2023-2024学年四川省成都市青羊区重点中学高二（上）月考数学试卷（一）（含解析）

2023-2024学年四川省成都市青羊区重点中学高二（上）月考数学试卷（一）

一、单选题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.一组数据按从小到大的顺序排列如下：，，，，，，，，，经计算，该组数据中位数是，若分位数是，则(    )

A.  B.  C.  D.

2.中国营养学会把走路称为“最简单、最优良的锻炼方式”，它不仅可以帮助减肥，还可以增强心肺功能、血管弹性、肌肉力量等如图为甲、乙两人在同一星期内日步数的折线统计图：

则下列结论中正确的是(    )

A. 这一星期内甲的日步数的第六十百分位数为
B. 乙的日步数星期四比星期三增加了倍以上
C. 这一星期内甲的日步数的平均值小于乙
D. 这一星期内甲的日步数的方差大于乙

3.已知空间两不同直线，，两不同平面，，下列命题正确的是(    )

A. 若且，则
B. 若且，则
C. 若且，则
D. 若不垂直于，且，则不垂直于

4.抛掷一枚骰子两次，第一次得到的点数记为，第二次得到的点数记为，则平面直角坐标系中，点到原点的距离不大于的概率为(    )

A.  B.  C.  D.

5.江南的周庄、同里、用直、西塘、乌镇、南浔古镇，并称为“江南六大古镇”，是中国江南水乡风貌最具代表的城镇，它们以其深邃的历史文化底蕴、清丽婉约的水乡古镇风貌、古朴的吴侬软语民俗风情，在世界上独树一帜，驰名中外，这六大古镇中，其中在苏州境内的有处．某家庭计划今年暑假从这个古镇中挑选个去旅游，则至少选一个苏州古镇的概率为(    )

A.  B.  C.  D.

6.从分别写有，，，，，的六张卡片中，无放回地随机抽取两张，则抽到的两张卡片上的数字之积是的倍数的概率为(    )

A.  B.  C.  D.

7.在梯形中，，，，，为的中点，则(    )

A.  B.  C.  D.

8.四名同学各掷骰子次，分别记录每次骰子出现的点数，根据四名同学的统计结果、可以判断出一定没有出现点数的是(    )

A. 平均数为，方差为 B. 中位数为，方差为
C. 中位数为，众数为 D. 平均数为，中位数为

二、多选题（本大题共4小题，共12.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9.口袋里装有红、白、黄共个形状相同的小球，从中任取球，事件“取出的两球同色”，“取出的球中至少有一个黄球”，“取出的球中至少有一个白球”，“取出的两球不同色”，“取出的球中至多有一个白球”，下列判断中正确的是(    )

A. 事件与为对立事件 B. 事件与是互斥事件
C. 事件与为对立事件 D. 事件

10.有两组样本数据，分别为，和，，，，且平均数与，标准差分别为和，将两组数据合并为，，，重新计算平均数和标准差，则(    )

A. 平均数为 B. 平均数为 C. 标准差为 D. 标准差为

11.在中，若：：：：，下列结论中正确的有(    )

A. ：：：：
B. 是钝角三角形
C. 的最大内角是最小内角的倍
D. 若，则外接圆的半径为

12.菱形的边长为，且，将沿向上翻折得到，使二面角的余弦值为，连接，球与三棱锥的条棱都相切，下列结论正确的是(    )

A. 平面
B. 球的表面积为
C. 球被三棱锥表面截得的截面周长为
D. 过点与直线，所成角均为的直线可作条

三、填空题（本大题共4小题，共12.0分）

13.已知，则       

14.某校进行定点投篮训练，甲、乙、丙三个同学在固定的位置投篮，投中的概率分别，，，已知每个人投篮互不影响，若这三个同学各投篮一次，至少有一人投中的概率为，则______．

15.事件、是相互独立事件，若，，，则实数的值等于______ ．

16.在中，为上一点且满足，若为上一点，且满足为正实数，则的最小值为______ ．

四、解答题（本大题共6小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.本小题分
年是中国共产党建党周年，为了使全体党员进一步坚定理想信念，传承红色基因，市教育局以“学党史、悟思想、办实事、开新局”为主题进行“党史”教育，并举办由全体党员参加的“学党史”知识竞赛．竞赛共设个小题，每个小题分，共分．现随机抽取名党员的成绩进行统计，并将成绩分成以下七组：，，，，，，，
并绘制成如图所示的频率分布直方图．
根据频率分布直方图，求这名党员成绩的众数，中位数；
用分层随机抽样的方法从低于分的党员中抽取人，若在这人中任选人进行问卷调查，求这人中至少有人成绩低于分的概率．

