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新高考物理二轮复习知识梳理+重点突破：第09讲 万有引力定律 (含解析)
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这是一份新高考物理二轮复习知识梳理+重点突破：第09讲 万有引力定律 (含解析)，共29页。试卷主要包含了 开普勒定律，月地检验，万有引力定律，万有引力与重力的关系，注意事项等内容，欢迎下载使用。
第09讲 万有引力定律
知识图谱
万有引力定律的理解和基本计算
知识精讲
知识点一：万有引力定律的理解和基本计算
1． 开普勒定律
定律
图示
内容
开普勒第一定律
（轨道定律）
所有行星分别在大小不同的轨道上同绕太阳运动。太阳在这些椭圆轨道的一个焦点上。
开普勒第一定律
（面积定律）
对任意行星来说，该行星与太阳的连线在相等的时间内扫过相等的面积。
说明：
开普勒第一定律
（周期定律）
所有行星绕太阳运动轨道半长轴的立方与公转周期的二次方成正比。
，k值仅与中心天体有关，而与环绕天体无关；中心天体不同的系统中，k值不同。
2．月地检验
（1）目的：验证天体之间的力与地球上物体所受的重力是同一种性质的力。
（2）原理：假定上述猜想成立，即维持月球绕地球运动的力与使苹果下落的力是同一种力，同样遵从“平方反比”规律，那么由于，所以同一物体在月球轨道上受到的引力约为地面附近受到引力的。根据牛顿第二定律，物体在月球轨道上运动时的加速度（月球公转的向心加速度）也应该是地面附近下落时的加速度（自由落体加速度）的。
（3）验证
当时已经比较精确地测定月球与地球的距离r=384400km、月球的公转周期为27.3天。
地面附近的重力加速度：；
月球运行的向心加速度：
由此可得：，假设成立。
3．万有引力定律
（1）引力公式：
（2）适用条件适用于两个质点或均匀球体；r为两质点或球心间的距离；）
（3）引力常量：，1798年由英国物理学家卡文迪许利用扭秤装置测出，自称“能称出地球质量的人”。
4．利用万有引力定律推导开普勒第三定律
行星绕太阳运转，万有引力提供向心力：
由此可得：
设，可得：，即为开普勒第三定律表达式
k大小有中心天体质量决定，与环绕天体无关，且不同环绕体系k值可能不同。
5．万有引力与重力的关系
（1）在南北极：
（2）在赤道： （为自转所需向心力）
（3）若不考虑地球自转：
6．注意事项：同一个r在不同公式中所具有的含义不同。
万有引力定律公式：r是指两个物体间的距离，对于相距很远因而可以看做质点的物体，则是两个球心的距离。
向心力公式：r是指椭圆轨道的曲率半径，或圆轨道的半径。
开普勒第三定律：r是指椭圆轨道的半长轴或圆形轨道的半径。
三点剖析
1．理解万有引力定律的内容并能利用公式进行简单计算
2．理解万有引力和重力的关系
开普勒定律
例题1、 关于行星运动的规律，下列说法符合史实的是（ ）
A.开普勒在牛顿定律的基础上，导出了行星运动的规律
B.开普勒在天文观测数据的基础上，总结出了行星运动的规律
C.开普勒总结出了行星运动的规律，找出了行星按照这些规律运动的原因
D.开普勒总结出了行星运动的规律，发现了万有引力定律
例题2、 根据开普勒定律可知：火星绕太阳运行的轨道是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上．下列说法正确的是（ ）
A.太阳对火星的万有引力大小始终保持不变
B.太阳对火星的万有引力大于火星对太阳的万有引力
C.火星运动到近日点时的加速度最大
D.火星绕太阳运行的线速度大小始终保持不变
例题3、 开普勒行星运动第三定律指出：行星绕太阳运动的椭圆轨道的半长轴a的三次方与它的公转周期T的二次方成正比，即，k是一个对所有行星都相同的常量。将行星绕太阳的运动按圆周运动处理，请你推导出太阳系中该常量k的表达式。已知万有引力常量为G，太阳的质量为M太。
例题4、 地球公转轨道的半径在天文学上常用来作为长度单位，叫做天文单位，用来量度太阳系内天体与太阳的距离．已知木星公转的轨道半径约5.0天文单位，请估算木星公转的周期约为多少地球年（ ）
A.3年
B.5年
C.11年
D.25年
随练1、 如图所示，海王星绕太阳沿椭圆轨道运动，运行的周期为T0，图中P为近日点，Q为远日点，M、N为轨道短轴的两个端点。若只考虑海王星和太阳之间的相互作用，则海王星在从P经M、Q到N的运动过程中（ ）
A.从Q到N所用的时间等于
B.从Q到N阶段，机械能逐渐变大
C.从P到Q阶段，动量的大小逐渐变小
D.从P到M阶段，万有引力对它做正功
随练2、 据报道，借助于人工智能，科学家们发现了开普勒﹣90星系的第八颗行星即开普勒﹣90i，开普勒﹣90星系相当于一个缩小的太阳系，已知开普勒﹣90i绕其恒星Trappist﹣1的公转周期是地球绕太阳公转周期的p倍，恒星Trappist﹣1的质量为太阳质量的q倍，根据以上信息，开普勒﹣90i中心到其恒星Trappist﹣1中心的距离与地球中心到太阳中心距离的比值为（ ）
A.
B.
C.
D.
随练3、 哈雷彗星绕太阳转动的半长轴是地球绕太阳公转半径的18倍．哈雷彗星曾于1986年飞近地球．请根据开普勒行第三定律估算，1986年之后．它再次飞近地球在哪一年？（ ）
A.2004年
B.2022年
C.2058
D.2062
万有引力定律的基本计算
例题1、 为了将天上的力和地上的力统一起来，牛顿进行了著名的“月地检验”．“月地检验”比较的是（ ）
A.月球表面上物体的重力加速度和地球公转的向心加速度
B.月球表面上物体的重力加速度和地球表面上物体的重力加速度
C.月球公转的向心加速度和地球公转的向心加速度
D.月球公转的向心加速度和地球表面上物体的重力加速度
例题2、[多选题] 对于万有引力定律的表述式，下面说法中正确的是（ ）
A.公式中G为引力常量，它是由实验测得的，而不是人为规定的
B.当m1与m2一定时，随着r的减小，万有引力逐渐增大，当r→0万有引力F→∞
C.m1与m2受到的引力大小总是相等的，方向相反，是一对平衡力
D.m1与m2受到的引力总是大小相等的，而与m1、m2是否相等无关
例题3、 有一质量为M、半径为R、密度均匀的球体，在距离球心O为2R的地方有一质量为m的质点，现在从M中挖去一半径为的球体（如图），然后又在挖空部分填满另外一种密度为原来2倍的物质，如图所示．则填充后的实心球体对m的万有引力为（ ）
A.
B.
C.
D.
例题4、 假设地球是一半径为R、质量分布均匀的球体。一矿井深度为d。已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零。矿井底部和地面处的重力加速度大小之比为（ ）
A.
B.
C.
D.
例题5、 2016年我国成功发射首颗微重力实验卫星——实践十号，可以达到10－6g的微重力水平（10－6g其实指的是加速度），跻身世界先进行列。在太空中不是应该引力提供向心力而完全失重吗？微重力的来源之一是“引潮力”。引潮力较为复杂，简单说来是由于卫星实验舱不能被看作质点造成的，只有在卫星的质心位置引力才恰好等于向心力。假设卫星实验舱中各点绕地球运动的角速度相同，请根据所学知识判断下列说法中正确的是（ ）
A.在卫星质心位置下方（靠近地心一侧）的物体微重力方向向上（远离地心一侧）
B.在卫星质心位置上方的物体微重力方向向上
C.处在卫星质心位置的物体所受合力为零
D.在卫星质心位置上方的物体所受引力大于向心力
随练1、 许多科学家在经典物理学发展中作出了重要贡献，下列叙述中符合史实的是（ ）
A.哥白尼提出了日心说并发现了行星沿椭圆轨道运行的规律
B.开普勒在前人研究的基础上，提出了万有引力定律
C.牛顿提出了万有引力定律，并通过实验测出了万有引力常量
D.卡文迪许通过扭秤实验测出了万有引力常量
随练2、 如图所示，有一个质量为M，半径为R，密度均匀的大球体．从中挖去一个半径为的小球体，并在空腔中心放置一质量为m的质点，则大球体的剩余部分对该质点的万有引力大小为（已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零）（ ）
A.G
B.G
C.4G
D.0
随练3、 为了检验使苹果落地的力与维持月球绕地球的力是同一种性质的力，牛顿做了著名的月—地检验试验。已知地球半径R＝6.40×106m，月球绕地球运行的轨道半径r＝3.84×105 km，月球绕地球运动的周期T＝27.3天，地球附近重力加速度g＝9.80m/s²。请你根据以上数据，通过计算推理说明，使苹果落地的力和维持月球绕地球运动的力是同一种性质的力。
万有引力与重力的关系
例题1、 关于重力和万有引力的关系，下列认识错误的是（ ）
A.地面附近物体所受的重力就是万有引力
B.重力是由于地面附近的物体受到地球的吸引而产生的
C.在不太精确的计算中，可以认为物体的重力等于万有引力
D.严格来说重力并不等于万有引力，除两极处物体的重力等于万有引力外，在地球其他各处的重力都略小于万有引力
例题2、 地球上极地处的重力加速度为a，赤道处的重力加速度为g，地球自转的角速度为ω1。要使赤道上的物体“飘”起来，则地球自转的角速度需达到ω2。则ω1与ω2的比值为（ ）
A.
B.
C.
