2023-2024学年甘肃省金昌市永昌第一高级中学高一（上）第一次月考数学试卷（10月份）（含解析）

这是一份2023-2024学年甘肃省金昌市永昌第一高级中学高一（上）第一次月考数学试卷（10月份）（含解析），共11页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023-2024学年甘肃省金昌市永昌第一高级中学高一（上）第一次月考数学试卷（10月份）一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.已知集合或，，则(    )A.  B.  C.  D. 2.已知：，方程有实根，则为(    )A. ，方程有实根 B. ，方程无实根
C. ，方程有实根 D. ，方程无实根3.已知，则图中阴影部分表示的集合是(    )
 A.  B. 或
C.  D. 4.“”是“”的(    )A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件5.已知集合，，若，则实数组成的集合为(    )A.  B.  C.  D. 6.某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有的学生喜欢篮球或羽毛球，的学生喜欢篮球，的学生喜欢羽毛球，则该中学既喜欢篮球又喜欢羽毛球的学生数占该校学生总数的比例是(    )A.  B.  C.  D. 7.不等式的解集为(    )A.  B.
C. 或 D. 或8.若正数，满足，则的最小值是(    )A.  B.  C.  D. 二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）9.已知，则下列不等式成立的是(    )A.  B.  C.  D. 10.已知全集，集合，，则(    )A. 的子集有个 B.
C.  D. 中的元素个数为11.二次函数的图象如图所示，则(    )

 A.  B.  C.  D. 12.已知，，，则(    )A.  B.  C.  D. 三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若，，则与的大小关系为          ．14.设、，集合，则 ______ ．15.命题：“，”假命题，则取值范围为          ．16.为配制一种药液，进行了二次稀释，先在体积为升的桶中盛满纯药液，第一次将桶中药液倒出升后用水补满，搅拌均匀第二次倒出升后用水补满，若此时桶中纯药液的含量不超过容积的，则的最大值为______ ．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.本小题分
已知集合，，．
求；
求．18.本小题分
已知集合，已知集合．
当时，求；
若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围．19.本小题分
设函数．
若关于的不等式的解集为，求的解集；
若时，，，，求的最小值．20.本小题分
设集合，，．
若，求实数的值；
若且，求实数的值．21.本小题分

为宣传年杭州亚运会，某公益广告公司拟在一张矩形海报纸记为矩形，如图上设计四个等高的宣传栏栏面分别为两个等腰三角形和两个全等的直角三角形且，宣传栏图中阴影部分的面积之和为为了美观，要求海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为宣传栏中相邻两个三角形板块间在水平方向上的留空宽度也都是，设．
当时，求海报纸矩形的周长；
为节约成本，应如何选择海报纸的尺寸，可使用纸量最少即矩形的面积最小？
22.本小题分
已知集合，，．
求的最小值；
对任意，证明．
答案和解析 1.【答案】 【解析】解：集合或，，
．
故选：．
利用集合的交集运算求解．
本题主要考查了集合的交集运算，属于基础题．2.【答案】 【解析】解：由题意，可得为，方程无实根．
故选：．
由特称命题的否定判断．
本题主要考查特称命题的否定，属于基础题．3.【答案】 【解析】解：由图可得，所求为集合关于全集的补集，则．
故选：．
由图可得，所求为集合关于全集的补集，后由补集定义可得答案．
本题考查了韦恩图的应用，属于基础题．4.【答案】 【解析】解：或，，则，
时，不能得出，则必要性不成立，
当时，不能得出，则充分性不成立，
“”是“”的既不充分也不必要条件．
故选：．
根据充分条件、必要条件的定义可解．
本题考查充分条件、必要条件的定义，属于基础题．5.【答案】 【解析】解：，，，或，
解得或或，
故实数组成的集合为．
故选：．
根据集合的包含关系得集合之间元素的关系，列方程求解即可．
此题考查集合与集合之间的关系以及集合中元素的互异性，属于基础题型．6.【答案】 【解析】解：设只喜欢篮球的百分比为，只喜欢羽毛球的百分比为，两个项目都喜欢的百分比为，