 

18.本小题分
年月日第届国际数学奥林匹克竞赛结果公布，中国队名参赛选手全员金牌，再夺第一某班级为了选拔数学竞赛选手，举行初次选拔考试，共有排好顺序的两道解答题规定全部答对者，通过选拔考试设甲答对第一道和第二道题的概率分别为，，乙答对第一道和第二道题的概率分别为，，甲，乙相互独立解题，答对与否互不影响．
求甲，乙都通过考试的概率；
记事件“甲、乙共答对两道题”，求．

19.本小题分
正值蓝莓销售的高峰期，一家水果店的店长计划未来天蓝莓的日进货量单位：千克为，，，，，，，，，．
计算该水果店未来天蓝莓日进货量的众数与方差；
假设未来这天该水果店蓝莓的市场日需求量均为单位：千克，当日销售的蓝莓可盈利元千克，当日未销售的蓝莓则需要退货，亏损元千克，若该水果店想在未来天销售蓝莓的盈利大于元，求的最小值．

20.本小题分
已知中，内角，，的对边分别为，，，的面积边的中线长为．
求；
若的面积，求．

21.本小题分

已知在梯形中，，，，，分别是，上的点，，，沿将梯形翻折，使平面平面如图．
证明：平面；
求二面角的余弦值．

22.本小题分

在中，为的中点，在边上，交于，且，设，．
试用，表示；
若，求的余弦值；
若在上，且，设，若，求的取值范围．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：由题意可知中位数为，
因为，则百分位数为，
所以．
故选：．
利用中位数，百分位数的定义即可求出，的值，由此即可求解．
本题考查了中位数，百分位数的求解，属于基础题．

2.【答案】 

【解析】解：由图可知，这一星期内甲的日步数按从小到大分别为：
，，，，，，，共个数，
由，所以这一星期内甲的日步数的第六十百分位数为，故A错误；
乙星期四的日步数为，乙星期三的日步数，故B错误；
甲的平均数为，
乙的平均数为，故C错误；
从折线图看，甲的日步数波动比较大，乙的日步数波动比较小，
故甲的日步数的方差大于乙，故D正确．
故选：．
根据百分位数的定义即可判断；由图找出甲的中位数，计算甲乙的平均数，结合折线图逐项分析可得答案．
本题考查统计图表的信息，属于基础题．

3.【答案】 

【解析】解：由空间两不同直线，，两不同平面，，知：
在中，若且，则或、相交或异面，故A不正确；
在中，若且，则，故B不正确；
在中，若且，则，所以C正确；
在中，若不垂直于，且，则与有可能垂直，故D不正确；
故选：．
在中，、相交或异面；在中，由面面垂直的判定定理得；在中，由线面垂直的判定定理得；在中，与有可能垂直．
本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查推理论证能力，考查化归与转化思想，是中档题．

4.【答案】 

【解析】解：基本事件共有个，
而满足点到原点的距离不大于的基本事件有，，，，，，，共个，
所求概率为．
故选：．
根据古典概型公式计算可得．
本题主要考查古典概型的概率公式，属于基础题．

5.【答案】 

【解析】解：某家庭计划今年暑假从这个古镇中挑选个去旅游的可能情况有种情况，
至少选一个苏州古镇的概率为．
故选：．
先求出从这个古镇中挑选个去旅游的可能情况，然后结合对立事件及古典概率公式可求．
本题主要考查了古典概率公式的应用，还考查了对立事件的应用，属于基础题．

6.【答案】 

【解析】解：由题意可知，从个数字中无放回地随机抽取两张，共有种结果，
若要是的倍数，则两张卡片中必有一张是，
若第一张抽到的是，共有种抽法，
若第二张抽到的是，共有种抽法，
故抽到的两张卡片上的数字之积是的倍数的共种抽法，
所以所求概率为．
故选：．
利用古典概型概率的计算公式即可求出结果．
本题考查古典概型的计算，注意古典概型的计算公式，属基础题．

7.【答案】 

【解析】解：以为原点，为轴，为轴，建立平面直角坐标系．
则：，，，，
，，
则．
故选：．
以直角梯形的两个直角边为坐标轴，写出点的坐标，求出向量的坐标，利用向量数量积的坐标运算求解．
本题考查平面向量数量积的性质及运算，建系是关键，是基础题．

