2023年安徽省马鞍山市雨山区花园初级中学二模数学试卷（含解析）

2023年安徽省马鞍山市雨山区花园初级中学二模数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.的倒数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.我国经济结构和区域布局继续优化，粮食产量亿斤，创历史新高，把数据亿用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

3.下列运算正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

4.将一副三角板按如图所示的位置摆放，则的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

5.如图的几何体是由一个正方体切去一个小正方体形成的，它的左视图是(    )

A.
B.
C.
D.

6.如图是一个正方形纸板，阴影部分是由段以正方形边长的一半为半径的弧所围成的，这些弧所在圆的圆心分别是正方形的顶点或中心，这样的图形被称为斯坦因豪斯图形若将一根针随机投掷到该正方形纸板上，则针尖落在阴影区域的概率是(    )

A.  B.  C.  D.

7.已知一组数据、、、、、的平均数是，则这组数据的方差是(    )

A.  B.  C.  D.

8.如图，四边形为平行四边形，和平行于轴，点在函数上，点、在函数上，点在轴上，则四边形的面积为(    )

A.
B.
C.
D.

9.若实数，，满足，，，则下列结论正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

10.如图，在中，，，点是边的中点，点是边上一个动点，连接，以为边在的下方作等边三角形，连接则的最小值是(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

11.计算：的平方根 ______ ．

12.分解因式：______．

13.如图，内接于、为的中点，为边上一点、平分，，则的度数为______．

14.抛物线的顶点坐标为．
______ ；
若抛物线向下平移个单位后，在范围内与轴只有一个交点，则的取值范围是______ ．

三、解答题（本大题共9小题，共90.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

15.本小题分
计算：．

16.本小题分

如图，在边长为的小正方形网格中，的顶点均在格点上．
将向右平移五个单位长度，再向上平移一个单位长度后得到，请画出；
将绕边中点按逆时针方向旋转得到，请画出并判断四边形的形状．

17.本小题分

在滨湖国际会展中心广场中央摆放着一个正六边形的鲜花图案，如图所示，已知第一层摆红色花，第二层摆黄色花，第三层是紫色花，第四层摆红色花由里向外依次按红、黄、紫的颜色摆放．
这个鲜花图案有层，则这层共摆放了______ 盆花用含的代数式表示；
如果最外层共有盆花，则最外层花的颜色是______ 请计算此时鲜花图案共有多少盆花摆成的．

18.本小题分
某校计划投资万元建设几间多功能教室，实际上每间多功能教室的费用增加了，所以多花了万元，但比原计划多建了一间多功能教室，求原计划每间多功能教室的费用是多少？

19.本小题分
年月日，“神舟十四号”载人航天飞船搭载“明星”机械臂成功发射．如图是处于工作状态的某型号手臂机器人示意图，是垂直于工作台的移动基座，、为机械臂，，，，机械臂端点到工作台的距离．
求、两点之间的距离；
求长．
结果精确到，参考数据：，，，
 

20.本小题分
如图，为圆的直径，，为圆上的两点，平分，于，于．
求证：为圆的切线；
若，，求图中阴影部分的面积．

21.本小题分

实验中学在落实“双减”的背景下，决定在课后延时服务中组织学生开展社团活动，现准备开设手工、摄影、航模、编程四门校本课程，规定每名学生必须且只能选修一门校本课程，学校对七年级学生选修校本课程的情况进行了抽样调查，根据调查结果绘制了下面两幅不完整的统计图．
请你根据统计图提供的信息，解答下列问题．
本次调查，一共调查了______ 名学生；
补全条形统计图和扇形统计图；
若本次调查中选择“航模”课程中的女生占，则在全校名学生中，请你估计约有多少名女生会选择“航模”课程；
将名选修“航模”的学生和名选修“编程”的学生编为一组，再从中随机抽取人，请用列表或画树状图的方法求出人都选修“航模”的概率．

