2023-2024学年山东省济宁市重点中学高一（上）月考数学试卷（10月份）（含解析）

2023-2024学年山东省济宁市重点中学高一（上）月考数学试卷（10月份）

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.已知集合，，，则(    )

A.  B.  C.  D.

2.全称量词命题“，”的否定是(    )

A. ， B. ，
C. ， D. ，

3.设，是实数，则“”是“”的(    )

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

4.如图在北京召开的第届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客．我们教材中利用该图作为一个说法的一个几何解释，这个说法正确的是(    )

A. 如果，那么
B. 如果，那么
C. 对任意正实数和，有，当且仅当时等号成立
D. 对任意正实数和，有，当且仅当时等号成立

5.若正实数，满足，则下列说法正确的是
(    )

A. 有最小值 B. 有最小值
C. 有最小值 D. 有最小值

6.对于集合，，定义且，，设，，则(    )

A.  B.
C. 或， D. 或，

7.若，则的值是(    )

A.  B.  C.  D.

8.设，若恒成立，则的最大值为(    )

A.  B.  C.  D.

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9.已知集合，，若，则实数的值可以是(    )

A.  B.  C.  D.

10.下列结论不正确的是(    )

A. “”是“”的充分不必要条件
B. “，”是假命题
C. 内角，，的对边分别是，，，则“”是“是直角三角形”的充要条件
D. 命题“，”的否定是“，”

11.下列命题中，真命题的是(    )

A. ，都有
B. ，使得
C. 任意非零实数，，都有
D. ，都有

12. 给定数集，若对于任意，，有，且，则称集合为闭集合，则下列说法中不正确的是

A. 集合为闭集合
B. 正整数集是闭集合
C. 集合为闭集合
D. 若集合为闭集合，则 为闭集合

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.已知实数，满足，，则的取值范围是______ ．

14.高一某班共有人参加数学课外活动，其中人参加了数学建模，人参加了计算机编程，两种活动都参加了的有人，问这两种活动都没参加的有______人．

15.“，”是假命题，则实数的取值范围是______．

16.中国宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个三角形，边长分别为，，，三角形的面积可由公式求得，其中为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足，，则此三角形面积的最大值为______ ．

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.本小题分
设全集，，，求，，，．

18.本小题分
已知集合．
若是空集，求的取值范围；
若中至多有一个元素，求的取值范围．

19.本小题分
已知，满足，，且，求的最小值；
已知，求的最大值；
设正实数，，满足，求的最小值，

20.本小题分
已知命题：任意，，命题：存在，若命题与都是真命题，求实数的取值范围．

21.本小题分
已知集合，．
当时，求；
若：，：，且是的充分不必要条件，求实数的取值范围．

22.本小题分
某火车站正在不断建设，目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一间墙高为米，底面积为平方米，且背面靠墙的长方体形状的保管员室．由于此保管员室的后背靠墙，无须建造费用，因此甲工程队给出的报价为：屋子前面新建墙体的报价为每平方米元，左右两面新建墙体报价为每平方米元，屋顶和地面以及其他报价共计元．设屋子的左右两侧墙的长度均为米．
当左右两面墙的长度为多少时，甲工程队报价最低？
现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标，其给出的整体报价为
元，若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竟标成功，试求的取值范围．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，，，
，．
故选：．
进行交集、并集的运算即可．
考查列举法的定义，以及交集、并集的运算．

2.【答案】 

【解析】解：“，”的否定是，．
故选：．
任意改存在，将结论取反，即可求解．
本题主要考查全称命题的否定，属于基础题．

3.【答案】 

【解析】【分析】

本题考查充分、必要、充要条件的判断，属于基本知识的考查．
利用特例结合充分、必要、充要条件的判断方法，判断正确选项即可．

【解答】
解：，是实数，如果，，则“”，但是“”不成立．
如果，，则”“，但是”“不成立，
所以设，是实数，则“”是“”的既不充分也不必要条件．
故选：．

4.【答案】 

【解析】解：通过观察，可以发现这个图中的四个直角三角形是全等的，设直角三角形的长直角边为，短直角边为，如图，整个大正方形的面积大于等于这个直角三角形的面积和，即，即，当时，中间空白的正方形消失，即整个大正方形与个直角三角形重合；其他选项通过该图无法证明．
故选：．
观察图形，设直角三角形的长直角边为，短直角边为，由个三角形的面积和与大正方形的面积的大小关系，得到，并判明何时取等即可．
本题主要考查均值不等式的几何法证明，属于基础题．

