2023-2024学年湖南省长沙市雨花区重点中学高二（上）月考数学试卷（10月份）（含解析）

这是一份2023-2024学年湖南省长沙市雨花区重点中学高二（上）月考数学试卷（10月份）（含解析），共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023-2024学年湖南省长沙市雨花区重点中学高二（上）月考数学试卷（10月份）一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.已知集合，，则(    )A.  B.  C.  D. 2.复数的虚部为(    )A.  B.  C.  D. 3.已知向量，，则“，的夹角为锐角”是“”的(    )A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件4.已知，为两条不同的直线，为平面，则下列命题正确的是(    )A. 若，，则 B. 若，，则
C. 若，，则 D. 若，，则5.在中，，，是边的中点，为的外心，则(    )A.  B.  C.  D. 6.已知，则(    )A.  B.  C.  D. 7.在平面中，过定点做一直线交轴正半轴于点，交轴正半轴于点，面积的最小值为(    )A.  B.  C.  D. 8.已知函数，的定义域均为，，且为偶函数，函数满足，对于，均有，则(    )A.  B.  C.  D. 二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）9.一个质地均匀的正四面体木块的四个面上分别标有数字，，，连续抛掷这个正四面体木块两次，并记录每次正四面体木块朝下的面上的数字，记事件为“第一次向下的数字为或”，事件为“两次向下的数字之和为奇数”，则下列结论正确的是(    )A.  B. 事件与事件互斥
C. 事件与事件相互独立 D. 10.如图是一段依据正弦曲线设计安装的过山车轨道建立平面直角坐标系如图，单位：表示在时间单位：时过山车看作质点离地平面的高度轨道最高点距离地平面最低点距离地平面入口处距离地平面当时，过山车到达最高点，时，过山车到达最低点设，下列结论正确的是(    )

 A. 函数的最小正周期为
B.
C. 时，过山车距离地平面
D. 一个周期内过山车距离地平面低于的时间是11.已知圆：和圆：相交于、两点，下列说法正确的为(    )A. 两圆有两条公切线
B. 直线的方程为
C. 线段的长为
D. 圆上点，圆上点，的最大值为12.如图，若正方体的棱长为，点是正方体的侧面上的一个动点含边界，是棱的中点，则下列结论正确的是(    )A. 沿正方体的表面从点到点的最短路程为
B. 过，，三点作正方体的截面，则截面面积为
C. 三棱锥的体积最大值为
D. 若保持，则点在侧面内运动路径的长度为
 三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知直线：和：，若则 ______ ．14.已知点，，若直线：与线段相交，则的取值范围是______ ．15.已知函数，若方程恰有四个不同的实数解，分别记为，，，，则的取值范围是______ 16.圆：与圆：外切，则最大值为______ ．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.本小题分
中，角，，所对的边分别为，，已知．
求的值；
求的面积．18.本小题分
中华人民共和国民法典于年月日正式施行某社区为了解居民对民法典的认识程度，随机抽取了一定数量的居民进行问卷测试满分：分，并根据测试成绩绘制了如图所示的频率分布直方图．
估计该组测试成绩的平均数和第百分位数；
该社区在参加问卷且测试成绩位于区间和的居民中，采用分层随机抽样，确定了人若从这人中随机抽取人作为该社区民法典宣讲员，设事件“两人的测试成绩分别位于和”，求．
19.本小题分
已知圆：．
求过点且与圆相切的直线的方程；
已知点，，是圆上的动点，求面积的最大值．20.本小题分