D.
随练1、 地球两极的重力加速度为g0，赤道处的重力加速度为g，地球自转的周期为T，由于某种原因，假设地球自转加快，赤道处的重力加速度变化了10%．求地球自转加快后的周期．
随练2、 设地球自转周期为T，质量为M，引力常量为G，假设地球可视为质量均匀分布的球体，半径为R．同一物体在南极和赤道水平面上静止时所受到的支持力之比为（ ）
A.
B.
C.
D.
利用万有引力定律求解质量和密度
知识精讲
1．万有引力定律应用的基本思路：
（1）万有引力提供向心力：
即；
（2）万有引力近似等于物体的重力：
即
从而得出（黄金代换）。
2．测天体的质量和密度：
（1）思路：利用求解
①由得：
即只要测出环绕天体的和，就可以计算出中心天体的质量。
②由ρ＝， 得：，R为中心天体的星体半径。
当r＝Ｒ时，即卫星绕天体M表面运行时，，由此可以测量天体的密度。
（2）思路：利用求解
即已知天体表面的重力加速度和形体半径，就可以计算出该天体的质量。
3．星体表面重力加速度、轨道重力加速度问题
思路：利用求解
（1）星体表面重力加速度：
（2）距地面高h的轨道重力加速度：
4．注意事项：在具体的应用中，注意区分星体半径和星体做圆周运动的轨道半径。
三点剖析
1．掌握利用万有引力定律求解质量和密度的方法
2．掌握重力加速度的影响因素和计算
利用万有引力定律求解天体质量和密度
例题1、 利用引力常量G和下列某一组数据，不能计算出地球质量的是（ ）
A.地球的半径及重力加速度（不考虑地球自转）
B.人造卫星在地面附近绕地球做圆周运动的速度及周期
C.月球绕地球做圆周运动的周期及月球与地球间的距离
D.地球绕太阳做圆周运动的周期及地球与太阳间的距离
例题2、 已知在地球表面上，赤道外的重力加速度大小为g1，两极处的重力加速度大小为g2，地球自转的角速度为ω，引力常量为G，地球可视为质量分布均匀的球体，则地球的密度为（ ）
A.
B.
C.
D.
例题3、我国500m口径射电望远镜（天眼）发现毫秒脉冲星“J0318＋0253”，其自转周期T＝5.19ms。假设星体为质量均匀分布的球体，已知万有引力常量为6.67×10－11N•m2/kg2．以周期T稳定自转的星体的密度最小值约为（ ）
A.5×104kg/m3
B.5×1012kg/m3
C.5×1015kg/m3
D.5×1018kg/m3
例题4、 宇航员站在一星球表面上的某高处，沿水平方向抛出一小球．经过时间t，小球落到星球表面，测得抛出点与落地点之间的距离为L.若抛出时的初速度增大到3倍，则抛出点与落地点之间的距离为L.已知两落地点在同一水平面上，该星球的半径为R，万有引力常量为G，求该星球的质量M.
随练1、[多选题] 已知万有引力常量为G，利用下列数据可以计算出地球质量的是（ ）
A.某卫星绕地球做匀速圆周运动的周期T和角速度ω
B.某卫星绕地球做匀速圆周运动的周期T和轨道半径r
C.地球绕太阳做匀速圆周运动的周期T和轨道半径r
D.地球半径R和地球表面的重力加速度g
随练2、 据新闻报导，“天宫二号”将2016年秋季择机发射，其绕地球运行的轨道可近似看成是圆轨道．设每经过时间t，“天宫二号”通过的弧长为l，该弧长对应的圆心角为θ弧度．已知引力常量为G，则地球的质量是（ ）
A.
B.
C.
D.
随练3、 对于环绕地球做圆周运动的卫星说，它们绕地球做圆周运动的周期会随着轨道半径的变化而变化，某同学根据测得的不同卫星做圆周运动的半径r与周期T关系作出如图所示图像，则可求得地球质量为（已知引力常量为G）（ ）
A.
B.
C.
D.
随练4、[多选题] 脉冲星的本质是中子星，具有在地面实验室无法实现的极端物理性质，是理想的天体物理实验室，对齐进行研究，有希望得到许多重大物理学问题的答案，譬如：脉冲星的自转周期极其稳定，准确的时钟信号为引力波探测、航天器导航等重大科学及技术应用提供了理想工具。我国FAST天文望远镜首次发现两颗太空脉冲星；其中一颗星的自转周期为T（实际测量为1.83s，距离地球1.6万光年），假设该星球恰好能维持自转不瓦解；地球可视为球体，其自转周期为T0；同一物体在地球赤道上用弹簧秤测得重力为两极处的0.9倍，已知万有引力常量为G，则该脉冲星的平均密度ρ及其与地球的平均密度ρ0之比正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
随练5、 一艘宇宙飞船飞近某一新发现的行星，并进入靠近该行星表面的圆形轨道绕行数圈后，着陆在行星上，宇宙飞船上备有以下实验仪器：
A、弹簧测力计一个
B、精确秒表一只
C、天平一台（附砝码一套）
D、物体一个
为测定该行星的质量M和半径R，宇航员在绕行及着陆后各进行一次测量，依据测量数据可以求出M和R（已知万有引力常量为G）。
（1）绕行时测量所用的仪器为________（用仪器的字母序号表示），所测物理量为________（填名称及符号）
（2）着陆后用仪器测出物体重力F和物体质量m，则该行星质量M＝________，星球半径R＝________。
利用万有引力定律求解重力加速度
例题1、 若有一星球密度与地球密度相同，此星球半径是地球半径的2倍，则星球表面的重力加速度是地球表面重力加速度的（ ）
A.0.25倍
B.0.5倍
C.2倍
D.8倍
例题2、 据报道，最近在太阳系外发现了首颗“宜居”行星，其质量约为地球质量的6.4倍，一个在地球表面重量为600N的人在这个行星表面的重量将变为960N，由此可推知，该行星的半径与地球半径之比约为（ ）
A.0.5
B.1
C.2
D.4
随练1、 “畅想号”火星探测器首次实现火星软着陆和火星表面巡视勘察，并开展地质构造等科学探测．“畅想号”在地球表面的重力为G1，在火星表面的重力为G2；地球与火星均视为球体，其半径分别为R1、R2；地球表面重力加速度为g．则（ ）
A.火星表面的重力加速度为
B.火星与地球的质量之比为
C.卫星分别绕火星表面与地球表面运行的速率之比为
D.“畅想号”火星探测器环绕火星表面做匀速圆周运动的周期为2π、
随练2、[多选题] 一球形行星对其周围物体的万有引力使物体产生的加速度用a表示，物体到球形行星表面的距离用h表示，a随h变化的图象如图所示，图中a1、h1、a2、h2及万有引力常量G均为己知．根据以上数据可以计算出（ ）
A.该行星的半径
B.该行星的质量
C.该行星的自转周期
D.该行星同步卫星离行星表面的高度
随练3、 据报道，目前我国正在研制“萤火二号”火星探测器．探测器升空后，先在近地轨道上以线速度v环绕地球飞行，再调整速度进入地火转移轨道，最后再一次调整速度以线速度v′在火星表面附近环绕飞行，若认为地球和火星都是质量分布均匀的球体，已知火星与地球的半径之比为1：2，密度之比为5：7，设火星与地球表面重力加速度分别为g′和g，下列结论正确的是（ ）
A.g′：g=4：1
B.g′：g=10：7
C.v′：v=
D.v′：v=
宇宙中的双星及多星模型
知识精讲
1．双星问题
设双星的两子星的质量分别为M 1、M 2，球心间距离L，轨道半径r1 、r2 ，周期T1、T2 ，角速度ω1、ω2 ，线速度v 1 、v2。
由万有引力定律和牛顿第二定律得
M1：
M1：
M1
M2
r1
r2
“双星”问题的常用结论
（1）周期相同： T1=T2
（2）角速度相同：ω1 =ω2 （参考同轴转动问题）
（3）向心力相同：Fn1=Fn2
（4）轨道半径与双星质量成反比： 由 得：
（5）线速度与双星质量成反比：由 得：
（6）两恒星的质量之和：
由 和得： 和，
由于和，所以
2．三星问题
（1）三颗质量相等的行星，一颗行星位于中心位置不动，另外两颗行星围绕它做圆周运动。这三颗行星始终位于同一直线上，中心行星受力平衡。运转的行星由其余两颗行星的引力提供向心力：
两行星转动的方向相同，周期、角速度、线速度的大小相等。
（2）如图所示，三颗质量相等的行星位于一正三角形的顶点处，都绕三角形的中心做圆周运动。每颗行星运行所需向心力都由其余两颗行星对其万有引力的合力来提供：
其中。
三颗行星转动的方向相同，周期、角速度、线速度的大小相等。
三点剖析
1．掌握双星模型的特点和处理方法
2．理解常见的三星模型及其运行规律
宇宙中的双星模型
例题1、 宇宙中两颗相距较近的天体称为“双星”，它们以二者连线上的某一点为圆心做匀速圆周运动，而不至因为万有引力的作用而吸引到一起。如图所示，某双星系统中A、B两颗天体绕O点做匀速圆周运动，它们的轨道半径之比rA︰rB＝1︰2，则两颗天体的（ ）
A.质量之比mA︰mB＝2︰1
B.角速度之比ωA︰ωB＝1︰2
C.线速度大小之比vA︰vB＝2︰1
D.向心力大小之比FA︰FB＝2︰1
