2023年青海省西宁市城区中考数学试卷（含解析）

这是一份2023年青海省西宁市城区中考数学试卷（含解析），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.−2023的相反数是( )
A. 2023B. −2023C. 12023D. −12023
2.算式−3□1的值最小时，□中填入的运算符号是( )
A. +B. −C. ×D. ÷
3.河湟剪纸被列入青海省第三批省级非物质文化遗产名录，是青海劳动人民结合河湟文化，创造出独具高原特色的剪纸.以下剪纸图案既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A. B.
C. D.
4.下列说法正确的是( )
A. 检测“神舟十六号”载人飞船零件的质量，应采用抽样调查
B. 任意画一个三角形，其外角和是180°是必然事件
C. 数据4，9，5，7的中位数是6
D. 甲、乙两组数据的方差分别是s甲2=0.4，s乙2=2，则乙组数据比甲组数据稳定
5.下列运算正确的是( )
A. 2+ 3= 5B. (−5)2=−5
C. (3− 2)2=11−6 2D. 6÷2 3× 3=3
6.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，分别以点A和点C为圆心，大于12AC的长为半径作弧，两弧相交于P，Q两点，作直线PQ交AB，AC于点D，E，连接CD.下列说法错误的是( )
A. 直线PQ是AC的垂直平分线
B. CD=12AB
C. DE=12BC
D. S△ADE：S四边形DBCE=1：4
7.《孙子算经》中有一道题，原文是：今有木，不知长短.引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺.木长几何？意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺.问木长多少尺？设木长x尺，绳长y尺，根据题意列方程组得( )
A. y−x=4.512y=x−1B. x−y=4.512y=x−1C. y−x=4.512y=x+1D. x−y=4.512y=x+1
8.直线y1=ax+b和抛物线y2=ax2+bx(a,b是常数，且a≠0)在同一平面直角坐标系中，直线y1=ax+b经过点(−4,0).下列结论：①抛物线y2=ax2+bx的对称轴是直线x=−2；②抛物线y2=ax2+bx与x轴一定有两个交点；③关于x的方程ax2+bx=ax+b有两个根x1=−4，x2=1；④若a>0，当x<−4或x>1时，y1>y2.其中正确的结论是( )
A. ①②③④B. ①②③C. ②③D. ①④
二、填空题（本大题共10小题，共20.0分）
9.如果气温上升6℃记作+6℃，那么气温下降2℃记作______ ℃.
10.从党的二十大报告中了解到，我国互联网上网人数达1030000000.将1030000000用科学记数法表示为______ ．
11.计算：3a2b⋅(−a)2= ______ ．
12.有五张看上去无差别的卡片，正面分别写着227， 6，−0.5，π，0.背面朝上混合后随机抽取一张，取出的卡片正面的数字是无理数的概率是______ ．
13.象征吉祥富贵的丁香花是西宁市市花.为美化丁香大道，园林局准备购买某种规格的丁香花，若每棵6元，总费用不超过5000元，则最多可以购买______ 棵.
14.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=12，∠A=42°，则BC的长约为______ .(结果精确到0.1.参考数据：sin42°≈0.67，cs42°≈0.74，tan42°≈0.90)
15.已知蓄电池的电压恒定，使用蓄电池时，电流I(单位：A)与电阻R(单位：Ω)是反比例函数关系，它的图象如图所示，如果以此蓄电池为电源的用电器，流过的电流是2A，那么此用电器的电阻是______ Ω.