22.本小题分
如图，抛物线与轴相交于原点和点，直线与抛物线在第一象限的交点为点，抛物线的顶点为点．

求点和点的坐标；
抛物线上是否存在点，使得？若存在，求出所有点的坐标；若不存在，请说明理由；
如图，点是点关于抛物线对称轴的对称点，点是直线下方的抛物线上的动点，与直线交于点设和的面积分别为和，求的最大值．

23.本小题分
在四边形中，点，分别是边，上的点，连接、并延长，分别交，的延长线于点、．

如图，若四边形是正方形，，连接，求证：∽；
如图，若四边形是菱形，，，设，，求与的函数关系式；
如图，若四边形是矩形，，，，求的长．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】【分析】
直接利用倒数的定义得出答案即可．
【解答】
解：根据乘积为的两数互为倒数可知，的倒数是：．
故选：．
【点评】
本题主要考查了倒数，正确掌握倒数的定义是解题关键．

2.【答案】 

【解析】解：亿．
故选：．
把一个大于的数记成的形式，其中是整数数位只有一位的数，是正整数，这种记数法叫做科学记数法，由此即可得到答案．
本题考查科学记数法表示较大的数，关键是掌握用科学记数法表示数的方法．

3.【答案】 

【解析】解：、，不符合题意；
B、，不符合题意；
C、，符合题意；
D、，不符合题意；
故选：．
根据积的乘方，幂的乘方，同底数幂的乘法分别计算即可得到结果．
此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

4.【答案】 

【解析】解：如图，

由题意得：，，
，
，
，
是的外角，
．
故选：．
由题意可得，，由平行线的性质得，再由对顶角相等得，再由三角形的外角性质即可求．
本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，同位角相等．

5.【答案】 

【解析】解：从几何体的左边看可得到一个正方形，正方形的右上角处有一个小正方形，
故选：．
找到从左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在左视图中．
本题考查了三视图的知识，左视图是从物体的左面看得到的视图．

6.【答案】 

【解析】解：如图所示，连接正方形的对边重点得到四个相同的小正方形，观察图形，把和、和的位置互换，得到两个阴影部分面积相等的小正方形，所以阴影部分的面积是正方形的面积的一半，
所以将一根针随机投掷到该正方形纸板上，则针尖落在阴影区域的概率是，
故选：．
利用割补法可得阴影部分的面积等于正方形面积的一半，然后利用概率公式求解即可．
本题考查了概率公式的知识，解题的关键是求得阴影部分的面积在正方形中的占比，难度不大．

7.【答案】 

【解析】解：一组数据、、、、、的平均数是，
，
解得，
，
故选：．
先由平均数是计算的值，再根据方差的计算公式，直接计算可得．
本题考查的是算术平均数和方差的计算，掌握方差的计算公式：一般地设个数据，，，的平均数为，则方差，是解题的关键．

8.【答案】 

【解析】解：作轴于，轴于，轴于，
四边形为平行四边形，和平行于轴，
，，
．
故选：．
作轴于，轴于，轴于，根据平行四边形的面积公式以及反比例函数系数的几何意义即可求得．
本题考查了反比例函数系数的几何意义：从反比例函数图象上任意一点向轴和轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为．

9.【答案】 

【解析】解：依据题意设二次函数，
当时，，
二次函数与轴交点为，
当时，，
，，
由以上分析，二次函数与轴有一个交点或两个交点．
，
故选：．
设二次函数，根据，推断二次函数与轴交点和时，可得结论．
本题主要考查了二次函数的图象与性质，解题的关键是根据题意构造二次函数解析式．

10.【答案】 

【解析】解：如图在的下方作等边，作射线．
，，，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，
点的运动轨迹是射线，
当时，的值最小，最小值，
故选：．
如图在的下方作等边，作射线证明≌，推出，推出，推出点的运动轨迹是射线，当时，的值最小．
本题考查旋转的性质，垂线段最短，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．