例题2、[多选题] 人类第一次直接探测到来自双中子星合并的引力波。根据科学家们复原的过程，在两颗中子星合并前约100s时，它们相距约400km，绕二者连线上的某点每秒转动12圈。将两颗中子星都看作是质量均匀分布的球体，由这些数据、万有引力常量并利用牛顿力学知识，可以估算出这一时刻两颗中子星（ ）
A.质量之积
B.质量之和
C.速率之和
D.各自的自转角速度
例题3、 美国在2月11日宣布“探测到引力波的存在”。天文学家通过观测双星轨道参数的变化来间接验证引力波的存在，证实了GW150914是一个36倍太阳质量的黑洞和一个29倍太阳质量的黑洞并合事件。假设这两个黑洞绕它们连线上的某点做圆周运动，且这两个黑洞的间距缓慢减小。若该黑洞系统在运动过程中各自质量不变且不受其他星系的影响，则关于这两个黑洞的运动，下列说法正确的是（ ）
A.这两个黑洞做圆周运动的向心加速度大小始终相等
B.36倍太阳质量的黑洞轨道半径比29倍太阳质量的黑洞轨道半径小
C.这两个黑洞运行的线速度大小始终相等
D.随两个黑洞的间距缓慢减小，这两个黑洞运行的周期在增大
随练1、 在天体运动中，将两颗彼此相距较近的行星称为双星．它们在相互的万有引力作用下间距保持不变，并沿半径不同的同心圆轨道做匀速圆周运动．如果双星间距为，质量分别为和，试计算：
（1）双星的轨道半径
（2）双星的运行周期
（3）双星的线速度
随练2、 据报道，一个国际研究小组借助于智利的天文望远镜，观测到了一组双星系统，它们绕两者连线上的某点O做匀速圆周运动，如图所示，假设此双星系统中体积较小的成员能“吸食”另一颗体积较大星体的表面物质，达到质量转移的目的，在演变过程中两者球心之间的距离保持不变，双星平均密度可视为相同。则在最初演变的过程中（ ）
A.它们间万有引力保持不变
B.它们做圆周运动的角速度不变
C.体积较大的星体做圆周运动轨迹的半径变大，线速度变大
D.体积较大的星体做圆周运动轨迹的半径变小，线速度变大
随练3、 12月17日是我国发射“悟空”探测卫星二周年纪念日，一年来的观测使人类对暗物质的研究又进了一步．宇宙空间中两颗质量相等的星球绕其连线中心转动时，理论计算的周期与实际观测周期不符，且=k（k＞1）；因此，科学家认为，在两星球之间存在暗物质．假设以两星球球心连线为直径的球体空间中均匀分布着暗物质，两星球的质量均为m；那么，暗物质质量为（ ）
A.m
B.m
C.（k2﹣1）m
D.（2k2﹣1）m
宇宙中的多星模型
例题1、 如图甲、乙、丙是位于同一直线上的离其它恒星较远的三颗恒星，甲、丙绕乙在半径为R的圆轨道上运行．若三颗星质量均为M，万有引力常量为G，则（ ）
A.甲星所受合外力为
B.乙星所受合外力为
C.甲星和丙星的线速度相同
D.甲星和丙星的角速度相同
例题2、[多选题] 天文观测中观测到有三颗星位于边长为l的等边三角形三个顶点上，并沿等边三角形的外接圆做周期为T的匀速圆周运动。已知引力常量为G，不计其他星体对它们的影响，关于这个三星系统，下列说法正确的是（ ）
A.三颗星的质量可能不相等
B.某颗星的质量为
C.它们的线速度大小均为
D.它们两两之间的万有引力大小为
随练1、[多选题] 宇宙间存在一些离其他恒星较远的三星系统，其中有一种三星系统如图所示，三颗质量均为m的星位于等边三角形的三个顶点，三角形边长为R，忽略其他星体对它们的引力作用，三星在同一平面内绕三角形中心O做匀速圆周运动，万有引力量为G，则（ ）
A.每颗星做圆周运动的线速度为
B.每颗星做圆周运动的角速度为
C.每颗星做圆周运动的周期为
D.每颗星做圆周运动的加速度与三星的质量无关
随练2、[多选题] 宇宙空间由一种由三颗星体A、B、C组成的三星体系，它们分别位于等边三角形ABC的三个顶点上，绕一个固定且共同的圆心O做匀速圆周运动，轨道如图中实线所示，其轨道半径rA＜rB＜rC．忽略其他星体对它们的作用，可知这三颗星体（ ）
A.线速度大小关系是vA＜vB＜vC
B.加速度大小关系是aA＞aB＞aC
C.质量大小关系是mA＞mB＞mC
D.所受万有引力合力的大小关系是FA＞FB＞FC
随练3、 宇宙中存在一些质量相等且离其他恒星较远的四颗星组成的四星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用．设每个星体的质量均为m，四颗星稳定地分布在边长为a的正方形的四个顶点上，已知这四颗星均围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动，引力常量为G，试求：
（1）星体做匀速圆周运动的轨道半径r；
（2）若观测到星体的半径为R，则该星体对自身表面产生的重力加速度大小（不计其他星球的影响）；
（3）求星体做匀速圆周运动的公转周期T．
拓展
1、[多选题] 关于开普勒行星运动的公式 =k，以下理解正确的是（ ）
A.k是一个与行星无关的常量
B.若地球绕太阳运转轨道的半长轴为R地，周期为T地；月球绕地球运转轨道的长半轴为R月，周期为T月，则
C.T表示行星运动的自转周期
D.T表示行星运动的公转周期
2、 关于万有引力定律的建立，下列说法中正确的是（ ）
A.卡文迪许仅根据牛顿第三定律推出了行星与太阳间引力大小跟行星与太阳间距离的平方成反比的关系
B.“月﹣﹣地检验”表明物体在地球上受到地球对它的引力是它在月球上受到的月球对它的引力的60倍
C.引力常量G的大小是牛顿根据大量实验数据得出的
D.“月﹣﹣地检验”表明地面物体所受到地球引力与月球所受地球引力遵从同样的规律
3、 行星绕太阳近似认为做匀速圆周运动，设某行星质量为m，速度为v，行星到太阳的距离为r，行星绕太阳的公转周期为T，根据开普勒第三定律、牛顿第二定律与牛顿第三定律，推导万有引力定律。
4、 由于地球的自转，地球表面的物体会产生向心加速度，下列说法正确的是（ ）
A.在地球表面各处的向心加速度都指向地心
B.赤道上物体的向心加速度最大
C.赤道和北极上物体的向心加速度一样大
D.赤道和地球内部物体的向心加速度一样大
5、 （1）若已知地球半径为，地球表面的重力加速度为，月球绕地球运动的周期为，且把月球绕地球的运动近似看做是匀速圆周运动．则月球绕地球运动的轨道半径为______
（2）若某位宇航员随登月飞船登陆月球后，在月球表面某处以速度竖直向上抛出一个小球，经过时间，小球落回到抛出点．已知月球半径为，万有引力常量为．则月球的密度为_______
6、[多选题] 有一宇宙飞船到了某行星上(该行星没有自转运动)，以速度接近行星赤道表面匀速飞行，测出运动的周期为，已知引力常量为，则可得（ ）
A.该行星的半径为
B.可以计算出行星的平均密度
C.无法测出该行星的质量
D.该行星表面的重力加速度为
7、 10月16日，全球多国科学家同步举行新闻发布会，宣布人类第一次利用激光干涉法直接探测到来自双中子星合并（距地球约1.3亿光年）的引力波，如图为某双星系统A、B 绕其连线上的O点做匀速圆周运动的示意图，若A星的轨道半径大于B星的轨道半径，双星的总质量为M，双星间的距离为L，其运动周期为T，则（ ）
A.A的质量一定大于B的质量
B.A的线速度一定大于B的线速度
C.L一定，M越大，T越大
D.M一定，L越小，T越大
8、[多选题] 10月16日，南京紫金山天文台对外发布一项重大发现，我国南极巡天望远镜追踪探测到首例引力波事件光学信号，关于引力波，早在1916年爱因斯坦基于广义相对论预言了其存在，1974年拉塞尔豪尔斯和约瑟夫泰勒发现豪尔斯－泰勒脉冲双星，这双星系统在相互公转时，由于不断发射引力波而失去能量，因此逐渐相互靠近，这现象为引力波的存在提供了首个间接证据，上述叙述中，若不变考虑豪尔斯－泰勒脉冲双星之列的变化，则关于豪尔斯－泰勒脉冲双星的下列说法正确的是（ ）
A.脉冲双星逐渐靠近的过程中，它们相互公转的周期不变
B.脉冲双星逐渐靠近的过程中，它们相互公转的周期逐渐变小
C.脉冲双星逐渐靠近的过程中，它们各自做圆周运动的半径逐渐减小，但半径的比值保持不变
D.若测出脉冲双星相互公转的周期，就可以求出双星的总质量
9、 太空中存在一些离其它恒星较远的、由质量相等的三颗星组成的三星系统，通常可忽略其它星体对它们的引力作用.已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式：一种是三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星在同一半径为R的圆轨道上运行；另一种形式是三颗星位于等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行.设这三个星体的质量均为M，并设两种系统的运动周期相同，则下列说法不正确的是（ ）
A.直线三星系统中甲星和丙星的角速度相同
B.此三星系统的运动周期为
C.三角形三星系统中星体间的距离为
D.三角形三星系统的线速度大小为