16.在△ABC中，AB=AC，∠BAC=100°，点D在BC边上，连接AD，若△ABD为直角三角形，则∠ADB的度数是______ ．
17.如图，边长为 2的正方形ABCD内接于⊙O，分别过点A，D作⊙O的切线，两条切线交于点P，则图中阴影部分的面积是______ ．
18.如图，在矩形ABCD中，点P在BC边上，连接PA，将PA绕点P顺时针旋转90°得到PA′，连接CA′，若AD=9，AB=5，CA′=2 2，则BP= ______ ．
三、解答题（本大题共9小题，共76.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19.(本小题7.0分)
计算：−14+|1− 2|−(π−3.14)0．
20.(本小题7.0分)
计算：(2a−3)2−(a+5)(a−5)．
21.(本小题7.0分)
先化简，再求值：(aa2−b2−1a+b)÷1a2−ab，其中a，b是方程x2+x−6=0的两个根．
22.(本小题7.0分)
藏毯作为青海省非物质文化遗产项目之一，与波斯毯、东方毯并称为世界三大名毯.西宁作为藏毯之都，生产的藏毯已成为青海名副其实的特色产品，更是一张通往世界的“金名片”．
(1)为了调查一批藏毯的质量，质检人员从中随机抽取了100件产品进行检测.本次抽样调查的样本容量是______ ；
(2)6月10日是我国文化和自然遗产日.某校举办非遗文化进校园活动，决定从A，B，C，D四名同学中随机抽取两人作为“小小宣传员”，为大家介绍青海藏毯文化.请用画树状图或列表的方法求出A，B两人同时被选中的概率，并列出所有等可能的结果．
23.(本小题8.0分)
如图，在▱ABCD中，点E，F分别在AB，CD的延长线上，且BE=DF，连接EF与AC交于点M，连接AF，CE．
(1)求证：△AEM≌△CFM；
(2)若AC⊥EF，AF=3 2，求四边形AECF的周长．
24.(本小题8.0分)
一次函数y=2x−4的图象与x轴交于点A，且经过点B(m,4)．
(1)求点A和点B的坐标；
(2)直接在图的平面直角坐标系中画出一次函数y=2x−4的图象；
(3)点P在x轴的正半轴上，若△ABP是以AB为腰的等腰三角形，请直接写出所有符合条件的P点坐标．
25.(本小题10.0分)
如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB，垂足为D，弦CE与AB交于点F，连接AE，AC，BC．
(1)求证：∠BAC=∠E；
(2)若AB=8，DC=2，CE=3 10，求CF的长．
26.(本小题10.0分)
折叠问题是我们常见的数学问题，它是利用图形变化的轴对称性质解决的相关问题.数学活动课上，同学们以“矩形的折叠”为主题开展了数学活动．
【操作】如图1，在矩形ABCD中，点M在边AD上，将矩形纸片ABCD沿MC所在的直线折叠，使点D落在点D′处，MD′与BC交于点N．
【猜想】MN=CN．
【验证】请将下列证明过程补充完整：
∵矩形纸片ABCD沿MC所在的直线折叠，
∴∠CMD= ______ ，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD//BC (矩形的对边平行)，
∴∠CMD= ______ (______ )，
∴ ______ = ______ (等量代换)，
∴MN=CN(______ ).
【应用】
如图2，继续将矩形纸片ABCD折叠，使AM恰好落在直线MD′上，点A落在点A′处，点B落在点B′处，折痕为ME．
(1)猜想MN与EC的数量关系，并说明理由；
(2)若CD=2，MD=4，求EC的长．
27.(本小题12.0分)
如图，在平面直角坐标系中，直线l与x轴交于点A(6,0)，与y轴交于点B(0,−6)，抛物线经过点A，B，且对称轴是直线x=1．
(1)求直线l的解析式；
(2)求抛物线的解析式；
(3)点P是直线l下方抛物线上的一动点，过点P作PC⊥x轴，垂足为C，交直线1于点D，过点P作PM⊥l，垂足为M.求PM的最大值及此时P点的坐标．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：−2023的相反数是2023．
故选：A．
直接根据相反数的定义解答即可．
本题考查的是相反数，熟知只有符号不同的两个数叫做互为相反数是解题的关键．
2.【答案】B
【解析】解：−3+1=−2，−3−1=−4，−3×1=−3，−3÷1=−3，
∵−4<−3=−3<−2，
∴算式−3□1的值最小时，“□”中填入的运算符号是−．
故选：B．
首先求出−3+1、−3−1、−3×1、−3÷1的值分别是多少；然后比较大小，判断出算式−3□1的值最小时，“□”中填入的运算符号是哪个即可．
此题主要考查了有理数的混合运算，要熟练掌握运算方法，解答此题的关键是求出−3+1、−3−1、−3×1、−3÷1的值分别是多少．
3.【答案】D
