2023-2024学年辽宁省沈阳重点中学高二（上）第二次质检数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年辽宁省沈阳重点中学高二（上）第二次质检数学试卷（含解析），共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023-2024学年辽宁省沈阳重点中学高二（上）第二次质检数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.直线的倾斜角为(    )A.  B.  C.  D. 2.方程表示一个圆，则的取值范围是(    )A.  B.  C.  D. 3.设椭圆：，：的离心率分别为，若，则(    )A.  B.  C.  D. 4.古希腊著名数学家欧几里德在几何原本一书中定义了圆锥与直角圆锥这两个概念：固定直角三角形的一条直角边，旋转直角三角形到开始位置，所形成的图形称为圆锥；如果固定的直角边等于另一直角边时，所形成的圆锥称为直角圆锥，则直角圆锥的侧面展开图为一扇形的圆心角的大小为(    )A.  B.
C.  D. 与直角圆锥的母线长有关5.已知、，圆：与圆：交于不同的两点、，若，则(    )A.  B.  C.  D. 6.已知为坐标原点，过点作直线：不全为零的垂线，垂足为，当，变化时，的最小值为(    )A.  B.  C.  D. 7.已知椭圆的右焦点为，若存在过原点的直线与的交点，满足，则椭圆的离心率的取值范围为(    )A.  B.  C.  D. 8.在三棱锥中，底面为等腰三角形，，且，平面平面，，点为三棱锥外接球上一动点，且点到平面的距离的最大值为，则球的表面积为(    )A.  B.  C.  D. 二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）9.已知，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，下列命题中正确的是(    )A. 若，，则 B. 若，，则
C. 若，，则 D. 若，，则10.中，，点在直线：上，点、在圆：上，边过圆心，则点的纵坐标可以是(    )A.  B.  C.  D. 11.若椭圆上存在点，使得点到椭圆的两个焦点的距离之比为：，则称该椭圆为“倍径椭圆”，则下列椭圆中为“倍径椭圆”的是(    )A.  B.  C.  D. 12.已知点，，且点在直线：上，则(    )A. 存在点，使得 B. 存在点，使得
C. 的最小值为 D. 最大值为三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.椭圆的焦距为，则的值等于______．14.已知圆台的侧面积与轴截面的面积之比为，若上、下底面的半径分别为和，则母线长为______ ．15.如图，在直三棱柱中，，，点在棱上运动，则过点且与垂直的平面截该三棱柱所得的截面面积的最大值为          ．

 16.当点为直线上任意一点时，点也在该直线上，则直线的方程为______ ．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.本小题分
已知两条不同直线：，：
若，求实数的值；
若，求实数的值；并求此时直线与之间的距离．18.本小题分
已知中心在坐标原点，焦点在轴上，离心率为的椭圆过点
Ⅰ求椭圆的方程；
Ⅱ设不过坐标原点的直线与椭圆交于，两点，若，证明：点到直线的距离为定值．19.本小题分

如图，，分别是圆柱上、下底面圆的圆心，该圆柱的轴截面是边长为的正方形，，分别是其上、下底面圆周上的动点，已知，位于轴截面的异侧，且
当，，，四点共面时，求；
当时，求二面角的正弦值．
20.本小题分

树林的边界是直线如图所示，一只兔子在河边喝水时发现了一只狼，兔子和狼分别位于的垂线上的点点点处，为正常数，若兔子沿方向以速度向树林逃跑，同时狼沿线段方向以速度进行追击为正常数，若狼到达处的时间不多于兔子到达处的时间，狼就会吃掉兔子．
求兔子被狼吃掉的点的区域面积；
若兔子要想不被狼吃掉，求的取值范围．
21.本小题分
已知圆的方程为，直线的方程为，点在直线上，过点作圆的切线，，切点为，．
若点的坐标为，求切线，的方程；
求四边形面积的最小值；
求证：经过，，三点的圆必过定点，并求出所有定点坐标．22.本小题分