答案解析
万有引力定律的理解和基本计算
开普勒定律
例题1、
【答案】 B
【解析】 开普勒在他的导师第谷天文观测数据的基础上，总结出了行星运动的规律，但并未找出了行星按照这些规律运动的原因；牛顿在开普勒行星运动定律的基础上推导出万有引力定律，故ACD错误，B正确．
例题2、
【答案】 C
【解析】 A、根据F=G，由于太阳与火星的间距不断变化，故太阳对火星的万有引力大小不断变化，故A错误；
B、根据牛顿第三定律，太阳对火星的万有引力大等于火星对太阳的万有引力，故B错误；
C、根据a=，火星运动到近日点时的加速度最大，故C正确；
D、根据开普勒定律中的面积定律，火星绕太阳运行的线速度大小始终变化，近日点速度最大，远日点速度最小，故D错误
例题3、
【答案】 见解析
【解析】 因行星绕太阳作匀速圆周运动，于是轨道的半长轴a即为轨道半径r。根据万有引力定律和牛顿第二定律有
①
于是有②
即
故：太阳系中该常量k的表达式是。
例题4、
【答案】 C
【解析】 根据开普勒第三定律，有：，
故．
随练1、
【答案】 C
【解析】 A、海王星在QN段的速度大小小于NP段的速度大小，则NP段的时间小于QN段的时间，所以Q到N所用的时间大于，故A错误；
B、从Q到N的过程中，由于只有万有引力做功，机械能守恒，故B错误；
C、从P到Q阶段，万有引力做负功，速率减小，则动量的大小逐渐减小，故C正确；
D、根据万有引力方向与速度方向的关系知，从P到M阶段，万有引力对它做负功，故D错误。
随练2、
【答案】 D
【解析】 由得：
根据题意有：
故ABC错误，D正确。
随练3、
【答案】 D
【解析】 已知地球轨道半径的半长轴为，公转周期年．设哈雷慧星轨道半径的半长轴．公转周期．由开普勒行星运动第三定律得：
代入数据，则年．下次飞近地球将在年．故D正确，ABC错误．
万有引力定律的基本计算
例题1、
【答案】 D
【解析】 牛顿将行星的椭圆轨道运动假想成圆周运动，行星运动的向心力是太阳的万有引力提供的，根据牛顿第二定律得出与万有引力与行星运动太阳和行星的质量、周期和半径的关系，又根据开普勒行星运动第三定律得，联立得到，万有引力与行星太阳的质量、轨道半径的关系．根据牛顿第三定律，研究行星对太阳的引力与太阳的引力大小相等，得到万有引力与行星质量、轨道半径的关系，再联立得到万有引力定律．
为了将天上的力和地上的力统一起来，牛顿进行了著名的“月地检验”．其设想为：地球表面的物体受到的万有引力提供地球表面物体的重力，所以：
mg=；即：g=
同理，绕地球做圆周运动的月亮：
即：a=
所以只要比较月球公转的向心加速度和地球表面上物体的重力加速度与月球的轨道半径与地球的半径之间的关系，即可验证万有引力定律是否成立．
由以上的分析可知，选项ABC错误，选项D正确故选：D
例题2、[多选题]
【答案】 A D
【解析】 A、公式，中G为引力常数，由卡文迪许通过实验测得。故A正确；
B、当m1与m2一定时，随着r的减小，万有引力逐渐增大，公式中从数学角度讲：当r趋近于零时其值是趋于无穷大，然而这是物理公式，所以r不可能为零。万有引力公式只适合于两个可以看作质点的物体，即，物体（原子）的自身半径相对两者的间距可以忽略时适用。而当距离无穷小时，相临的两个原子的半径远大于这个距离，它们不再适用万有引力公式，故B错误。
CD、m1、m2之间的万有引力是属于相互作用力，所以总是大小相等，与m1、m2的质量是否相等无关，却与它们的质量乘积有关。故C错误，D正确。
例题3、
【答案】 A
【解析】 没挖去前，球体对质点m的万有引力，
根据，可知挖去部分的质量是球体质量的，则挖去部分对质点m的引力，
则剩下部分对m的万有引力。
若挖去的小球中填满原来球的密度的2倍的物质，该物质的质量为，
则该物质对质点m的万有引力，
所以质点所受的万有引力．故A正确，BCD错误。
例题4、
【答案】 A
【解析】 暂无解析
例题5、
【答案】 B
【解析】 暂无解析
随练1、
【答案】 D
【解析】 A、哥白尼提出了日心说，开普勒发现了行星沿椭圆轨道运行的规律。故A错误。
B、牛顿在前人研究的基础上，提出万有引力定律。故B错误。
C、牛顿提出了万有引力定律，卡文迪许通过实验测出了万有引力常量。故C错误，D正确。
随练2、
【答案】 B
【解析】 采用割补法，先将空腔填满；填入的球的球心与物体重合，填入球上各个部分对物体m的引力的矢量和为零；均匀球壳对内部的质点的万有引力的合力为零，根据万有引力定律，有： ，解得：
随练3、
【答案】 见解析
【解析】 （1）理论分析：若使苹果落地的力与维持月球绕地球运动的力是同一种性质的力，则同样遵从平方反比律，即。已知地球半径R＝6.40×10m，月球绕地球运行的轨道半径r＝3.84×10km，所以r＝60R。月球在其轨道上所受的力将只有它在地球表面所受重力的，则月球在绕地轨道运行时因地球吸引而具有的加速度。
（2）天文观测：T＝27.3天，月球绕地运行的向心加速度，故。
理论分析中的与天文观中的符合的很好，可见，使苹果落地的力与维持月球绕地球运动的力是同一种性质的力。
万有引力与重力的关系
例题1、
【答案】 A
【解析】 A．万有引力是由于物体具有质量而在物体之间产生的一种相互作用．任何两个物体之间都存在这种吸引作用．物体之间的这种吸引作用普遍存在于宇宙万物之间，称为万有引力．重力，就是由于地面附近的物体受到地球的万有引力而产生的，重力只是万有引力的一个分力． 故A错误．
B．重力是由于地面附近的物体受到地球的吸引而产生的，故B正确．
C．在不太精确的计算中，可以认为物体的重力等于万有引力，故C正确．
D．严格来说重力并不等于万有引力，除两极处物体的重力等于万有引力外，在地球其他各处的重力都略小于万有引力，故D正确．
例题2、
【答案】 C
【解析】 物体所受的万有引力为F，物体在极地处时：F＝ma；赤道上随地球自转时，有F－mg＝ω12R；物体“飘”起来时只受万有引力，故F＝mω22R
解得，
随练1、
【答案】
【解析】 物体在地球两极时：
赤道处：
假设地球自转加快，随地自转的向心力增大，赤道处的重力加速度减小，为：
g′=（1﹣10%）g=0.9g
自转加快后，有：
联立得：
解得：
答：地球自转加快后的周期为．
随练2、
【答案】 A
【解析】 在赤道上：G，可得①
在南极：②
由①②式可得：。
利用万有引力定律求解质量和密度
利用万有引力定律求解天体质量和密度
例题1、
【答案】 D
【解析】 A、根据万有引力等于重力=mg，可以计算出地球的质量，A正确；
B、根据v=可计算出卫星的轨道半径r，万有引力提供向心力，则可求出地球质量，B正确；
C、根据可求出地球的质量，C正确；
D、可根据则计算出太阳的质量，但无法计算地球的质量，D错误．
本题问的是不能计算出地球质量的是，所以选D．
例题2、
【答案】 D
【解析】 在地球两极①
在地球赤道②
联立①②得
由①得地球质量
地球的密度，故D正确，ABC错误。
例题3、
【答案】 C
【解析】 设位于该星体赤道处的小块物质质量为m，物体受到的星体的万有引力恰好提供向心力，这时星体不瓦解且有最小密度，
由万有引力定律结合牛顿第二定律得：
球体的体积为：
密度为：
代入数据解得：．故C正确、ABD错误；
例题4、
【答案】
【解析】 设抛出点的高度为h，第一次抛出时水平射程为x；当初速度变为原来3倍时，水平射程为3x，如图所示
由几何关系可知：L2＝h2＋x2①
（L）2＝h2＋（3x）2②
（ ①②联立，得： L）
设该星球表面的重力加速度为g，则竖直方向h＝gt2③
又因为④
由③④联立，得
随练1、[多选题]
【答案】 B D
【解析】 A、卫星绕地球做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，解得，因为轨道半径未知，所以地球质量求不出来，故A错误；
B、卫星绕地球做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，解得：，故B正确；
C、地球绕太阳做匀速圆周运动的周期T和轨道半径r，中心天体是太阳，根据万有引力提供向心力只能求出中心天体的质量，地球是环绕天体质量被约掉，故地球质量求不出来，故C错误；
D、根据地球表面物体的重力等于万有引力，得地球质量，故D正确；
随练2、
【答案】 D
【解析】 “天宫二号”通过的弧长为l，该弧长对应的圆心角为θ弧度，所以其轨道半径：
t时间内“天宫二号”通过的弧长是l，所以线速度：
“天宫二号”做匀速圆周运动的向心力是由万有引力提供，则：
所以：
随练3、
【答案】 B
【解析】 由万有引力提供向心力有：，
得：，
由图可知：，
所以地球的质量为：，故B正确、ACD错误。
随练4、[多选题]
【答案】 A C
