可求出的范围．

【解答】
解：时，，对称轴是，
时，，一次项系数，
若在递增，
则
可得，即．
故选：．

8.【答案】 

【解析】解：，即，
构建，
可知当时，则，故F在上单调递减，
又，即，且，
则，解得，
故不等式的解集为．
故选：．
构建，可得在上单调递减，根据题意结合单调性解不等式．
本题主要考查函数恒成立问题，考查运算求解能力，属于中档题．

9.【答案】 

【解析】解：由图像值，故A错误；
函数的定义域为，故B错误；
函数的值域为，故C正确；
若，则或，故D正确．
故选：．
结合函数的图像和定义域，值域等性质进行判断即可．
本题主要考查函数的值域，属于基础题．

10.【答案】 

【解析】解：对于，由可得，解得或，
所以，“”能得出“”，且“”不能得出“”，
所以“”是“”的充分不必要条件，选项A正确；
对于，命题“，”的否定是“，”，选项B错误；
对于，当时，，
当且仅当，即时，等号成立，
但，等号不等成立，所以当时，的最小值不是，选项C错误；
对于，若，则且，
则“”不能得出“”，“”时能得出“”，
所以“”是“”的必要不充分条件，选项D正确．
故选：．
利用分式不等式的解法结合充分条件、必要条件的定义可判断选项；
利用全称量词命题的否定可判断选项；
利用基本不等式可判断选项；
利用充分条件、必要条件的定义可判断选项．
本题考查了分式不等式的解法以及充分与必要条件的应用问题，也考查了推理与判断能力，是基础题．

11.【答案】 

【解析】解：对于选项，当时，，则，
此时，
则，则
所以函数的值域为，故A对；
对于选项，对于函数，，则，
所以函数的定义域为，
对于函数，则，
解得，
所以函数的定义域为，故B对；
对于选项，由，可得，
所以函数的定义域可以是：或或，
故满足条件的有个，故C对；
对于选项，由，
当时，，当且仅当时，即当时，等号成立，
当时，，
当且仅当时，即当时，等号成立，
所以，其中或，
由可得，合乎题意，故D错．
故选：．
利用分离常数法结合不等式的基本性质可判断选项；利用抽象函数定义域的求解原则可判断选项；求出满足条件的集合，结合函数的概念可判断选项；利用配凑法求出函数的解析式，结合求出的值，可判断选项．
本题主要考查了求函数的定义域和值域，考查了基本不等式的应用，属于中档题．

12.【答案】 

【解析】解：由图和图面积相等，可得，故A错误；
由题意知图面积为，，
，
图设正方形边长为，由三角形相似，，解之得，则，
由可得，化简可得，故B正确；
由可得，化简可得，故C正确；
由可得，化简可得，故D正确．
故选：．
根据面积相等，即可判断；根据题意求出，，，然后可判断选项．
本题考查命题真假的判断，考查基本不等式的应用，属于中档题．

13.【答案】或 

【解析】解：当时，，显然满足；
当时，或，而，
所以．
故答案为：或．
根据解析式，利用代入法分类讨论进行求解即可．
本题主要考查了由函数值求解变量，体现了分类讨论思想的应用，属于基础题．

14.【答案】 

【解析】解：要使函数有意义，需要
，
解得，
故答案为
开偶次方根时被开方数大于等于；分式的分母不为，列出不等式组求出定义域．
本题考查求函数的定义域时要注意：开偶次方根时被开方数大于等于；分式的分母不为；指数函数对数函数的底数大于且不等于；对数的真数大于；中等．

15.【答案】和 

【解析】解：当或时，，对称轴为，
当时，，对称轴为，
作出的图象如图所示，
由图可知单调递减区间为．
故答案为：和．
对函数化简后，作出函数的图象，根据图象可求得结果．
本题考查利用函数图象求函数单调性相关知识，属于中档题．