如图，在斜三棱柱中，底面是边长为的正三角形，侧面为菱形，已知，．
当时，求三棱柱的体积；
设点为侧棱上一动点，当时，求直线与平面所成角的正弦值的取值范围．

答案和解析 1.【答案】 【解析】解：设倾斜角为，直线的斜率为，
则，

，
故选：．
设倾斜角为，由题意可得，即可求出．
本题考查了直线的倾斜角和斜率的关系，属于基础题．2.【答案】 【解析】方程，
配方得：，
因为方程表示一个圆，所以，
从而：，
故选：．
把方程配方成圆的标准方程，利用半径大于零，即可得到不等式．
主要考察二元二次方程表示圆的条件，一般通过配方，利用半径大于零即可解题．3.【答案】 【解析】解：由椭圆：可得，，，
椭圆的离心率分别为，
，，，
，
或舍去．
故选：．
利用椭圆：的方程可求其离心率，进而可求，可求．
本题考查椭圆的几何性质，考查运算求解能力，属基础题．4.【答案】 【解析】解：由题意，直角圆锥的底面半径等于圆锥的高，
可得圆锥的母线长为，
直角圆锥的侧面展开图的弧长为，半径为，
则扇形的圆心角为．
故选：．
设直角圆锥的底面半径，则圆锥的母线长为，求出圆锥侧面展开后所得扇形的弧长与半径，则圆心角可求．
本题考查圆锥的侧面展开图，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，是基础题．5.【答案】 【解析】解：圆：即为，
即有圆心为，半径为，
圆：即为，
即有圆心为，半径为，
由题意可得，
由，即为，
即有，
由于垂直平分，即有经过原点，
即为，即．
故选：．
分别求出两圆的圆心和半径，由两圆相交的定义可得，的不等式，再由条件结合两点的距离公式和等腰三角形的性质，即可得到经过原点，即，再由二次不等式的解法即可得到，的范围．
本题考查圆与圆的位置关系：相交，主要考查两圆相交相交弦被圆心连线垂直平分的性质，同时考查直线斜率的运用，考查运算能力，属于中档题和易错题．6.【答案】 【解析】解：因为直线，可得，
由方程组，解得，，即直线恒过点，
又因为过点作直线的垂线，垂足为，设，
可得，所以，
可得，
整理得，即点的轨迹为以为圆心，半径为的圆，
又由，所以．
故选：．
根据题意，得到直线恒过点，结合，求得点的轨迹方程，结合点与圆的位置关系，即可求解．
本题考查点的轨迹方程的求法，属于基础题7.【答案】 【解析】【分析】本题考查了椭圆的离心率问题，属于基础题．
根据题意可得出以原点为圆心，为半径的圆与椭圆有交点，从而可得到，然后结合及椭圆的离心率即可求出答案．【解答】
解：因为存在过原点的直线与的交点，，满足，
故以原点为圆心，为半径的圆与椭圆有交点，
所以，即，
又因为，
所以，即，
所以，
即．
故答案选：．8.【答案】 【解析】解：取的中点，连接，，因为，所以，

因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，
因为平面，所以，
又因为，，，平面，所以平面，
因为为等腰三角形，且，则，设，则．
设外接圆的圆心为，半径为，球的半径为，
如图所示，，，三点共线，由平面，可得平面，
由正弦定理，故，则，
连接，，则，由平面，且外接圆的圆心为，可得，
因为平面，所以，又平面，平面，故平面，
所以点到平面的距离等于点到平面的距离．
又因为点到平面的距离的最大值为，所以，得，
所以，球的表面积为．
故选：．
取的中点，设，设外接圆的圆心为，半径为，球的半径为，可结合线面垂直的性质与判定求得，再根据垂直关系可得点到平面的距离等于点到平面的距离，进而列式求解即可．
本题考查了球的表面积计算，属于中档题．9.【答案】 【解析】解：对于，若，，则或，故A错误；
对于，若，，由直线与平面垂直的性质可得，故B正确；
对于，当，时，或，故C错误；
对于，若，则内存在直线，满足，又，则，可得，故D正确．
故选：．
由空间中直线与直线、直线与平面的位置关系逐一分析四个选项得答案．
本题考查空间中直线与直线、直线与平面位置关系的判定，考查空间想象能力与思维能力，是基础题．10.【答案】 【解析】解：圆：方程可化为，则，