【解析】 AB、星球恰好能维持自转不瓦解时，万有引力充当向心力，即，又，联立解得，A正确，B错误；
CD、设地球质量为M0，半径为R0，由于两极处物体的重力P等于地球对物体的万有引力，即…①，
在赤道上，地球对物体的万有引力和弹簧秤对物体的拉力的合力提供向心力，则有…②，
联立①②解得：，地球平均密度为：，则C正确，D错误。
随练5、
【答案】 （1）B；周期T
（2）；
【解析】 （1）由重力等于万有引力
万有引力等于向心
由以上两式解得
①
②
由牛顿第二定律
F＝mg③
因而需要用秒表测量绕行时周期T，用天平测量质量m，用弹簧秤测量重力F；
由②③得
由①③得。
利用万有引力定律求解重力加速度
例题1、
【答案】 C
【解析】 根据万有引力等于重力，列出等式：
得，其中M是任一天体的质量，R是天体半径
根据密度与质量的关系得：
联立得
根据题意知星球半径是地球半径的2倍，所以星球表面的重力加速度是地球表面重力加速度的2倍
例题2、
【答案】 C
【解析】 在忽略地球自转的情况下，万有引力等于物体的重力，即：
G地=
同样在行星表面有：
G行=
以上二式相比可得：
=×=
==2
故该行星的半径与地球的半径之比约为2．故C正确，
故选：C．
随练1、
【答案】 B
【解析】 A、设探测器的质量m=，火星表面的重力加速度：g2==，故A错误。
B、根据mg=G得M=，火星与地球的质量之比：==，故B正确。
C、第一宇宙速度：v==，火星与地球的第一宇宙速度之比：=，故C错误。
D、根据周期公式T=2π，再根据g=，“畅想号”火星探测器绕火星表面匀速圆周运动的周期T=2π=2π，故D错误。
随练2、[多选题]
【答案】 A B
【解析】 A、球形行星对其周围质量为m的物体的万有引力：
所以：，
联立可得：R=故A正确；
B、将R=代入加速度的表达式即可求出该行星的质量．故B正确；
C、由题目以及相关的公式的物理量都与该行星转动的自转周期无关，所以不能求出该行星的自转周期．故C错误；
D、由于不能求出该行星的自转周期，所以也不能求出该行星同步卫星离行星表面的高度．故D错误．
故选：AB
随练3、
【答案】 C
【解析】 AB、在星球表面的物体受到的重力等于万有引力，
所以
所以，故AB错误．
CD、探测器绕地球表面运行和绕月球表面运行都是由万有引力充当向心力，
根据牛顿第二定律有：，得 ①，M为中心体质量，R为中心体半径．
M=ρ•②
由①②得：v=
已知地球和火星的半径之比为1：2，密度之比为5：7，
所以探测器绕地球表面运行和绕月球表面运行线速度大小之比为：
故C正确、D错误．
故选：C．
宇宙中的双星及多星模型
宇宙中的双星模型
例题1、
【答案】 A
【解析】 双星都绕O点做匀速圆周运动，由两者之间的万有引力提供向心力，角速度相等，设为ω．根据牛顿第二定律，有：
对A星：①
对B星：②
故：mA︰mB＝rB︰rA＝2︰1。
根据双星的条件有：角速度之比ωA︰ωB＝1︰1
由v＝ωr得：线速度大小之比vA︰vB＝rA︰rB＝1︰2
向心力大小之比FA︰FB＝1︰1，故A正确，BCD错误。
例题2、[多选题]
【答案】 B C
【解析】 AB、设两颗星的质量分别为m1、m2，轨道半径分别为r1、r2，相距L＝400km＝4×105m，
根据万有引力提供向心力可知：
，
，
整理可得：，解得质量之和，其中周期，故A错误、B正确；
CD、由于，则角速度为：，这是公转角速度，不是自转角速度，
根据v＝rω可知：v1＝r1ω，v2＝r2ω，
解得：v1＋v2＝（r1＋r2）ω＝Lω＝9.6π×106m／s，故C正确，D错误。
例题3、
【答案】 B
【解析】 暂无解析
随练1、
【答案】 （1） （2）
（3），
【解析】 因为双星受到同样大小的万有引力作用，且保持距离不变，绕同一圆心做匀速圆周运动，所以具有周期、频率和角速度均相同；而轨道半径、线速度不同的特点
（1）根据万有引力定律
可得：
（2）同理，还有
所以，周期为
（3）根据线速度公式，
随练2、
【答案】 B C
【解析】 A、设体积较小的星体质量为m1，轨道半径为r1，体积大的星体质量为m2，轨道半径为r2．双星间的距离为L．转移的质量为△m。
万有引力：，结合二项式定理可知，二者的质量越接近，万有引力越大。故A错误；
BCD、对m1：…①
对m2：…②
由①②得：，总质量m1＋m2不变，两者距离L不变，则角速度ω不变。
由②得：，ω、L、m1均不变，△m增大，则r2 增大，即体积较大星体圆周运动轨迹半径变大。
由v＝ωr2得线速度v也增大。故bC正确。D错误。
随练3、
【答案】 A
【解析】 双星均绕它们的连线的中点做圆周运动，设它们之间的距离为L，万有引力提供向心力得：
解得：．
根据观测结果，星体的运动周期=k
这种差异是由双星内均匀分布的暗物质引起的，均匀分布在球体内的暗物质对双星系统的作用与一质量等于球内暗物质的总质量m'，位于中点O处的质点的作用相同．
则有：
解得：
所以：．故A正确，BCD错误．
故选：A
宇宙中的多星模型
例题1、
【答案】 D
【解析】 A、甲星受到乙星和丙星的万有引力，其所受的合外力F合=G+G=．故A错误；
B、乙星受到甲星和丙星的万有引力，由于三星质量相等，距乙星半径相同，故乙星所受万有引力的合力为0，故B错误；
CD、甲丙两星所受的合力大小相等，靠万有引力的合力提供向心力，知道甲星和丙星的角速度相同，由于轨道半径相等，根据v=Rω知，线速度大小相等，但是线速度的方向不同．故C错误，D正确．
故选：D．
例题2、[多选题]
【答案】 B D
【解析】 ABD、轨道半径等于等边三角形外接圆的半径，r=。
根据题意可知其中任意两颗星对第三颗星的合力指向圆心，所以这两颗星对第三颗星的万有引力等大，由于这两颗星到第三颗星的距离相同，故这两颗星的质量相同，所以三颗星的质量一定相同，设为m，则F合=2Fcos30°=
星球做匀速圆周运动，合力提高向心力，故：
F合=m，
解得：m=，
它们两两之间的万有引力：F=，故A错误，B正确，D正确；
C、根据F合=m得：线速度大小为：v=，故C错误。
随练1、[多选题]
【答案】 A B C
【解析】 A、任意两个星星之间的万有引力
每一颗星星受到的合力，，由几何关系知：它们的轨道半径①
合力提供它们的向心力：②
联立①②，解得：，故A正确。
B、角速度，故B正确。
C、由，故C正确；
D、任意两个星星之间的万有引力
每一颗星星受到的合力就是其向心力，，故向心加速度与质量有关，故D错误。
随练2、[多选题]
【答案】 A C D
【解析】 A．三星系统是一种相对稳定的结构，它们做圆周运动的角速度是相等的，由v=ωr，结合rA＜rB＜rC．可知，线速度大小关系是vA＜vB＜vC．故A错误；
B．由a=ω2r，结合rA＜rB＜rC．可知加速度大小关系是aA＜aB＜aC．故B错误；
C．以A为研究对象，则受力如图：
由于向心力指向圆心，由矢量关系可知，B对A的引力大于C对A的引力，结合万有引力定律的表达式：
可知B的质量大于C的质量．
同理若以C为研究对象，可得A的质量大于B的质量，即质量大小关系是mA＞mB＞mC．故C正确．
D．由于，mA＞mB＞mC， 结合万有引力定律可知A与B之间的引力大于A与C之间的引力，又大于B与C之间的引力．由题可知，A、B、C受到的两个万有引力之间的夹角都是相等的，根据两个分力的角度一定时，两个力的大小越大，合力越大可知FA＞FB＞FC．故D正确．
随练3、
【答案】 （1）（2）（3）
【解析】 （1）由星体均围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动可知，星体做匀速圆周运动的轨道半径
（2）由万有引力的定律可知
则星体表面的重力加速度
（3）星体在其他三个星体的万有引力作用下围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动，由万有引力定律和向心力公式得：
解得周期．
故（1）星体做匀速圆周运动的轨道半径r为；
（2）若观测到星体的半径为R，则该星体对自身表面产生的重力加速度大小为；
（3）求星体做匀速圆周运动的公转周期T为．
拓展
1、[多选题]
【答案】 A D
【解析】 A、k是一个与行星无关的常量，与恒星的质量有关，故A正确．
B、公式=k中的k是与中心天体质量有关的，中心天体不一样，k值不一样．地球公转的中心天体是太阳，月球公转的中心天体是地球，k值是不一样的．故B错误．
C、T代表行星运动的公转周期，故C错误，D正确．
2、
【答案】 D
【解析】 解：A、牛顿探究天体间的作用力，得到表明行星间引力与距离的平方成反比，并进一步扩展为万有引力定律，并不是卡文迪许提出的，故A错误；
B、“月﹣地检验”表明物体在地球上受到的引力是在月球上的6倍，故B错误；