如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，为底面直径，，是底面的内接正三角形，且，是线段上一点．
若，求三棱锥的体积．
当为何值时，直线与平面所成的角的正弦值最大．
21.本小题分
已知函数，
若的解集，求实数的取值范围；
若在区间内有两个零点，，求实数的取值范围．22.本小题分
在平面直角坐标系中，过坐标原点的圆圆心在第Ⅰ象限与轴正半轴交于点，弦将圆截得两段圆弧的长度比为：．
求圆的标准方程；
设点是直线：上的动点，、是圆的两条切线，、为切点，求四边形面积的最小值；
若过点且垂直于轴的直线与圆交于点、，点为直线上的动点，直线、与圆的另一个交点分别为、与不重合，求证：直线过定点．
答案和解析 1.【答案】 【解析】解：集合，
，
．
故选：．
先分别求出集合，，再根据并集的运算求解．
此题考查了并集及其运算，熟练掌握并集的定义是解本题的关键．2.【答案】 【解析】解：因为，
所以的虚部为，
故选：．
化简，然后根据虚部的概念即可求解．
本题考查了复数的虚部的概念，考查了学生对复数概念的理解，属于基础题．3.【答案】 【解析】解：若，的夹角为锐角，则且，不同向，可得且，
故“，的夹角为锐角”是“”的充分不必要条件．
故选：．
利用充分条件和必要条件的定义判断．
本题主要考查充分条件和必要条件的定义，属于基础题．4.【答案】 【解析】【分析】本题考查命题真假的判断，考查线面平行、线面垂直的判定与性质等基础知识，考查推理论证能力，是基础题．
对各选项运用线线、线面的位置关系判断即可．【解答】
解：对于，若，，则或，故A错误；
对于，若，，则或，或与相交，故B错误；
对于，若，，则与相交、平行或异面，故C错误；
对于，若，，则，故D正确．
故选：．5.【答案】 【解析】解：因为为的外心，
所以，，
因为是边的中点，
所以，
所以．
故选：．
结合条件，由平面向量数量积的几何意义可得，，再由平面向量的线性运算和数量积运算计算即可．
本题考查平面向量的数量积与线性运算，属于基础题．6.【答案】 【解析】【分析】本题主要考查诱导公式、二倍角公式的应用，属于基础题．
由题意利用诱导公式、二倍角公式，计算求得要求式子的值．【解答】
解：，
故选：．7.【答案】 【解析】解：易得直线不经过原点，故设直线的方程为，
因为直线过定点，故，所以，
故，当，时等号成立，故．
故选：．
设直线的截距式，再根据面积公式结合基本不等式求解最小值即可．
本题考查了三角形面积公式和基本不等式的应用，属于中档题．8.【答案】 【解析】解：，
，
两式相减，得，
函数是周期函数为的周期函数，
则，
为偶函数，
，即关于对称，有，
又，
令，则，即，
当时，，
则，，
，
，即，，
由得，得，得，
又，
则．
故选：．
根据，得到是周期为的周期函数，由为偶函数得函数关于对称，利用函数的周期性和对称性进行转化求解即可．
本题主要考查函数值的计算，根据条件求出函数的周期性和对称性，利用是的周期性和对称性进行转化求解是解决本题的关键，是中档题．9.【答案】 【解析】解：对于，，A错误；
对于，实验的总结果数为，，同时发生的结果数为，
所以，，不互斥，B错误；
对于，发生的结果数为，，
，所以事件与事件相互独立，C正确；
对于，，D正确．
故选：．
根据概率计算公式结合选项进行分析即可．
本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式，属中档题．10.【答案】 【解析】解：由题意知，周期满足，解得，
所以，得，又，解得，，
所以，
又，即，得，因为，所以，
所以．
对于，，选项A正确；
对于，，选项B错误；
对于，，选项C正确；
对于，由，得，即，
所以，，解得，，
所以一个周期内过山车距离底面低于的时间是，选项D正确．
故选：．
根据题意抽象出函数的最值，列式求，，根据周期求，根据求，再根据函数的解析式判断、．
本题考查了三角函数模型应用问题，也考查了推理与判断能力，是中档题．11.【答案】 【解析】解：根据题意，圆：，圆心为，半径，
圆：，即，其圆心为，半径，
依次分析选项：
对于，圆与圆相交，有两条公切线，A正确，
对于，，联立可得：，即，直线的方程为，B错误，
对于，由的结论，直线的方程为，圆心到的距离，则，C错误，
对于，圆上点，圆上点，的最大值为，D正确，
故选：．
根据题意，依次分析选项：对于，由两圆相交，由圆与圆相交的性质分析可得A正确，对于，联立两圆的方程，变形可得直线的方程，可得B错误，对于，由直线与圆相交的性质，求出弦长，可得C错误，对于，由两圆相交，可得的最大值为，即可得D正确，综合可得答案．
本题考查圆与圆的位置关系，涉及两圆相交的性质，属于基础题．12.【答案】 【解析】解：正方体的棱长为，点是正方体的侧面上的一个动点含边界，是棱的中点，