因为点在直线：上，故可设，
因为点、在圆：上，边过圆心，
所以当为切点时，取得最大值，
因为，所以，
又，则，即，
则，
所以，解得，即点的纵坐标范围为，
经检验，满足要求，不满足要求．
故选：．
结合题意，得到当为切点时，，从而得到，再利用两点距离公式即可得解．
本题考查了直线与圆的位置关系，属于中档题．11.【答案】 【解析】【分析】本题考查新定义，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
验证四个答案中哪一个符合题干中的条件：存在点，使得点到两个焦点的距离之比为：．【解答】
解：假设，在椭圆中，，
即，；
椭圆上存在点，使得点到椭圆的两个焦点的距离之比为：，则称该椭圆为“倍径椭圆”，等价于满足，即．
对于选项A，，其不满足上述条件．
故选BC．12.【答案】 【解析】解：对于：设，
当的斜率不存在时，，此时，，所以与不垂直；
当的斜率不存在时，，此时，，所以与不垂直；
当且时，，，
若，则，整理得，该方程无解，故与不垂直，即A错误；
对于：设，若，则，
整理得，
由，知该方程有解，
故存在点，使得，即B正确；
对于：如图，设关于直线的对称点为，
则，解得，即，
所以，当且仅当、、三点共线时，取等号在线段之间，即C正确；

对于：如图，，当且仅当为的延长线与直线的交点时，取等号，即D正确．

故选：．
对于：设，分，的斜率是否存在等三种情况，根据两条直线垂直的条件，分析即可；
对于：设，利用两点间距离公式，求解的值，即可；
对于：设关于直线的对称点为，利用中垂线的性质，求得点的坐标，由，得解；
对于：根据三角形的几何性质，可得，得解．
本题考查直线中的对称问题与最值问题，熟练掌握直线的斜率与坐标之间的关系，两条直线的位置关系，中点坐标公式等是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．13.【答案】或 【解析】【分析】本题考查椭圆的标准方程，以及椭圆的有关性质．
由题意可得：，再分别讨论焦点的位置进而求出的值．【解答】解：由题意可得：．
当椭圆的焦点在轴上时，，解得．
当椭圆的焦点在轴上时，，解得．
故答案为：或．14.【答案】 【解析】解：设圆台的母线长为，高为，则，
因为圆台上、下底面的半径分别为和，
所以圆台的侧面积，轴截面面积，
由已知，化简得，
所以
解得．
故答案为：．
设圆台的母线长为，根据圆台的侧面积公式和梯形面积公式分别计算侧面积和轴截面面积，由条件列方程求母线长．
本题主要考查圆台的侧面积，考查运算求解能力，属于基础题．15.【答案】 【解析】【分析】本题考查三角形相似的判定与性质、平面基本性质及其推论、面面垂直的性质、面面平行的判定、截面周长等基础知识，考查运算求解能力，属中档题．
根据线线垂直，证明线面垂直，找到与垂直的平面，从而平面平面，由此能求出过点且与垂直的平面截该三棱柱所得的截面面积的最大值．【解答】解：取中点为，连接，交于，连接，