C、牛顿发现万有引力定律，但是没有测得引力常量G的大小，G大小是卡文迪许测得的，故C错误；
D、万有引力定律建立后，经历过“月﹣地检验”，表明地面物体所受地球引力与月球所受地球引力遵从同样的规律，故D正确；
故选：D．
3、
【答案】 见解析
【解析】 行星绕太阳做匀速圆周运动的向心力为：
行星的线速度：
由以上两式得：
不同行星的公转周期是不同的，F与r的关系式中T应消去，
根据开普勒第三定律：
代入上式可得：
说明F∝
根据牛顿第三定律，行星对太阳的引力F′应该与太阳的质量成正比，与行星和太阳之间的距离二次方成反比，即：F∝
F∝
写成等式就是：。
4、
【答案】 B
【解析】 A、除两极外，在地球表面各处一起绕地轴转动，向心加速度方向都是指向地轴且平行于赤道平面，故A错误；
BCD、地球自转时，各点绕地轴转动，具有相同的角速度，根据a＝rω2，知到地轴的距离越大，向心加速度越大，所以在赤道处的向心加速度最大，两极向心加速度最小，故B正确，C错误，D错误。
5、
【答案】 （1）（2）
【解析】 （1）设地球的质量为，月球的质量为，由万有引力充当向心力，有：
在地球表面附近有：，解得月球绕地球运动的轨道半径为；
（2）小球做竖直上抛运动，则由，得月球表面的重力加速度，在月球表面上，得月球的质量；月球的密度
6、[多选题]
【答案】 A B D
【解析】 根据题意有可得，和，选项AD正确，C错误；已知行星的质量和半径可以计算出其平均密度，所以选项B正确．本题答案为ABD．
7、
【答案】 B
【解析】 A、双星同轴转动，角速度相等，双星靠相互间的万有引力提供向心力，所以向心力相等，故：
mArAω2＝mBrBω2，
因为rB＜rA，所以mB＞mA，即B的质量一定大于A的质量，故A错误；
B、根据v＝rω，因为rB＜rA，故vA＞vB，故B正确；
CD、根据牛顿第二定律，有：
，
，
其中：rA＋rB＝L，
联立解得：
故L一定，M越大，T越小；M一定，L越大，T越大，故C、D错误。
8、[多选题]
【答案】 B C
【解析】 AB、设脉冲双星的质量，及轨道半径分别为 m1、m2、r1、r2，间距为L＝r2＋r1．由于，得，．则双星总质量，整理得，由于总质量不变，脉冲双星逐渐靠近的过程中L变小，则ω变大，由可知周期逐渐变小，故A错误，B正确；
C、由，可得，故C正确；
D、由上以分析可知，要想知道双星总质量，需要知道周期T和双星间距L，故D错误。
9、
【答案】 D
【解析】 ABC都正确；
D选项的答案为：
故选D
第09讲 万有引力定律
知识图谱
万有引力定律的理解和基本计算
知识精讲
知识点一：万有引力定律的理解和基本计算
1． 开普勒定律
定律
图示
内容
开普勒第一定律
（轨道定律）
所有行星分别在大小不同的轨道上同绕太阳运动。太阳在这些椭圆轨道的一个焦点上。
开普勒第一定律
（面积定律）
对任意行星来说，该行星与太阳的连线在相等的时间内扫过相等的面积。
说明：
开普勒第一定律
（周期定律）
所有行星绕太阳运动轨道半长轴的立方与公转周期的二次方成正比。
，k值仅与中心天体有关，而与环绕天体无关；中心天体不同的系统中，k值不同。
2．月地检验
（1）目的：验证天体之间的力与地球上物体所受的重力是同一种性质的力。
（2）原理：假定上述猜想成立，即维持月球绕地球运动的力与使苹果下落的力是同一种力，同样遵从“平方反比”规律，那么由于，所以同一物体在月球轨道上受到的引力约为地面附近受到引力的。根据牛顿第二定律，物体在月球轨道上运动时的加速度（月球公转的向心加速度）也应该是地面附近下落时的加速度（自由落体加速度）的。
（3）验证
当时已经比较精确地测定月球与地球的距离r=384400km、月球的公转周期为27.3天。
地面附近的重力加速度：；
月球运行的向心加速度：
由此可得：，假设成立。
3．万有引力定律
（1）引力公式：
（2）适用条件适用于两个质点或均匀球体；r为两质点或球心间的距离；）
（3）引力常量：，1798年由英国物理学家卡文迪许利用扭秤装置测出，自称“能称出地球质量的人”。
4．利用万有引力定律推导开普勒第三定律
行星绕太阳运转，万有引力提供向心力：
由此可得：
设，可得：，即为开普勒第三定律表达式
k大小有中心天体质量决定，与环绕天体无关，且不同环绕体系k值可能不同。
5．万有引力与重力的关系
（1）在南北极：
（2）在赤道： （为自转所需向心力）
（3）若不考虑地球自转：
6．注意事项：同一个r在不同公式中所具有的含义不同。
万有引力定律公式：r是指两个物体间的距离，对于相距很远因而可以看做质点的物体，则是两个球心的距离。
向心力公式：r是指椭圆轨道的曲率半径，或圆轨道的半径。
开普勒第三定律：r是指椭圆轨道的半长轴或圆形轨道的半径。
三点剖析
1．理解万有引力定律的内容并能利用公式进行简单计算
2．理解万有引力和重力的关系
开普勒定律
例题1、 关于行星运动的规律，下列说法符合史实的是（ ）
A.开普勒在牛顿定律的基础上，导出了行星运动的规律
B.开普勒在天文观测数据的基础上，总结出了行星运动的规律
C.开普勒总结出了行星运动的规律，找出了行星按照这些规律运动的原因
D.开普勒总结出了行星运动的规律，发现了万有引力定律
例题2、 根据开普勒定律可知：火星绕太阳运行的轨道是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上．下列说法正确的是（ ）
A.太阳对火星的万有引力大小始终保持不变
B.太阳对火星的万有引力大于火星对太阳的万有引力
C.火星运动到近日点时的加速度最大
D.火星绕太阳运行的线速度大小始终保持不变
例题3、 开普勒行星运动第三定律指出：行星绕太阳运动的椭圆轨道的半长轴a的三次方与它的公转周期T的二次方成正比，即，k是一个对所有行星都相同的常量。将行星绕太阳的运动按圆周运动处理，请你推导出太阳系中该常量k的表达式。已知万有引力常量为G，太阳的质量为M太。
例题4、 地球公转轨道的半径在天文学上常用来作为长度单位，叫做天文单位，用来量度太阳系内天体与太阳的距离．已知木星公转的轨道半径约5.0天文单位，请估算木星公转的周期约为多少地球年（ ）
A.3年
B.5年
C.11年
D.25年
随练1、 如图所示，海王星绕太阳沿椭圆轨道运动，运行的周期为T0，图中P为近日点，Q为远日点，M、N为轨道短轴的两个端点。若只考虑海王星和太阳之间的相互作用，则海王星在从P经M、Q到N的运动过程中（ ）
A.从Q到N所用的时间等于
B.从Q到N阶段，机械能逐渐变大
C.从P到Q阶段，动量的大小逐渐变小
D.从P到M阶段，万有引力对它做正功
随练2、 据报道，借助于人工智能，科学家们发现了开普勒﹣90星系的第八颗行星即开普勒﹣90i，开普勒﹣90星系相当于一个缩小的太阳系，已知开普勒﹣90i绕其恒星Trappist﹣1的公转周期是地球绕太阳公转周期的p倍，恒星Trappist﹣1的质量为太阳质量的q倍，根据以上信息，开普勒﹣90i中心到其恒星Trappist﹣1中心的距离与地球中心到太阳中心距离的比值为（ ）
A.
B.
C.
D.
随练3、 哈雷彗星绕太阳转动的半长轴是地球绕太阳公转半径的18倍．哈雷彗星曾于1986年飞近地球．请根据开普勒行第三定律估算，1986年之后．它再次飞近地球在哪一年？（ ）
A.2004年
B.2022年
C.2058
D.2062
万有引力定律的基本计算
例题1、 为了将天上的力和地上的力统一起来，牛顿进行了著名的“月地检验”．“月地检验”比较的是（ ）
A.月球表面上物体的重力加速度和地球公转的向心加速度
B.月球表面上物体的重力加速度和地球表面上物体的重力加速度
C.月球公转的向心加速度和地球公转的向心加速度
D.月球公转的向心加速度和地球表面上物体的重力加速度
例题2、[多选题] 对于万有引力定律的表述式，下面说法中正确的是（ ）
A.公式中G为引力常量，它是由实验测得的，而不是人为规定的
B.当m1与m2一定时，随着r的减小，万有引力逐渐增大，当r→0万有引力F→∞
C.m1与m2受到的引力大小总是相等的，方向相反，是一对平衡力
D.m1与m2受到的引力总是大小相等的，而与m1、m2是否相等无关
例题3、 有一质量为M、半径为R、密度均匀的球体，在距离球心O为2R的地方有一质量为m的质点，现在从M中挖去一半径为的球体（如图），然后又在挖空部分填满另外一种密度为原来2倍的物质，如图所示．则填充后的实心球体对m的万有引力为（ ）
A.
B.
C.
D.
例题4、 假设地球是一半径为R、质量分布均匀的球体。一矿井深度为d。已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零。矿井底部和地面处的重力加速度大小之比为（ ）
A.
B.
C.
D.