【解析】解：A、原图是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B、原图既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C、原图既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
D、原图既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意．
故选：D．
根据轴对称图形与中心对称图形的定义逐一判断即可．
本题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
4.【答案】C
【解析】解：A.检测“神舟十六号”载人飞船零件的质量，应采用全面调查，故此选项不合题意；
B.任意画一个三角形，其外角和是180°是不可能事件，故此选项不合题意；
C.数据4，9，5，7的中位数是：(5+7)÷2=6，故此选项符合题意；
D.甲、乙两组数据的方差分别是s甲2=0.4，s乙2=2，则甲组数据比乙组数据稳定，故此选项不合题意．
故选：C．
直接利用中位数求法以及方差的意义、随机事件的定义分别判断得出答案．
此题主要考查了中位数以及方差、随机事件，正确掌握相关定义是解题关键．
5.【答案】C
【解析】解：A． 2+ 3无法合并，故此选项不合题意；
B. (−5)2=5，故此选项不合题意；
C.(3− 2)2=11−6 2，故此选项符合题意；
D.6÷2 3× 3=9，故此选项不合题意．
故选：C．
直接利用二次根式的混合运算法则分别计算，进而判断得出答案．
此题主要考查了二次根式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
6.【答案】D
【解析】解：由作图可知PQ垂直平分线段AC，故选项A正确，
∴DA=DC，AE=EC，
∴∠A=∠DCA，
∵∠ACB=90°，
∴∠A+∠B=90°，∠DCB+∠DCA=90°，
∴∠B=∠DCB，
∴DB=DC，
∴AD=DB，
∴CD=12AB，故选项B正确，
∵AD=DB，AE=EC，
∴DE=12BC，故选项C正确，
故选：D．
根据线段的垂直平分线的性质，直角三角形斜边中线的性质，三角形中位线定理一一判断即可．
本题考查作图−基本作图，线段的垂直平分线的性质，三角形中位线定理，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
7.【答案】A
【解析】解：由题意可得，
y−x=4.512y=x−1，
故选：A．
根据用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，可以列出相应的方程组，本题得以解决．
本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组．
8.【答案】B
【解析】解：∵直线y1=ax+b经过点(−4,0)．
∴−4a+b=0，
∴b=4a，
∴y2=ax2+bx=ax2+4ax，
∴抛物线y2=ax2+bx的对称轴是直线x=−4a2a−=2；故①正确；
∵y2=ax2+bx=ax2+4ax，
∴Δ=16a2>0，
∴抛物线y2=ax2+bx与x轴一定有两个交点，故②正确；
∵b=4a，
∴方程ax2+bx=ax+b为ax2+4ax=ax+4a得，
整理得x2+3x−4=0，
解得x1=−4，x2=1；故③正确；
∵a>0，抛物线y2=ax2+bx的开口向上，直线y1=ax+b和抛物线y2=ax2+bx交点横坐标为−4，1，
∴当x<−4或x>1时，y1故选：B．
根据直线y1=ax+b经过点(−4,0).得到b=4a，于是得到y2=ax2+bx=ax2+4ax，求得抛物线y2=ax2+bx的对称轴是直线x=−4a2a−=2；故①正确；根据Δ=16a2>0，得到抛物线y2=ax2+bx与x轴一定有两个交点，故②正确；把b=4a，代入ax2+bx=ax+b得到x2+3x−4=0，求得x1=−4，x2=1；故③正确；根据a>0，得到抛物线y2=ax2+bx的开口向上，直线y1=ax+b和抛物线y2=ax2+bx交点横坐标为−4，1，于是得到结论．
本题考查了二次函数与不等式(组)，抛物线与x轴的交点，正确地理解题意是解题的关键．
9.【答案】−2
【解析】解：气温上升6℃记作+6℃，那么气温下降2℃记作−2℃，
故答案为：−2．
正数和负数是一组具有相反意义的量，据此即可求得答案．
本题考查正数和负数，熟练掌握其实际意义是解题的关键．
10.【答案】1.03×109
【解析】解：用科学记数法表示：1030000000=1.03×109．
故答案为：1.03×109．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
11.【答案】3a4b
【解析】解：3a2b⋅(−a)2=3a2b⋅a2=3a4b.
故答案为：3a4b.