，且，，，
，，，
∽，，
，，，
，
平面平面，其交线为，且，
平面，而平面，
，而，且，平面，
平面，
平面平面，
点在棱上运动，当点运动到点时，此时截面最大，进而面积最大，
此时面积为．
故答案为：．16.【答案】或 【解析】解：设直线方程为，则也成立，
即，它与表示的是同一直线方程，
若，之一为，则由上述结论可知另一数也为，这不可能．所以，均不为，
上述两个直线方程表示同一直线，则，
即，
所以或，无论何种情况都为，所以直线方程经化简后为或
故答案为：或．
先设直线方程为，由题意得也成立，结合两直线方程为同一直线方程，比照系数可得，，的关系，即可求解．
本题主要考查了点的轨迹方程的求解，属于中档题．17.【答案】解：直线：，：
，
，
解得
当时，有，
解得，
：，：，即，
直线与之间距离为 【解析】由，列出方程能求出．
由时，求出，由此能求出直线与之间距离．
本题考查实数值、两直线间距离的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意直线平行、点到直线距离公式的合理运用．18.【答案】解：设椭圆的标准方程：，
由题意可得：，解得，，．
椭圆的方程为．
证明：当直线斜率存在时，设直线的方程为：，，，
联立，化为：，
，
，，
，
，
，
化为：．
点到直线的距离为定值．
当直线斜率不存在时也满足上述结论．
点到直线的距离为定值． 【解析】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、向量垂直与数量积的关系、一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
设椭圆的标准方程：，由题意可得：，解得即可得出．
当直线斜率存在时，设直线的方程为：，，，与椭圆方程联立可得：，由，可得，把根与系数的关系代入可得：利用点到直线的距离，即可证明．当直线斜率不存在时，验证即可得出．19.【答案】解：连接，平面平面，
且平面平面，平面平面，，
又，，
又，，
得为等边三角形，则；
如图，取的中点，以为坐标原点，
分别以、、所在直线为、、轴建立空间直角坐标系，
则，，，
，，，
设平面的法向量为，
由，取，得；
设平面的法向量为，
由，取，得．
设二面角的平面角为，
则，
．
故二面角的正弦值为． 【解析】由平面与平面平行的性质定理证明，可得为等边三角形，可求；
建立适当的空间直角坐标系，利用空间向量求解二面角的正弦值．
本题考查空间角的求法，考查等角定理的应用，训练了利用空间向量求解空间角，是中档题．20.【答案】解：如图建立坐标系，设，，，
由，得，即，
两边平方，整理得：，
即 ，
所以在以为圆心，半径为的圆及其内部．
所以，．
设直线的方程为：，兔子要想不被狼吃掉，需点再圆的外部，
即直线和圆相离，即圆心到直线的距离大于半径．
由．
由于为锐角，故 ，所以， 【解析】如图建立坐标系，设，，，由，求得由此求得圆的面积的值．
设：，由求得斜率的范围，即可求得的范围．
本题主要考查圆的标准方程，直线和圆的位置关系，直线的倾斜角和斜率的关系，属于中档题．21.【答案】解：圆的方程为的圆心，半径．
当切线斜率不存在时，切线方程为；
当切线斜率存在时，设切线方程为，
因为直线和圆相切，所以圆心到切线的距离，解得，

所以切线方程为，即．
故所求切线，得方程分别为或；
四边形的面积，
所以当最小时，四边形的面积最小，
又的最小值是圆心到直线：的距离，即，
所以四边形的面积最小值是．
证明：过，，三点的圆即以为直径的圆，
设点，则圆心坐标是，
以为直径的圆的方程是，
化简，得，即
令，解得或．
由于不论为何值，点、的坐标都适合方程，
所以经过，，三点的圆必过定点，定点坐标是和． 【解析】求得圆的圆心和半径，讨论切线的斜率不存在和存在两种情况，结合直线和圆相切的条件，解方程可得所求；
由三角形的面积公式，结合点到直线的距离公式，勾股定理，可得所求最小值；
求得以为直径的圆的方程，化简整理，结合恒等式的性质，解方程可得所求定点．
本题考查圆的方程和性质，以及直线和圆的位置关系，考查方程思想和运算能力、推理能力，属于中档题．22.【答案】解：如图，取的中点为，

为菱形，且，为正三角形，
又为正三角形，且边长为，则，，
且，，，
，
，平面，
三棱柱的体积为：
；
在中，，，
由余弦定理得，
，由得，，
又，平面，
平面，平面平面，
在平面内作，则平面，
以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，

则，，，，，，
设是平面的一个法向量，
则，，
则，取，得，
设，
则，
设直线与平面所成角为，
则，，
令，
令，
则在单调递增，
，
直线与平面所成角的正弦值的取值范围是 【解析】取的中点，根据等边三角形可知，，再计算出各个长度可知，根据线面垂直判定定理可证平面，即为三棱柱的高，根据体积公式能求出结果．
根据及余弦定理求出，以为原点建立合适空间直角坐标系，找出点的坐标，求出平面的一个法向量，设，求出，根据线面角正弦值等于线与法向量夹角的余弦值的绝对值建立等式，构造新函数，根据二次函数的性质能求出结果．
本题考查三棱柱的体积、线面角的正弦值等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．