5.【答案】 

【解析】【分析】
本题考查基本不等式以及不等式性质，属于中档题．
根据，都是正数，以及即可得出，从而判断选项A错误，根据基本不等式即可排除选项B，．
【解答】
解：，，且，
，，
有最大值，当且仅当时等号成立．
选项A错误；
，
，即有最大值，项错误；
，有最小值，C正确；
，
的最小值是，不是，D错误．
故选C．

6.【答案】 

【解析】【分析】

本题考查集合的新定义问题，考查运算求解能力．
根据定义求出和，再求出即可．

【解答】
解：对于集合，，定义且，，
设，，
则，，
或，．
故选：．

7.【答案】 

【解析】解：因为，所以，或，．
两以上种情况代入，可得．
故选：．
由集合元素的互异性，得到且，再由集合相等分析出、的值，进而算出答案．
本题主要考查集合相等的含义、集合的元素的性质等知识，属于基础题．

8.【答案】 

【解析】【分析】
本题考查基本不等式的应用，考查不等式恒成立问题，属于中档题．
由，得到的范围，由基本不等式可求得的最大值，由于等价于，即可得到答案．
【解答】
解：由于，则，
则得到，
当且仅当，即时，取等号，
则，
故，则的最大值为，
故选D．

9.【答案】 

【解析】解：因为，，
若，则，
故或或，
当时，，
当时，，
当时，．
故选：．
若，则，从而可得或或，集合与元素关系可求．
本题主要考查了元素与集合关系，集合包含关系的应用，体现了分类讨论思想的应用，属于基础题．

10.【答案】 

【解析】【分析】

利用有理数与自然数的关系，结合充要条件判断；取特殊值判断；结合勾股定理以及充要条件判断；命题的否定形式判断；
本题考查命题的真假的判断，考查充要条件，命题的否定等基础知识，是基础题．

【解答】
解：自然数一定是有理数，有理数不一定是自然数，所以“”是“”的充分不必要条件，A正确；
，所以“，”是真命题，B错误；
因为，所以，是直角三角形，但是是直角三角形不一定意味着，所以“”是“是直角三角形”的充分不必要条件，C错误；
全称量词命题的否定是存在量词命题，满足命题的否定形式，所以D正确．
故选BC．

11.【答案】 

【解析】解：对于，因为对任意恒成立，所以对任意恒成立，即，都有，故A正确；
对于，当时，，
所以当且仅当时取等号，
所以，所以，使得，故B正确；
对于，当时，，故C错误；
对于，当时，，令，
因为在上单调递增，所以，
所以对于任意恒成立，故D正确．
故选：．
恒成立可推到得到A正确；利用基本不等式可求得，可知B正确；由可知C错误；令，结合对勾函数的单调性可知D正确．
本题主要考查命题真假的判断，全称命题与特称命题，基本不等式的应用，考查运算求解能力与逻辑推理能力，属于中档题．

12.【答案】 

【解析】【分析】

本题考查了新定义的集合与元素的判定问题，解题时应深刻理解新定义的概念，适当的应用反例说明命题是否成立，属于中档题．
根据新定义依次分析判断各选项即可．

【解答】
解：根据对于任意，，有，且，则称集合为闭集合．
对于当集合时，由于，所以集合不为闭集合，故A错误
对于设，是任意的两个正整数，当时，不是正整数，所以正整数集不为闭集合，故B错误；
对于当时，设，，，，
则，，
则，，所以集合是闭集合，故C正确
对于设，是闭集合，且，，而，此时不为闭集合，故D错误．
故选ABD．