直接利用积的乘方运算法则化简，再利用单项式乘单项式运算法则计算得出答案．
此题主要考查了积的乘方运算、单项式乘单项式运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
12.【答案】25
【解析】解：数据227， 6，−0.5，π，0中无理数有： 6，π，
则取出的卡片正面的数字是无理数的概率是25，
故答案为：25．
根据题目中的数据，可以写出其中的无理数，然后即可计算出取出的卡片正面的数字是无理数的概率．
本题考查概率公式、无理数，解答本题的关键是明确题意，求出相应的概率．
13.【答案】833
【解析】解：设购买x棵丁香花，
根据题意得：6x≤5000，
解得x≤83313，
∵x为整数，
∴x的最大值为833，
∴最多可以购买833棵；
故答案为：833．
设购买x棵丁香花，根据总费用不超过5000元得：6x≤5000，解出x的值，结合x为整数即可得到答案．
本题考查一元一次不等式的应用，解题的关键是读懂题意，列出一元一次不等式．
14.【答案】8.0
【解析】解：如图，
∵∠ACB=90°，
∴sinA=BCAB，
∵AB=12，∠A=42°，sin42°≈0.67，
∴BC=12×0.67≈8.0，
故答案为：8.0．
根据正弦定义求解即可．
此题考查了解直角三角形，熟记正弦的定义是解题的关键．
15.【答案】18
【解析】解：设反比例函数关系式为：I=kR，
把(4,9)代入得：k=4×9=36，
∴反比例函数关系式为：I=36R，
当I=2时，则2=36R，
∴R=18，
故答案为：18．
根据图象中的点的坐标先求反比例函数关系式，再由电流为2A求得电阻即可．
本题是反比例函数的应用，会利用待定系数法求反比例函数的关系式，并正确认识图象，运用数形结合的思想，与不等式或等式相结合，解决实际问题．
16.【答案】90°或50°
【解析】解：∵在△ABC中，AB=AC，∠BAC=100°，
∴∠B=∠C=12(180°−∠A)=40°，
∵△ABD为直角三角形，
∴有以下两种情况：
①∠ADB=90°，
②∠BAD=90°，
此时∠ADB=180°−∠BAD−∠B=180°−90°−40°=50°．
∴若△ABD为直角三角形，则∠ADB的度数是90°或50°．
故答案为：90°或50°．
首先根据等腰三角形的性质求出∠B=∠C=40°，然后分两种情况进行讨论：①∠ADB=90°；②∠BAD=90°，进而根据三角形的内角和定理求出∠ADB的度数即可．
此题主要考查了等腰三角形的性质，三角形的内角的定理，熟练掌握等腰三角形的性质，三角形的内角的定理是解答此题的关键；分类讨论是解答此题的难点，也是易错点之一．
17.【答案】1−π4
【解析】解：连接OA，OD，
∵AP，PD是⊙O的切线，
∴∠OAP=∠ODP=90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠AOD=90°，
∵OA=OD，
∴四边形OAPD是正方形，
∵AD= 2，
∴OA= 22AD=1，
∴图中阴影部分的面积=正方形OAPD的面积−扇形AOD的面积=1×1−90⋅π×12360=1−π4，
故答案为：1−π4，
连接OA，OD，根据切线的性质得到∠OAP=∠ODP=90°，根据正方形的面积公式和扇形的面积公式即可得到结论．
本题考查正多边形与圆，切线的性质，掌握正多边形与圆的性质是正确计算的前提，判定四边形OAPD是正方形是解决问题的关键．
18.【答案】2
【解析】解：过A′点作A′H⊥BC于H点，如图，
∵四边形ABCD为矩形，
∴BC=AD=9，∠B=90°，
∵将PA绕点P顺时针旋转90°得到PA′，
∴PA=PA′，
∵∠PAB+∠APB=90°，∠APB+∠A′PH=90°，
∴∠PAB=∠A′PH，
在△ABP和△PHA′中，
∠B=∠PHA′∠PAB=∠A′PHPA=A′P，
∴△ABP≌△PHA′(AAS)，
∴PB=A′H，PH=AB=5，
设PB=x，则A′H=x，CH=9−x−5=4−x，
在Rt△A′CH中，x2+(4−x)2=(2 2)2，
解得x1=x2=2，
即BP的长为2．
故答案为：2．
过A′点作A′H⊥BC于H点，如图，根据旋转的性质得到PA=PA′，再证明△ABP≌△PHA′得到PB=A′H，PH=AB=5，设PB=x，则A′H=x，CH=4−x，然后在Rt△A′CH中利用勾股定理得到x2+(4−x)2=(2 2)2，于是解方程求出x即可．
本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了全等三角形的判定与性质和矩形的性质．