8.【答案】 

【解析】解：对于选项A，若平均数为，则方差，平均数为，方差为，
所以一定没有出现点数，故选项A正确；
对于选项B，当投掷骰子出现的结果为，，，，时，满足中位数为，方差为：
，
此时出现点数为，故选项B错误；
对于选项C，当投掷骰子出现结果为，，，，时，
满足中位数为，众数为，可以出现点数，故选项C错误；
对于选项D，当投掷骰子出现的结果为，，，，时，
满足平均数为，中位数为，可以出现点数，故选项D错误．
故选：．
根据题意，利用特例法可判断；结合平均数和方差的计算公式，可判断B正确，由此能求出结果．
本题考查平均数、中位数、众数、方差等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

9.【答案】 

【解析】【分析】

本题考查对立事件、互斥事件、随机事件发生的概率，属于容易题．
由对立事件与互斥事件的定义以及事件的关系和运算依次判断，即可得到答案．

【解答】
解：事件“取出的两球同色”，事件“取出的两球不同色”，
事件与为对立事件，故A正确；
事件“取出的球为一个黄球，一个白球”，所以事件与不是互斥事件，故B错误；
事件“取出的球有且只有一个白球”，所以事件与不是对立事件，故C错误；
事件为必然事件，故，故D正确．
故选：．

10.【答案】 

【解析】解：数据，，，的平均数为：，方差为：，标准差为．
故选：．
根据平均数和标准差的计算公式即可得解．
本题考查了平均数和标准差的计算公式，考查了计算能力，是基础题．

11.【答案】 

【解析】解：由：：：：，
不妨设，，，，
解得，，，
可得：：：：，
由正弦定理可得：：：：：：，故A正确；
因为，，
所以，
由，，可得，故C正确；
由上可知最大角为锐角，故B错误；
若，则，，
又，
可得，
所以的外接圆半径，故D正确．
故选：．
由：：：：，不妨设，，，解得，，，然后逐一求解四个选项得答案．
本题考查正、余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了转化思想和数学运算能力，属于中档题．

12.【答案】 

【解析】解：在菱形中，连接，则，设，交于，如图，

则，，平面，平面，
即为二面角的平面角，即，
，为正三角形，即为正三角形，
，，
，
三棱锥是棱长为的正四面体，
将该四面体补成正方体，四面体的各棱为正方体的面对角线，
则正方体棱长为，

球与三棱锥的条棱相切，则点即为正方体的中心，
连接，则为正方体体对角线的中点，
平面，平面，，
，，平面，
平面，，
同理可证，，
平面，即平面，故A正确；
球与三棱锥的条棱都相切，
球即为正方体的内切球，球的直径为正方体棱长为，
则球半径为，球的表面积为，故B错误；
球被平面截得的截面圆为正三角形的内切圆，
，故正三角形的内切圆半径为，
内切圆周长即为球被平面截得的截面周长为，
球被三棱锥表面截得的截面周长为，故C正确；
连接，，，四边形是平行四边形，
，，，
取空间一点，作，的平行线，，如图，

则和，所成角均为的直线即为它们形成的角的角平分线，，
假设平面过且垂直于且垂直于，所确定的平面，当绕点且在内转动时，
直线与，所成角相等，但会变大，大于，
在，所确定的平面外过点不存在直线与，所成角为，
过点与直线，所成角均为的直线可作条，故D错误．
故选：．
利用余弦定理求得，推导出三棱锥为正四面体，进而补成正方体，推导出点为正方体的中心，结合线面垂直的判定可判断；求出球的半径可判断；求出球被三棱锥一个侧面所截得的截面的周长，即可求得球被三棱锥表面截得的截面周长，判断；根据平行公理以及直线所成角的概念可判断．
本题考查余弦定理、补形法、线面垂直、异面直线所成角等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．

13.【答案】 

【解析】解：因为，
所以解得，
又因为，，
所以解得，，
则．
故答案为：．
由已知利用两角和的正切公式，同角三角函数基本关系式可求，，解得，的值，即可得解．
本题考查了两角和的正切公式，同角三角函数基本关系式在三角函数求值中的应用，属于基础题．

14.【答案】 

【解析】解：由题意可得，
所以．
故答案为：．
由已知结合对立事件的概率关系及相互独立事件的概率公式可求．
本题主要考查了相互独立事件的概率公式，还考查了对立事件的概率关系，数学基础题．

15.【答案】 

【解析】解：事件、是相互独立事件，，
，
．
故答案为：．
根据概率的性质及独立事件的乘法公式求解．
本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意相互独立事件概率乘法公式的灵活运用．

16.【答案】 

【解析】解：因为、、三点共线，所以设，
因为，所以，
所以设，
由和平面向量基本定理得：
，所以，
因为，为正实数，
所以
，当且仅当时等号成立，
所以的最小值为．