对于，将侧面和侧面沿展成平面，如下图所示，

此时；
将底面和侧面沿展成平面，如下图所示，

此时；
，沿正方体的表面从点到点的最短路程为，故A正确；
对于，取中点，连接，，
，，，，四点共面，
则过，，三点作正方体的截面，截面即为四边形，如下图阴影部分所示，

平面，平面，，
，，四边形为矩形，
又，，，故B错误；
对于，，为定值，
当点到平面距离最大时，取得最大值，
又点为侧面含边界上的一个动点，
当点与点重合时，点到平面距离最大，

，故C正确；
对于，若，则点在以为球心，为半径的球面上，
取中点，则，，

点的轨迹是以为圆心，为半径的圆在正方形内的部分，即劣弧，如下图所示，

，，劣弧的长度为：，
即点在侧面内运动路径的长度为，故D正确．
故选：．
作出正方体相邻两个侧面的展开图，对比线段的长度即可得到最短路程，知A正确；作出截面，由矩形面积公式可求得B错误；利用体积桥可知当与重合时，体积最大，利用割补法可求得C正确；分析可知点轨迹是以中点为圆心，为半径的圆在正方形内的部分，结合扇形弧长公式可求得D正确．
本题考查正方体的结构特征、侧面展开图、圆、球、点到平面的距离等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．13.【答案】 【解析】解：由，解得或，
经过检验时两条直线重合，舍去．
因此，则．
故答案为：．
由，解得，检验此时两条直线是否重合即可得出．
本题考查了平行线的充要条件、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．14.【答案】 【解析】解：直线：过定点，
如图，

，
若直线：与线段相交，则的取值范围是．
故答案为：．
由题意画出图形，数形结合可得的取值范围．
本题考查直线系方程，考查了直线和线段的交点问题，体现了数形结合的解题思想方法，是基础题．15.【答案】 【解析】解：因为函数，
当时，，
令，解得，
当时，，
当时，，
令，解得或，
令，解得或，
函数的图象如图所示：
因为方程恰有四个不同的实数解，即与恰有四个交点，所以，
不妨令，
则，且与关于对称，所以，
又，
即，
所以，即，
所以，
所以，
因为在上单调递增，
所以，
所以，
即的取值范围是
故答案为：
求出时的函数解析式，画出函数图象，不妨令，则，且与关于对称，再根据对数的运算得到，转化为关于的函数，结合对勾函数的性质计算即可得出结论．
本题考查了三角恒等变换、二次函数和对数函数的性质应用问题，也考查了数形结合思想与转化思想，是难题．16.【答案】 【解析】解：圆的圆心为，半径为，
圆的圆心为，半径为，
两圆外切，
，
又，，
点在以为圆心，以为半径的圆弧上，如图所示：