19.【答案】解：原式=−1+( 2−1)−1
=−1+ 2−1−1
= 2−3．
【解析】直接利用绝对值的性质以及零指数幂的性质、有理数的乘方运算分别化简，进而得出答案．
此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．
20.【答案】解：(2a−3)2−(a+5)(a−5)
=(4a2−12a+9)−(a2−25)
=4a2−12a+9−a2+25
=3a2−12a+34．
【解析】利用完全平方公式和平方差公式解答即可．
本题主要考查了完全平方公式，平方差公式，熟练掌握两个公式是解题的关键．
21.【答案】解：原式=[a(a+b)(a−b)−1a+b]×a(a−b)
=a(a+b)(a−b)×a(a−b)−a(a−b)a+b
=a2a+b−a2−aba+b
=aba+b；
∵a，b是方程x2+x−6=0的两个根，
∴a+b=−1 ab=−6，
∴原式=aba+b=−−6−1=6．
【解析】把除化为乘，用乘法分配律计算，再根据a，b是方程x2+x−6=0的两个根求出a+b=−1 ab=−6，整体代入计算即可．
本题考查分式化简求值，解题的关键是掌握分式的基本性质，能正确通分和约分．
22.【答案】100
【解析】解：(1)由题意可得，
本次抽样调查的样本容量是100，
故答案为：100；
(2)树状图如下，
由上可得，一共有12种等可能性，其中A，B两人同时被选中的可能性有2种，
∴A，B两人同时被选中的概率为212=16．
(1)根据样本容量的定义，可以写出本次抽样调查的样本容量；
(2)根据题意，可以画出相应的树状图，然后求出相应的概率即可．
本题考查列表法与树状图法、样本容量，解答本题的关键是明确题意，画出相应的树状图，求出相应的概率．
23.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB/​/DC，AB=DC(平行四边形的对边平行且相等)，
∴∠AEM=∠CFM (两直线平行，内错角相等)，
∵BE=DF，
∴AB+BE=CD+DF即AE=CF，
在△AEM和△CFM中
∠AME=∠CMF(对顶角相等)∠AEM=∠CFMAE=CF
∴△AEM≌△CFM(AAS)；
(2)解：∵AE=CF AE//CF，
∴四边形AECF是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形)，
又∵AC⊥EF，
∴▱AECF是菱形(对角线互相垂直的平行四边形是菱形)，
∴AE=EC=CF=AF(菱形的四条边都相等)，
∴菱形AECF的周长=4AF=4×3 2=12 2．
【解析】(1)直接利用平行四边形的性质结合全等三角形的判定方法分析得出答案；
(2)利用菱形的判定与性质得出答案．
此题主要考查了平行四边形的性质以及菱形的判定与性质、全等三角形的判定等知识，正确掌握相关性质是解题关键．
24.【答案】解：(1)∵一次函数y=2x−4的图象与x轴交于点A，
∴令y=0，2x−4=0，
解得x=2，
∴点A的坐标是(2,0)，
∵点B(m,4)在一次函数y=2x−4的图象上，
把B(m,4)代入y=2x−4，得2m−4=4，
∴m=4，
∴点B的坐标是(4,4)；
(2)图象过点A的坐标是(2,0)，点B的坐标是(4,4)，如图：

(3)∵A(2,0)，B(4,4)，
∴AB= 22+42=2 5，
∵点P在x轴的正半轴上，△ABP是以AB为腰的等腰三角形，
∴P的坐标为(6,0)或(2+2 5,0)．
【解析】(1)把y=0和4分别代入函数解析式，即可求得相应的x和m的值，即可得点A、B的坐标；
(2)利用描点法画图象即可；
(3)根据等腰三角形的性质即可得出答案．
本题考查一次函数图象上点的坐标特征，等腰三角形的判定，两边相等的三角形是等腰三角形，以及坐标与图形的性质，分类讨论思想的运用是解题的关键．
25.【答案】(1)证明：∵OC⊥ABOC是⊙O的半径
∴AD=BD，AC=BC，
∴∠BAC=∠E；
(2)解：∵∠BAC=∠E，
∵∠ACF=∠ECA，
∴△ACF∽△ECA，
∴ACEC=CFCA，
∵AB=8，
∴AD=BD=4，
∵∠ADC=90° AD=4，CD=2
∴AC= AD2+CD2=2 5，
∴2 53 10=CF2 5，
∴CF=2 103．
【解析】(1)由垂径定理推出AC=BC，即可得到∠BAC=∠E；
(2)由勾股定理求出AC的长，由△ACF∽△ECA，得到ACEC=CFCA，代入有关数据即可求出CF的长．