故答案为：．
由、、三点共线，得，再由平面向量的线性运算得，又由和平面向量基本定理得到，再由基本不等式知识即可求．
本题考查平面向量的线性运算和平面向量基本定理，还考查了基本不等式，属于中档题．

17.【答案】解：由频率分布直方图可得，名党员成绩的众数为，
成绩在的频率为，
成绩在的频率为，
故中位数位于之间，中位数是 分．
与的党员人数的比值为：，
采用分层随机抽样方法抽取人，则在中抽取人，中抽人，
设抽取人的编号为，，抽取人的编号为，，，
则从人中任选人进行问卷调查对应的样本空间为：
，，，，，，
，，，，共个样本点，
这人中至少有人成绩低于分的有：
，，，，，，，
共个样本点，
故这人中至少有人成绩低于分的概率． 

【解析】根据已知条件，结合中位数公式，即可求解．
由与的党员人数的比值为：，可得采用分层随机抽样方法抽取人，则在中抽取人，中抽人，设抽取人的编号为，，抽取人的编号为，，，再结合列举法和古典概型的概率公式，即可求解．
本题主要考查频率分布直方图的应用，以及古典概型的概率公式，属于基础题．

18.【答案】解：设甲答对第一道和第二道题的概率分别为，，
乙答对第一道和第二道题的概率分别为，，甲，乙相互独立解题，答对与否互不影响，
设事件“甲答对了道题”，事件“乙答对了道题”，，，，
由题意，，，
，，，
由题意得，甲，乙都通过考试的概率：．
由题意得，，
所以． 

【解析】设事件“甲答对了道题”，事件“乙答对了道题”，，，，由相互独立事件概率乘法公式能求出甲，乙都通过考试的概率．
由题意得，，由此能求出．
本题考查相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

19.【答案】解：该水果店未来天蓝莓日进货量的众数为，
平均数为，
方差为；
由题意易知，当越小时，该水果店在未来天销售蓝莓的盈利越小，所以采用二分法来确定的最小值，
由题意得，当时，该水果店在未来天销售蓝莓的盈利为元元；
由题意得，当时，该水果店在未来天销售蓝的盈利为元元；
当时，该水果店在未来天销售蓝莓的盈利为元元．
综上所述，的最小值为． 

【解析】利用众数的定义和方差的公式求解；
易知当越小时，该水果店在未来天销售蓝莓的盈利越小，采用二分法来确定的最小值．
本题主要考查统计的知识，属于基础题．

20.【答案】解：因为，，
又因为，
所以可得，整理得，
因为，所以；
由知，因为的面积，
所以由，可得，
所以，
因为，所以，
所以，
因为内角，，的对边分别为，，，，中线长为，
所以，
所以，即，
因为，所以，
因为，
所以，可得． 

【解析】由余弦定理及三角形面积公式建立等量关系，求出，从而可求出角；
由余弦定理及三角形面积，结合向量知识建立方程，即可求出．
本题考查了余弦定理和三角形的面积公式，属于中档题．

21.【答案】证明：在直角梯形中，因为，故DA，，
因为，故EF．
所以在折叠后的几何体中，有，，
而，故EF平面．
解：如图，在平面中，过作交于．

在平面中，过作交于，连结．
因为平面平面，平面平面，平面，故DG平面，
因为平面，故DG，而，
故BF平面，又平面，故GH，
所以为二面角的平面角，
在平面中，因为，，
故AE，
又在直角梯形中，且，
故EF，故四边形为平行四边形，
故DG，，
在中，，
因为为三角形的内角，
故，故GH，
故，
因为为三角形的内角，
故．
所以二面角的平面角的余弦值为． 

【解析】证明，，证明，，即可证明平面．
过作交于过作交于，连结说明为二面角的平面角，然后通过求解三角形，推出结果即可．
本题考查二面角的平面角的求法，直线与平面垂直的判断定理的应用，是中档题．

22.【答案】解：由、、共线，则存在使，
，整理得：，
由、、共线，则存在使，
，整理得：，
根据平面向量基本定理：，解得，
；
，，，，，
，，
故的余弦值是；
由知：，则，
由，共线，设，
而，有，
，
即，
可得，
，，即，
解得，
的取值范围为． 

【解析】由、、共线，则存在使，由、、共线，则存在使，根据平面向量基本定理求出，再表示即可；
由值，，根据向量的余弦公式，计算即可；
，则，设，得到，结合计算的取值范围即可．
本题考查平面向量及其应用，属于中档题．