11.【答案】 

【解析】解：，
的平方根是．
故答案为：．
先计算，然后计算其平方根．
此题主要考查了平方根和算术平方根，正确把握相关定义是解题关键．

12.【答案】 

【解析】解：原式，
故答案为：．
先提取公因式，进而用平方差公式展开即可．
考查因式分解的知识；一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．

13.【答案】 

【解析】解：连接，，，

平分，
，
在和中，
，
≌，
，
是的中点，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
连接，，，通过证明≌可得，由垂径定理的逆定理可得，再根据等腰三角形的性质及三角形的内角和定理可求解的度数，利用圆周角定理可求解．
本题主要考查圆周角定理，三角形的内角和定理，垂径定理，全等三角形的判定与性质，求解的度数是解题的关键．

14.【答案】   

【解析】解：抛物线的对称轴是直线．
抛物线的顶点坐标为，
抛物线的对称轴是直线．
．
则．
故答案为：；
由知抛物线的解析式为，
平移后抛物线解析式为，
如图，

当直线与抛物线交点在轴上方，直线与抛物线交点在轴上或轴下方满足题意．
即，
解得．
故答案为：．
根据抛物线对称轴公式求解即可；
根据抛物线开口方向，对称轴及顶点坐标结合图象求解．
本题考查二次函数的图象性质，熟练掌握性质是解题关键．

15.【答案】解：原式
． 

【解析】先算二次根式的乘法，去绝对值，算负整数指数幂，再合并即可．
本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式相关运算的法则．

16.【答案】解：如图，为所作；
如图，为所作吗，

，，
四边形为平行四边形． 

【解析】利用网格特点和点平移的规律画出、、的对应点、、即可；
利用网格特点，画出、、关于点的对称点得到，然后根据平行四边形的判定方法可判断四边形的形状．
本题考查了作图旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了平移变换．

17.【答案】  红色 

【解析】解：第层花的盆数是，
第层花的盆数是，
第层的花的盆数是，
，
第层花的盆数是，
层共有花的盆数是：，
故答案为：；
由题意得：，
解得，
即第层共有盆花，
，
第层花的颜色是红色，
共有花的盆数是：盆．
故答案为：红色．
从图形可得：第层花的盆数是，第层花的盆数是，第层的花的盆数是，，则第层花的盆数是，从而可求层共有花的盆数；
根据所得的规律进行求解即可．
本题主要考查图形的变化规律，解答的关键是由所给的图形总结出第层有盆花，层共有盆花．

18.【答案】解：设原计划每间多功能教室的费用是万元，则实际每间多功能教室的费用是万元，
由题意得：，
解得：，
经检验：是所列方程的解，且符合题意，
答：原计划每间多功能教室的费用是万元． 

【解析】设原计划每间多功能教室的费用是万元，则实际每间多功能教室的费用是万元，根据比原计划多建了一间多功能教室，列出分式方程，解方程即可．
本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．

19.【答案】解：如图，过点作，垂足为，

在中，，，
，，
，，
，，
，
在中，由勾股定理．
故A，两点之间距离为．
过点作，垂足为，
，，
，
在中，由勾股定理．
的长为． 

【解析】本题考查了解直角三角形的应用、勾股定理等知识；正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
过点作，垂足为，在中，由，，可求和，即可得出的长；
过点作，垂足为，在中，由勾股定理可求出，即的长．

20.【答案】证明：如图，连接，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
是半径，
是的切线；
解：平分，，，
，
，
≌，
，
，即，
，
是的直径，
，
，
，
，
又，
∽，
，
即，
设半径为，则，，，
，
解得或舍去，
，
在中，，，
，
，
，