例题5、 2016年我国成功发射首颗微重力实验卫星——实践十号，可以达到10－6g的微重力水平（10－6g其实指的是加速度），跻身世界先进行列。在太空中不是应该引力提供向心力而完全失重吗？微重力的来源之一是“引潮力”。引潮力较为复杂，简单说来是由于卫星实验舱不能被看作质点造成的，只有在卫星的质心位置引力才恰好等于向心力。假设卫星实验舱中各点绕地球运动的角速度相同，请根据所学知识判断下列说法中正确的是（ ）
A.在卫星质心位置下方（靠近地心一侧）的物体微重力方向向上（远离地心一侧）
B.在卫星质心位置上方的物体微重力方向向上
C.处在卫星质心位置的物体所受合力为零
D.在卫星质心位置上方的物体所受引力大于向心力
随练1、 许多科学家在经典物理学发展中作出了重要贡献，下列叙述中符合史实的是（ ）
A.哥白尼提出了日心说并发现了行星沿椭圆轨道运行的规律
B.开普勒在前人研究的基础上，提出了万有引力定律
C.牛顿提出了万有引力定律，并通过实验测出了万有引力常量
D.卡文迪许通过扭秤实验测出了万有引力常量
随练2、 如图所示，有一个质量为M，半径为R，密度均匀的大球体．从中挖去一个半径为的小球体，并在空腔中心放置一质量为m的质点，则大球体的剩余部分对该质点的万有引力大小为（已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零）（ ）
A.G
B.G
C.4G
D.0
随练3、 为了检验使苹果落地的力与维持月球绕地球的力是同一种性质的力，牛顿做了著名的月—地检验试验。已知地球半径R＝6.40×106m，月球绕地球运行的轨道半径r＝3.84×105 km，月球绕地球运动的周期T＝27.3天，地球附近重力加速度g＝9.80m/s²。请你根据以上数据，通过计算推理说明，使苹果落地的力和维持月球绕地球运动的力是同一种性质的力。
万有引力与重力的关系
例题1、 关于重力和万有引力的关系，下列认识错误的是（ ）
A.地面附近物体所受的重力就是万有引力
B.重力是由于地面附近的物体受到地球的吸引而产生的
C.在不太精确的计算中，可以认为物体的重力等于万有引力
D.严格来说重力并不等于万有引力，除两极处物体的重力等于万有引力外，在地球其他各处的重力都略小于万有引力
例题2、 地球上极地处的重力加速度为a，赤道处的重力加速度为g，地球自转的角速度为ω1。要使赤道上的物体“飘”起来，则地球自转的角速度需达到ω2。则ω1与ω2的比值为（ ）
A.
B.
C.
D.
随练1、 地球两极的重力加速度为g0，赤道处的重力加速度为g，地球自转的周期为T，由于某种原因，假设地球自转加快，赤道处的重力加速度变化了10%．求地球自转加快后的周期．
随练2、 设地球自转周期为T，质量为M，引力常量为G，假设地球可视为质量均匀分布的球体，半径为R．同一物体在南极和赤道水平面上静止时所受到的支持力之比为（ ）
A.
B.
C.
D.
利用万有引力定律求解质量和密度
知识精讲
1．万有引力定律应用的基本思路：
（1）万有引力提供向心力：
即；
（2）万有引力近似等于物体的重力：
即
从而得出（黄金代换）。
2．测天体的质量和密度：
（1）思路：利用求解
①由得：
即只要测出环绕天体的和，就可以计算出中心天体的质量。
②由ρ＝， 得：，R为中心天体的星体半径。
当r＝Ｒ时，即卫星绕天体M表面运行时，，由此可以测量天体的密度。
（2）思路：利用求解
即已知天体表面的重力加速度和形体半径，就可以计算出该天体的质量。
3．星体表面重力加速度、轨道重力加速度问题
思路：利用求解
（1）星体表面重力加速度：
（2）距地面高h的轨道重力加速度：
4．注意事项：在具体的应用中，注意区分星体半径和星体做圆周运动的轨道半径。
三点剖析
1．掌握利用万有引力定律求解质量和密度的方法
2．掌握重力加速度的影响因素和计算
利用万有引力定律求解天体质量和密度
例题1、 利用引力常量G和下列某一组数据，不能计算出地球质量的是（ ）
A.地球的半径及重力加速度（不考虑地球自转）
B.人造卫星在地面附近绕地球做圆周运动的速度及周期
C.月球绕地球做圆周运动的周期及月球与地球间的距离
D.地球绕太阳做圆周运动的周期及地球与太阳间的距离
例题2、 已知在地球表面上，赤道外的重力加速度大小为g1，两极处的重力加速度大小为g2，地球自转的角速度为ω，引力常量为G，地球可视为质量分布均匀的球体，则地球的密度为（ ）
A.
B.
C.
D.
例题3、我国500m口径射电望远镜（天眼）发现毫秒脉冲星“J0318＋0253”，其自转周期T＝5.19ms。假设星体为质量均匀分布的球体，已知万有引力常量为6.67×10－11N•m2/kg2．以周期T稳定自转的星体的密度最小值约为（ ）
A.5×104kg/m3
B.5×1012kg/m3
C.5×1015kg/m3
D.5×1018kg/m3
例题4、 宇航员站在一星球表面上的某高处，沿水平方向抛出一小球．经过时间t，小球落到星球表面，测得抛出点与落地点之间的距离为L.若抛出时的初速度增大到3倍，则抛出点与落地点之间的距离为L.已知两落地点在同一水平面上，该星球的半径为R，万有引力常量为G，求该星球的质量M.
随练1、[多选题] 已知万有引力常量为G，利用下列数据可以计算出地球质量的是（ ）
A.某卫星绕地球做匀速圆周运动的周期T和角速度ω
B.某卫星绕地球做匀速圆周运动的周期T和轨道半径r
C.地球绕太阳做匀速圆周运动的周期T和轨道半径r
D.地球半径R和地球表面的重力加速度g
随练2、 据新闻报导，“天宫二号”将2016年秋季择机发射，其绕地球运行的轨道可近似看成是圆轨道．设每经过时间t，“天宫二号”通过的弧长为l，该弧长对应的圆心角为θ弧度．已知引力常量为G，则地球的质量是（ ）
A.
B.
C.
D.
随练3、 对于环绕地球做圆周运动的卫星说，它们绕地球做圆周运动的周期会随着轨道半径的变化而变化，某同学根据测得的不同卫星做圆周运动的半径r与周期T关系作出如图所示图像，则可求得地球质量为（已知引力常量为G）（ ）
A.
B.
C.
D.
随练4、[多选题] 脉冲星的本质是中子星，具有在地面实验室无法实现的极端物理性质，是理想的天体物理实验室，对齐进行研究，有希望得到许多重大物理学问题的答案，譬如：脉冲星的自转周期极其稳定，准确的时钟信号为引力波探测、航天器导航等重大科学及技术应用提供了理想工具。我国FAST天文望远镜首次发现两颗太空脉冲星；其中一颗星的自转周期为T（实际测量为1.83s，距离地球1.6万光年），假设该星球恰好能维持自转不瓦解；地球可视为球体，其自转周期为T0；同一物体在地球赤道上用弹簧秤测得重力为两极处的0.9倍，已知万有引力常量为G，则该脉冲星的平均密度ρ及其与地球的平均密度ρ0之比正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
随练5、 一艘宇宙飞船飞近某一新发现的行星，并进入靠近该行星表面的圆形轨道绕行数圈后，着陆在行星上，宇宙飞船上备有以下实验仪器：
A、弹簧测力计一个
B、精确秒表一只
C、天平一台（附砝码一套）
D、物体一个
为测定该行星的质量M和半径R，宇航员在绕行及着陆后各进行一次测量，依据测量数据可以求出M和R（已知万有引力常量为G）。
（1）绕行时测量所用的仪器为________（用仪器的字母序号表示），所测物理量为________（填名称及符号）
（2）着陆后用仪器测出物体重力F和物体质量m，则该行星质量M＝________，星球半径R＝________。
利用万有引力定律求解重力加速度
例题1、 若有一星球密度与地球密度相同，此星球半径是地球半径的2倍，则星球表面的重力加速度是地球表面重力加速度的（ ）
A.0.25倍
B.0.5倍
C.2倍
D.8倍
例题2、 据报道，最近在太阳系外发现了首颗“宜居”行星，其质量约为地球质量的6.4倍，一个在地球表面重量为600N的人在这个行星表面的重量将变为960N，由此可推知，该行星的半径与地球半径之比约为（ ）
A.0.5
B.1
C.2
D.4
随练1、 “畅想号”火星探测器首次实现火星软着陆和火星表面巡视勘察，并开展地质构造等科学探测．“畅想号”在地球表面的重力为G1，在火星表面的重力为G2；地球与火星均视为球体，其半径分别为R1、R2；地球表面重力加速度为g．则（ ）
A.火星表面的重力加速度为
B.火星与地球的质量之比为
C.卫星分别绕火星表面与地球表面运行的速率之比为
D.“畅想号”火星探测器环绕火星表面做匀速圆周运动的周期为2π、
随练2、[多选题] 一球形行星对其周围物体的万有引力使物体产生的加速度用a表示，物体到球形行星表面的距离用h表示，a随h变化的图象如图所示，图中a1、h1、a2、h2及万有引力常量G均为己知．根据以上数据可以计算出（ ）
A.该行星的半径
B.该行星的质量
C.该行星的自转周期
D.该行星同步卫星离行星表面的高度
随练3、 据报道，目前我国正在研制“萤火二号”火星探测器．探测器升空后，先在近地轨道上以线速度v环绕地球飞行，再调整速度进入地火转移轨道，最后再一次调整速度以线速度v′在火星表面附近环绕飞行，若认为地球和火星都是质量分布均匀的球体，已知火星与地球的半径之比为1：2，密度之比为5：7，设火星与地球表面重力加速度分别为g′和g，下列结论正确的是（ ）
A.g′：g=4：1