13.【答案】 

【解析】解：因为，所以，
因为，所以，
所以的取值范围是．
故答案为：．
利用不等式的性质即可求得答案．
本题主要考查了不等式性质的应用，属于基础题．

14.【答案】 

【解析】解：因为人参加了数学建模且两种活动都参加了的有人，所以只参加了数学建模的有人，又人参加了计算机编程且两种活动都参加了的有人，所以只参加了计算机编程的有人，故参加活动的人数为人，则这两种活动都没参加的有人．
故答案为：．
由题意分别求解只参加数学建模与计算机编程的人数，再进行求解即可．
本题主要考查集合中元素的计算，是基础题．

15.【答案】 

【解析】解：由题意可得：“，”为真命题，
则，当时恒成立，
，当时，取最小值，
，
故实数的取值范围是．
故答案为：．
由题意可得：“，”为真命题，利用参变分离结合二次函数的性质求解即可．
本题考查命题的真假判断、参变分离等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

16.【答案】 

【解析】解：依题意，
所以
，
当且仅当，时等号成立．
故答案为：．
利用基本不等式求得正确答案．
本题考查海伦秦九韶公式等基础知识，考查运算求能力，是基础题．

17.【答案】解：全集，，，
则或，
或，
，
或． 

【解析】分别根据交、并、补的定义即可求出．
本题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键，属于基础题．

18.【答案】解：由题意，集合，则方程无实数根，
则，解得，
所以当是空集，的取值范围为；
由题意，集合中至多只有一个元素，则或中只有一个元素，
当时，由得；
当中只有一个元素时，
当时，可得，则适合题意；
当时，则，即；
综上，若中至多只有一个元素，的取值范围为． 

【解析】当时，得到方程无实数根，结合一元二次方程的性质，即可求解；
由集合中至多只有一个元素，则或中只有一个元素，结合一元二次方程的性质，即可求解．
本题考查元素与集合的关系以及一元二次方程根的情况，属于中档题．

19.【答案】解：，，且，
，
当且仅当且，即，时等号成立．
故的最小值是．
，
，
，当且仅当，即时等号成立，
，
的最大值为；
因为，且，均为正实数，
则，
当且仅当且，即，时取等号，
． 

【解析】利用乘法，结合基本不等式即可求解；
，然后结合基本不等式即可求解；
利用乘法，结合基本不等式即可求解．
本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，解题的关键是应用条件的配凑，属于中档题．

20.【答案】解：根据题意，命题：任意，，若命题为真，必有，即；
对于命题，存在，，若命题为真，即方程有解，则有，
解可得：或，
若命题与都是真命题，即，则有或；
故的取值范围为或． 

【解析】本题考查命题的真假判断，涉及存在量词命题与全称量词命题的定义，属于基础题．
根据题意，求出命题和命题为真命题时的取值范围，求出其交集即可得答案．

21.【答案】解：当时，，结合，可得；
因为是的充分不必要条件，所以，
若，则，解得，符合题意；
若，由，可得，解得．
综上所述，实数的取值范围是． 

【解析】当时，化简集合，然后利用交集的定义运算可得答案；
由题可得是的真子集，然后按是否为空集加以讨论，求出的范围即可．
本题主要考查了不等式的解法、集合的包含关系、充要条件的判断及其应用等知识，属于基础题．

22.【答案】解：因为屋子的左右两侧墙的长度均为米，底面积为平方米，
所以屋子的前面墙的长度均为米，
设甲工程队报价为元，
所以元，
因为，
当且仅当，即时等号成立，
所以当左右两面墙的长度为米时，甲工程队报价最低为元．
根据题意可知对任意的恒成立，
即对任意的恒成立，
所以对任意的恒成立，
因为，，
当且仅当，即时等号成立，
所以，
故当时，无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竟标成功． 

【解析】由题意得出甲工程队报价元关于左右两侧墙的长度的函数，利用均值不等式求最小值即可；
由题意得不等式恒成立，分离参数后，利用均值不等式求最小值即可得解．
本题以实际问题为载体，考查函数模型的构建，基本不等式的应用，考查运算求解能力，属于中档题．