而表示圆弧上的点与点连线的斜率，
当点为时，取得最大值．
故答案为：．
求出两圆的半径和圆心距，得出，的关系，根据的几何意义得出最大值．
本题考查了圆与圆的位置关系，简单线性规划，属于基础题．17.【答案】解：，
，
．
，
由正弦定理知，
．
，，
，
，
． 【解析】利用求得，进而利用和的关系求得，最后利用正弦定理求得的值．
利用，求得的值，进而根两角和公式求得的值，最后利用三角形面积公式求得答案．
本题主要考查了正弦定理的应用．解题过程中结合了同角三角函数关系，三角函数恒等变换的应用，注重了基础知识的综合运用．18.【答案】解：测试成绩落在区间的频率为，
落在区间的频率为，
所以设第百分位数为，有，
解得，
测试成绩的平均数．
由题知，测试分数位于区间、的人数之比为，
所以采用分层随机抽样确定的人，在区间中人，用，表示，在区间中人，用，，表示，
从这人中抽取人的所有可能情况有：
，，，，，，，，，共种，
其中“落在区间和”有种，
所以． 【解析】根据平均数与百分位数的定义可解．
利用古典概型可解．
本题考查古典概型与频率分布直方图相关知识，属于基础题．19.【答案】解：当直线的斜率不存在时，符合题意，
当直线的斜率存在时，设直线方程为：，圆：，
因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于圆的半径，
即，所以直线方程为：．
综上可得，直线方程为：或．
，直线的方程为：，
圆心到到直线的距离为：，
所以点到直线的距离的最大值为，
所以． 【解析】分类讨论直线的斜率存在和斜率不存在两种情况即可确定直线方程；
首先求得圆心到直线的距离，然后结合圆的性质求解三角形面积的最大值即可．
本题主要考查直线与圆的位置关系，分类讨论的数学思想，圆中的最值问题等知识，属于中等题．20.【答案】解：因为为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，为底面直径，，
所以，
又，则，
因为是底面的内接正三角形，且，
所以，
则三棱锥的体积；
如图所示，建立以点为坐标原点的空间直角坐标系，

设，，
所以，，，，
所以，，，
设平面的法向量为，
所以，
所以，
设直线与平面所成的角为，
由题意得，
当且仅当时等号成立，此时直线与平面所成的角的正弦值最大． 【解析】由题意得到，，，利用棱锥的体积公式即可求解；
建立以点为坐标原点的空间直角坐标系，设，，则，，，，求得平面的法向量，利用线面角公式和基本不等式即可求解．
本题考查了三棱锥的体积和线面角的计算，属于中档题．21.【答案】解：若，则，
若，则．
综上可得：．
．
若，则，无零点；
若，则在单调，
其在内至多有一个零点．
若，
则，
解得，，
经检验，时不成立，
若，
由，
解得，，
综上所述，实数的取值范围是 【解析】讨论集合是否是空集，从而求解，
，首先讨论是否是，在时，讨论函数的零点的位置，从而确定实数所满足的条件，从而求其范围．
本题考查了函数的零点的问题，数学讨论的思想，讨论比较复杂，要注意细心，属于难题．22.【答案】解：弦将圆截得两段圆弧的长度比为：，
，则为等边三角形，
又，圆心得坐标为，．
圆的标准方程为；
解：四边形得面积，
在中，，要使四边形面积最小，则最小即可．
此时，
，．
四边形面积的最小值为；
证明：设点，，，
由题意知：，，
，．
，
，
点、在圆上，将和代入整理得：
，
当斜率存在时，设直线的方程为，
联立，得．
，．
代入整理得：．
，解得或．
当时，直线的方程为，过定点；
当时，直线的方程为，过定点
与不重合，点不合题意．
当斜率不存在时，
联立，解得，．
点适合．
综上，直线过定点 【解析】由弦将圆截得两段圆弧的长度比为：，可得，得为等边三角形，由此求出圆心坐标和半径，则圆的方程可求；
四边形得面积，而，要使四边形面积最小，则最小即可．此时，再由得到直线的距离公算求解得答案；
设点，，，由题意知：，，由题意可得，当斜率存在时，设直线的方程为，联立，得利用根与系数的关系结合上式可得或可得当时，直线的方程为，过定点；当时，直线的方程为，过定点
由与不重合，知点不合题意．当斜率不存在时，联立，解得，，知点适合．
本题考查直线与圆位置关系的应用，考查逻辑思维能力与推理运算能力，难度较大．