． 

【解析】根据等腰三角形的性质，角平分线的定义得出，进而得出，再根据平行线的性质得出即可；
根据相似三角形的判定和性质，求出的半径，进而求出圆心角的度数，由进行计算即可．
本题考查切线的性质，圆周角定理，角平分线，扇形面积的计算以及相似三角形的判定和性质，掌握切线的性质，圆周角定理以及相似三角形的判定和性质是正确解答的前提，求出圆的半径以及相应的圆心角度数是正确求出阴影部分面积的关键．

21.【答案】 

【解析】解：样本容量等于，
本次调查，一共调查了名学生，
故答案为：；
选修手工的人数为名，选修编程的学生人数占学生总数的百分比为：，选修航模的人数为：名，占学生总数的百分比为：．
补全条形统计图和扇形统计图：

人，
约有名女生会选择“航模”课程．
如图：

共有种等可能的结果，其中人都选修“航模”的情况有种，
人都选修“航模”的概率．
根据摄影的人数以及百分比，即可得到本次调查，一共调查了名学生；
选修航模的人数为，选修编织的学生人数占学生总数的百分比为：，即可补全条形统计图和扇形统计图；
根据选修航模的女生百分比，即可估计该学校有多少名女生选修航模；
用列表或画树状图的方法，即可得到共有种等可能的结果，其中人都选修“航模”的情况有种，即可求出人都选修“航模”的概率．
本题考查的是用列表法或画树状图法求概率，用列表法或画树状图法不重复不遗漏的列出所有可能的结果是解题的关键．

22.【答案】解：抛物线，
，
当时，有最小值，
．
直线与抛物线在第一象限的交点为点，
联立，
解得或舍去，
．
故点和点的坐标分别为和；

设直线的解析式为：，
则将，代入得，
，
解得，
直线的解析式为：．
当点在直线的下方时，过点作轴，交轴于点，延长，交于，

，
，即，，
，
，
≌，
．
当时，，得：，
，
则，
，
易知直线的解析式为：，
联立：，
解得或舍去，
；
当点在直线的上方时，

，
，
直线的解析式为：，
直线的解析式为：，
联立：，解得：或舍去，
．
综上，当点的坐标为或时，使得；

点与点关于对称轴对称，
，
如图，分别过点，作轴的平行线，交直线于点，，

，，
设，则，
，
，，
，
当时，的最大值为． 

【解析】将函数化作顶点式可得出点的坐标，联立与可得出点的坐标；
分点在直线下方、上方两种情况，分别求解即可；
如图，分别过点，作轴的平行线，交直线于点，，则，，设，可表达，再利用二次函数的性质可得出结论．
本题属于二次函数综合题，主要考查二次函数的性质，二次函数上的坐标特征，三角形的面积和全等三角形的判定及性质，解题的关键正确表达两个三角形面积的比．

23.【答案】证明：四边形是正方形，
，
，
，
，
，
同理，
，，
，，
，，
，，
∽；
解：四边形是菱形，
，
，
，
，
，
，
同理，
，，
，，
，，
∽，
，
，
，
，
，
，
∽，
，
，
，
；
解：如图，取中点，过点作，交于点，交于点，连接，

，
，且是中点，
，
，，，
，
，
，，
，
，
，
，
，，
，且，
四边形是平行四边形，且，，
四边形是正方形，
，
四边形是正方形，且，由可得：∽，
，
，，
，，
，
，
故AG的长为． 

【解析】根据正方形的性质得到，求得，同理，根据平行线的性质得到，，等量代换得到，，根据相似三角形的判定定理即可得到结论；
根据菱形的性质得到，根据平行线的性质得到，等量代换得到，同理，根据相似三角形的性质得到，得到，根据相似三角形的性质即可得到；
如图，取中点，过点作，交于点，交于点，连接，根据平行线分线段成比例定理得到，得到，求得，，根据相似三角形的性质得到，求得，，得到，于是得到结论．
本题是相似形综合题，考查了矩形的性质，菱形的性质，正方形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造相似三角形是本题的关键．