本题考查圆周角定理，勾股定理，垂径定理，相似三角形的判定和性质，关键是证明△ACF∽△ECA，得到ACEC=CFCA，即可求出CF的长．
26.【答案】∠CMD′ ∠MCN 两直线平行，内错角相等 ∠CMD′ ∠MCN 等角对等边
【解析】解：【验证】∵矩形纸片ABCD沿MC所在的直线折叠，
∴∠CMD=∠CMD′，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD/​/BC(矩形的对边平行)，
∴∠CMD=∠MCN(两直线平行，内错角相等)，
∴∠CMD′=∠MCN(等量代换)，
∴MN=CN(等角对等边)．
故答案为：∠CMD′；∠MCN；两直线平行，内错角相等；∠CMD′=∠MCN；等角对等边；
【应用】(1)EC=2MN；理由如下：
∵由四边形ABEM折叠得到四边形A′B′EM，
∴∠AME=∠A′ME，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD/​/BC(矩形的对边平行)，
∴∠AME=∠MEN(两直线平行，内错角相等)，
∴∠A′ME=∠MEN，
∴MN=EN(等角对等边)，
∵MN=CN，
∴MN=EN=NC，
即EC=2MN；
(2)∵矩形ABCD沿MC所在直线折叠，
∴∠D=∠D′=90°，DC=D′C=2，MD=MD′=4，
设MN=NC=x，
∴ND′=MD′−MN=4−x，
在Rt△ND′C中，∠D′=90°，
∴ND′2+D′C2=NC2，
∴(4−x)2+22=x2，
解得x=52，
∴MN=52，
∴EC=2MN=5．
【验证】根据折叠的性质得到∠CMD=∠CMD′，根据矩形的性质推出∠CMD=∠MCN，则∠CMD′=∠MCN，根据等腰三角形的判定即可得解；
【应用】(1)根据折叠的性质得到∠AME=∠A′ME，根据矩形的性质推出∠AME=∠MEN，则∠A′ME=∠MEN，根据等腰三角形的判定即可得出MN=EN，结合MN=CN即可得解；
(2)根据矩形的性质、折叠的性质得出∠D=∠D′=90°，DC=D′C=2，MD=MD′=4，设MN=NC=x，则ND′=4−x，根据勾股定理求解即可．
此题是四边形综合题，考查了矩形的性质、折叠的性质、等腰三角形的判定、勾股定理等知识，熟练掌握矩形的性质、折叠的性质、等腰三角形的判定是解题的关键．
27.【答案】解：(1)设直线l的解析式为y=mx+n(m≠0)，
∵直线l与x轴交于点A(6,0)，与y轴交于点B(0,−6)，
∴6m+n=0n=−6，
解得：m=1n=−6，
∴直线l的解析式为y=x−6；
(2)设抛物线的解析式为y=a(x−h)2+k(a≠0)，
∵抛物线的对称轴是直线x=1，
∴y=a(x−1)2+k，
∵抛物线经过点A，B，
∴25a+k=0a+k=−6，
解得：a=14k=−254，
∴抛物线的解析式为y=14(x−1)2−254；
(3)∵A(6,0)，B(0,−6)，
∴OA=OB=6，
在△AOB中，∠AOB=90°，
∴∠OAB=∠OBA=45°，
∵PC⊥x轴，PM⊥l，
∴∠PCA=∠PND=90°，
在Rt△ADC中，∵∠PCA=90°，∠OAB=45°，
∴∠ADC=45°，
∴∠PDM=∠ADC=45°，
在Rt△PMD中，∠PMD=90°，∠PDM=45°，
∴sin45°=PMPD，
∴PM= 22PD，
∵y=14(x−1)2−254=14x2−12x−6，
∴设点P(t,14t2−12t−6)，
∴D(t,t−6)，
∴PD=t−6−(14t2−12t−6)=−14t2+32t=−14(t−3)2+94，
∵−14<0，
∴当t=3时，PD有最大值是94，此时PM最大，
PM= 22PD= 22×94=9 28，
当t=3时，14t2−12t−6=14×9−12×3−6=−214，
∴P(3,−214)，
∴PM的最大值是9 28，此时点P(3,−214).
【解析】(1)运用待定系数法即可求得答案；
(2)根据抛物线的对称轴是直线x=1，可设y=a(x−1)2+k，利用待定系数法即可求得答案；
(3)由∠PCA=90°，∠OAB=45°，可得∠PDM=∠ADC=45°，利用解直角三角形可得PM= 22PD，设点P(t,14t2−12t−6)，则D(t,t−6)，可得PD=t−6−(14t2−12t−6)=−14t2+32t=−14(t−3)2+94，利用二次函数的性质即可求得答案．
本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，二次函数的图象和性质，解直角三角形等，本题难度适中，熟练掌握待定系数法和二次函数的图象和性质是解题关键．