16.【答案】或 

【解析】解：因为表示不超过的最大整数，，
且，
所以该式中只有个数是大于或等于，
因为，
故从开始，其值为，
所以，且，
则，故，
故或．
故答案为：或．
根据题意判断中只有个数是大于或等于，由此可求得的范围，即可求得答案．
本题以新定义为载体，主要考查了函数值的求解，解答本题的关键是根据的含义结合已知等式，判断出该式中只有个数是大于或等于，属于中档题．

17.【答案】解：由，得
故，解得或；
证：任取，
则，
，
，，
故，即，
故在区间上单调递减． 

【解析】直接解方程可得；
根据取值、作差、定号、下结论的步骤证明即可．
本题主要考查了二次方程的求解及函数单调性的判断，属于基础题．

18.【答案】解：由题意，，
当时，，
全集，
或，或，
或；
由题意，，
，
对任意实数，都有，
集合．
选：因为，则集合是集合的子集，
所以，解得：，
因此实数的取值范围是；
选：因为“”是“”的必要不充分条件，
所以集合是集合的真子集，
所以，解得：，
因此实数的取值范围是；
选：因为，所以或，
解得：或，
因此实数的取值范围是或． 

【解析】利用解不等式、集合的运算即可运算得解．
利用解不等式、集合的关系、简易逻辑分析运算即可得解．
本题主要考查了分式不等式和一元二次不等式的解法，考查了集合的基本运算，以及集合间的包含关系，属于中档题．

19.【答案】解：由题意，不等式对于一切实数恒成立，等价于
对于一切实数恒成立．所以；
不等式等价于，
当即时，不等式可化为，不等式的解集为；
当即时，不等式可化为，不等式的解集为；
当即时，不等式可化为，此时；
综上所述：当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为． 

【解析】由已知可得，对于一切实数恒成立，结合二次函数的图像和性质，即可求得；
不等式代入化简得，左边分解因式后，对两根的大小进行分类讨论，即可得不等式的解集．
本题主要考查一元二次不等式的解法，函数的恒成立问题，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．

20.【答案】解：由题意得，顶棚所用材料的面积为，面墙壁所用材料的面积为，
至多有的材料可用于面墙壁和顶棚的搭建，
．
，
当且仅当时取等号，
，
令，则，
解得，即，
当且仅当，时取等号，
温室体积，
则温室体积的最大值为． 

【解析】顶棚所用材料的面积为，面墙壁所用材料的面积为，根据题意列不等式即可；
利用基本不等式得到，再令，通过换元，求解体积的最大值即可．
本题考查函数模型的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．

21.【答案】解：Ⅰ令得，，
则．
Ⅱ，
，
，
又对于任意，都有，
，
解得，，
的取值范围为． 

【解析】Ⅰ令代入解；
Ⅱ由，可化简不等式为，从而利用函数的单调性求解不等式．
本题考查了函数单调性的判断与应用，同时考查了学生对新知识的接受能力，属于中档题．

22.【答案】解：因为，
所以，
所以，依题得不等式的解集为，
所以是方程的根，
所以，
所以，
又因为，
所以，
所以，所以满足题意，
所以，解得，
故．
，总，使得，等价于，
由于在上单调递增，因此；
的对称轴为：．
若，即，函数在上单调递减，在上单调递增，
则，
，
，即，解得，舍去；
若，即，函数在上单调递增，则，
，
，解得，此时，；
若，即，函数在上单调递减，则，
，，即，该不等式无解．
综上所述，的取值范围是． 

【解析】分析可知，不等式的解集为，可知是方程的根，求出的值，再解原二次不等式，即可的实数的值；
分析可知，，求出函数在区间上的最小值，对实数的取值进行分类讨论，分析函数在上的单调性，求出函数在上的最小值，可得出关于实数的不等式，即可解得实数的取值范围．
本题考查不等式的求解以及函数最值的求解，考查分类讨论思想及运算求解能力，属于中档题．