由题意，可得，
解得，
该中学既喜欢篮球又喜欢羽毛球的学生数占该校学生总数的比例是．
故选：．
设只喜欢篮球的百分比为，只喜欢羽毛球的百分比为，两个项目都喜欢的百分比为，画出图形，列出方程求解即可．
本题考查分层抽样，属于基础题．7.【答案】 【解析】解：不等式可化为，即，
解得，
即不等式的解集为．
故选：．
由一元二次不等式的解法求解．
本题主要考查了一元二次不等式的解法，属于基础题．8.【答案】 【解析】解：因为正数，满足，所以，则，
所以，
当且仅当，即时，等号成立．
故选：．
由得，代入后利用基本不等式即可求解．
本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于基础题．9.【答案】 【解析】解：取，，满足，不满足及，所以错；
因为，所以，所以，所以对；
因为，所以，所以，得，所以对．
故选：．
取，可判断错，根据不等式性质可判断对．
本题考查不等式性质，考查数学运算能力，属于基础题．10.【答案】 【解析】解：因为，所以，
因为中的元素个数为，所以的子集有个，故A错误；
由，，得，所以，故B错误；
，故C正确；
由，得中的元素个数为，故D正确．
故选：．
由题意可得，由集合的子集计算公式判断；求出全集，判断，；由交集的定义求出判断．
本题主要考查了集合的交集及并集运算，还考查了子集个数的求解及集合包含关系的判断，属于基础题．11.【答案】 【解析】解：由二次函数的图象可知：其抛物线的开口向下即，且对称轴，即，
由图可知：当时，，即，故A错误；
当时，即，即，故B正确；
当时，即，所以，故C正确；
设一元二次方程的两根分别为，，由图象可知，整理可得，故D正确．
故选：．
根据二次函数的图象可得：，且对称轴，即，由图可知：分别根据函数在、、时函数值的符合即可判断选项A、、的正误；设一元二次方程的两根分别为，，由图象可知，即可判断选项D的正误．
本题考查二次函数的图象与性质，考查学生的逻辑思维能力和运算能力，属中档题．12.【答案】 【解析】解：对于，因为，，且，
所以，当且仅当时，等号成立，所以A正确；
对于，因为，，且，所以，当且仅当时等号成立，
所以，所以B正确；
对于，因为，，且，所以，当且仅当，即时，等号成立，所以C错误；
对于，因为，，且，所以，即，当且仅当时等号成立，所以D正确．
故选：．
根据基本不等式逐个分析判断即可．
本题主要考查了基本不等式及结论在最值求解中的应用，属于基础题．13.【答案】 【解析】【分析】本题考查了代数式的比较大小，属于基础题．
利用作差法求解即可．【解答】
解：，
，
故答案为：．14.【答案】 【解析】解：集合，
，，或，，
当，时，，这与集合元素的互异性矛盾，
当，时，解得，此时与集合元素的互异性矛盾，舍去，或，
综上所述，，，
故，
故答案为：
由集合，可得：，，或，，结合集合元素的互异性分类讨论，可得答案．
本题考查集合元素的特征与集合相等的含义，注意从特殊元素下手，有利于找到解题切入点．15.【答案】 【解析】【分析】本题考查命题真假的判断方法，涉及全称量词命题和存在量词命题的关系，属于基础题．
根据题意，由全称量词命题和存在量词命题的关系可得命题，为真命题，即方程有实数解，由此可得，解可得答案．【解答】
解：根据题意，命题：“，”假命题，
则其否定：，为真命题，即方程有实数解，
必有，解得：，即的取值范围为；
故答案为：．16.【答案】 【解析】解：第一次将桶中药液倒出升后，桶中药液还有升，
则此时药液含量占容积比例为，第二次倒出的升液体中，
药液有升，则此时药液含量占容积比例为，
由题意得，即，解得，
则的最大值为．
故答案为：．
由题意得，求解即可得出答案．
本题考查根据实际问题选择函数类型，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．17.【答案】解：，，
；
，，
，，又，
． 【解析】直接进行集合的运算即可求解；
直接进行集合的运算即可求解．
本题考查集合的基本运算，属基础题．18.【答案】解：集合，当时，集合，
则，
因为“”是“”的充分条件，则，
则，不同时取等号，则，
则实数的取值范围为． 【解析】根据并集定义可解；
根据“”是“”的充分条件，则，根据子集与真子集的关系可解．
本题考查集合的相关运算，属于基础题．19.【答案】解：根据题意，不等式的解集为，则的两个根分别是，，
则，解得，
故，
，解得．
所求解集为．
时，，即，所以有，
那么
，
当且仅当，即时，取等号．
故的最小值为． 【解析】根据不等式的解集得到方程的根，代入求出，，从而解不等式求出解集；
先得到，利用基本不等式“”的妙用求出最小值．
本题考查基本不等式的性质和应用，涉及不等式的解法，属于基础题．20.【答案】解：由题可得，由，得．
从而，是方程的两个根，即，解得．
因为，．
因为，所以，又，所以，
即，，解得或．
当时，，则，不符合题意；
当时，，则且，故符合题意，
综上，实数的值为． 【解析】首先求出集合，依题意可得，从而得到，是方程的两个根，利用韦达定理计算可得；
首先求出集合，依题意可得，又，所以，即可求出的值，再检验即可．
本题考查集合的交集和并集的运算，以及性质，考查运算能力，属于中档题．21.【答案】解：设阴影部分直角三角形的高为，
所以阴影部分的面积，所以，
又，故，
由图可知，．
海报纸的周长为．
故海报纸的周长为．
由知，，，
，
当且仅当，即，时等号成立，
此时，，．
故选择矩形的长、宽分别为 ， 的海报纸，可使用纸量最少． 【解析】根据宣传栏的面积以及可计算出直角三角形的高，再根据留空宽度即可求得矩形的周长；
根据阴影部分面积为定值，表示出矩形面积的表达式利用基本不等式即可求得面积的最小值，验证等号成立的条件即可得出对应的长和宽．
本题考查函数在实际问题中的应用，以及基本不等式的应用，考查转化思想和运算能力，属于中档题．22.【答案】解：，且，
，当且仅当时，等号成立，
故的最小值为．
证明：，且，
，
故，
当且仅当时，等号成立，故原不等式得证． 【解析】利用基本不等式，即可求得的最小值；
分析可知，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可证得原不等式成立．
本题主要考查不等式的证明，考查转化能力，属于中档题．