B.g′：g=10：7
C.v′：v=
D.v′：v=
宇宙中的双星及多星模型
知识精讲
1．双星问题
设双星的两子星的质量分别为M 1、M 2，球心间距离L，轨道半径r1 、r2 ，周期T1、T2 ，角速度ω1、ω2 ，线速度v 1 、v2。
由万有引力定律和牛顿第二定律得
M1：
M1：
M1
M2
r1
r2
“双星”问题的常用结论
（1）周期相同： T1=T2
（2）角速度相同：ω1 =ω2 （参考同轴转动问题）
（3）向心力相同：Fn1=Fn2
（4）轨道半径与双星质量成反比： 由 得：
（5）线速度与双星质量成反比：由 得：
（6）两恒星的质量之和：
由 和得： 和，
由于和，所以
2．三星问题
（1）三颗质量相等的行星，一颗行星位于中心位置不动，另外两颗行星围绕它做圆周运动。这三颗行星始终位于同一直线上，中心行星受力平衡。运转的行星由其余两颗行星的引力提供向心力：
两行星转动的方向相同，周期、角速度、线速度的大小相等。
（2）如图所示，三颗质量相等的行星位于一正三角形的顶点处，都绕三角形的中心做圆周运动。每颗行星运行所需向心力都由其余两颗行星对其万有引力的合力来提供：
其中。
三颗行星转动的方向相同，周期、角速度、线速度的大小相等。
三点剖析
1．掌握双星模型的特点和处理方法
2．理解常见的三星模型及其运行规律
宇宙中的双星模型
例题1、 宇宙中两颗相距较近的天体称为“双星”，它们以二者连线上的某一点为圆心做匀速圆周运动，而不至因为万有引力的作用而吸引到一起。如图所示，某双星系统中A、B两颗天体绕O点做匀速圆周运动，它们的轨道半径之比rA︰rB＝1︰2，则两颗天体的（ ）
A.质量之比mA︰mB＝2︰1
B.角速度之比ωA︰ωB＝1︰2
C.线速度大小之比vA︰vB＝2︰1
D.向心力大小之比FA︰FB＝2︰1
例题2、[多选题] 人类第一次直接探测到来自双中子星合并的引力波。根据科学家们复原的过程，在两颗中子星合并前约100s时，它们相距约400km，绕二者连线上的某点每秒转动12圈。将两颗中子星都看作是质量均匀分布的球体，由这些数据、万有引力常量并利用牛顿力学知识，可以估算出这一时刻两颗中子星（ ）
A.质量之积
B.质量之和
C.速率之和
D.各自的自转角速度
例题3、 美国在2月11日宣布“探测到引力波的存在”。天文学家通过观测双星轨道参数的变化来间接验证引力波的存在，证实了GW150914是一个36倍太阳质量的黑洞和一个29倍太阳质量的黑洞并合事件。假设这两个黑洞绕它们连线上的某点做圆周运动，且这两个黑洞的间距缓慢减小。若该黑洞系统在运动过程中各自质量不变且不受其他星系的影响，则关于这两个黑洞的运动，下列说法正确的是（ ）
A.这两个黑洞做圆周运动的向心加速度大小始终相等
B.36倍太阳质量的黑洞轨道半径比29倍太阳质量的黑洞轨道半径小
C.这两个黑洞运行的线速度大小始终相等
D.随两个黑洞的间距缓慢减小，这两个黑洞运行的周期在增大
随练1、 在天体运动中，将两颗彼此相距较近的行星称为双星．它们在相互的万有引力作用下间距保持不变，并沿半径不同的同心圆轨道做匀速圆周运动．如果双星间距为，质量分别为和，试计算：
（1）双星的轨道半径
（2）双星的运行周期
（3）双星的线速度
随练2、 据报道，一个国际研究小组借助于智利的天文望远镜，观测到了一组双星系统，它们绕两者连线上的某点O做匀速圆周运动，如图所示，假设此双星系统中体积较小的成员能“吸食”另一颗体积较大星体的表面物质，达到质量转移的目的，在演变过程中两者球心之间的距离保持不变，双星平均密度可视为相同。则在最初演变的过程中（ ）
A.它们间万有引力保持不变
B.它们做圆周运动的角速度不变
C.体积较大的星体做圆周运动轨迹的半径变大，线速度变大
D.体积较大的星体做圆周运动轨迹的半径变小，线速度变大
随练3、 12月17日是我国发射“悟空”探测卫星二周年纪念日，一年来的观测使人类对暗物质的研究又进了一步．宇宙空间中两颗质量相等的星球绕其连线中心转动时，理论计算的周期与实际观测周期不符，且=k（k＞1）；因此，科学家认为，在两星球之间存在暗物质．假设以两星球球心连线为直径的球体空间中均匀分布着暗物质，两星球的质量均为m；那么，暗物质质量为（ ）
A.m
B.m
C.（k2﹣1）m
D.（2k2﹣1）m
宇宙中的多星模型
例题1、 如图甲、乙、丙是位于同一直线上的离其它恒星较远的三颗恒星，甲、丙绕乙在半径为R的圆轨道上运行．若三颗星质量均为M，万有引力常量为G，则（ ）
A.甲星所受合外力为
B.乙星所受合外力为
C.甲星和丙星的线速度相同
D.甲星和丙星的角速度相同
例题2、[多选题] 天文观测中观测到有三颗星位于边长为l的等边三角形三个顶点上，并沿等边三角形的外接圆做周期为T的匀速圆周运动。已知引力常量为G，不计其他星体对它们的影响，关于这个三星系统，下列说法正确的是（ ）
A.三颗星的质量可能不相等
B.某颗星的质量为
C.它们的线速度大小均为
D.它们两两之间的万有引力大小为
随练1、[多选题] 宇宙间存在一些离其他恒星较远的三星系统，其中有一种三星系统如图所示，三颗质量均为m的星位于等边三角形的三个顶点，三角形边长为R，忽略其他星体对它们的引力作用，三星在同一平面内绕三角形中心O做匀速圆周运动，万有引力量为G，则（ ）
A.每颗星做圆周运动的线速度为
B.每颗星做圆周运动的角速度为
C.每颗星做圆周运动的周期为
D.每颗星做圆周运动的加速度与三星的质量无关
随练2、[多选题] 宇宙空间由一种由三颗星体A、B、C组成的三星体系，它们分别位于等边三角形ABC的三个顶点上，绕一个固定且共同的圆心O做匀速圆周运动，轨道如图中实线所示，其轨道半径rA＜rB＜rC．忽略其他星体对它们的作用，可知这三颗星体（ ）
A.线速度大小关系是vA＜vB＜vC
B.加速度大小关系是aA＞aB＞aC
C.质量大小关系是mA＞mB＞mC
D.所受万有引力合力的大小关系是FA＞FB＞FC
随练3、 宇宙中存在一些质量相等且离其他恒星较远的四颗星组成的四星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用．设每个星体的质量均为m，四颗星稳定地分布在边长为a的正方形的四个顶点上，已知这四颗星均围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动，引力常量为G，试求：
（1）星体做匀速圆周运动的轨道半径r；
（2）若观测到星体的半径为R，则该星体对自身表面产生的重力加速度大小（不计其他星球的影响）；
（3）求星体做匀速圆周运动的公转周期T．
拓展
1、[多选题] 关于开普勒行星运动的公式 =k，以下理解正确的是（ ）
A.k是一个与行星无关的常量
B.若地球绕太阳运转轨道的半长轴为R地，周期为T地；月球绕地球运转轨道的长半轴为R月，周期为T月，则
C.T表示行星运动的自转周期
D.T表示行星运动的公转周期
2、 关于万有引力定律的建立，下列说法中正确的是（ ）
A.卡文迪许仅根据牛顿第三定律推出了行星与太阳间引力大小跟行星与太阳间距离的平方成反比的关系
B.“月﹣﹣地检验”表明物体在地球上受到地球对它的引力是它在月球上受到的月球对它的引力的60倍
C.引力常量G的大小是牛顿根据大量实验数据得出的
D.“月﹣﹣地检验”表明地面物体所受到地球引力与月球所受地球引力遵从同样的规律
3、 行星绕太阳近似认为做匀速圆周运动，设某行星质量为m，速度为v，行星到太阳的距离为r，行星绕太阳的公转周期为T，根据开普勒第三定律、牛顿第二定律与牛顿第三定律，推导万有引力定律。
4、 由于地球的自转，地球表面的物体会产生向心加速度，下列说法正确的是（ ）
A.在地球表面各处的向心加速度都指向地心
B.赤道上物体的向心加速度最大
C.赤道和北极上物体的向心加速度一样大
D.赤道和地球内部物体的向心加速度一样大
5、 （1）若已知地球半径为，地球表面的重力加速度为，月球绕地球运动的周期为，且把月球绕地球的运动近似看做是匀速圆周运动．则月球绕地球运动的轨道半径为______
（2）若某位宇航员随登月飞船登陆月球后，在月球表面某处以速度竖直向上抛出一个小球，经过时间，小球落回到抛出点．已知月球半径为，万有引力常量为．则月球的密度为_______
6、[多选题] 有一宇宙飞船到了某行星上(该行星没有自转运动)，以速度接近行星赤道表面匀速飞行，测出运动的周期为，已知引力常量为，则可得（ ）
A.该行星的半径为
B.可以计算出行星的平均密度
C.无法测出该行星的质量
D.该行星表面的重力加速度为
7、 10月16日，全球多国科学家同步举行新闻发布会，宣布人类第一次利用激光干涉法直接探测到来自双中子星合并（距地球约1.3亿光年）的引力波，如图为某双星系统A、B 绕其连线上的O点做匀速圆周运动的示意图，若A星的轨道半径大于B星的轨道半径，双星的总质量为M，双星间的距离为L，其运动周期为T，则（ ）
A.A的质量一定大于B的质量
B.A的线速度一定大于B的线速度
C.L一定，M越大，T越大
D.M一定，L越小，T越大
8、[多选题] 10月16日，南京紫金山天文台对外发布一项重大发现，我国南极巡天望远镜追踪探测到首例引力波事件光学信号，关于引力波，早在1916年爱因斯坦基于广义相对论预言了其存在，1974年拉塞尔豪尔斯和约瑟夫泰勒发现豪尔斯－泰勒脉冲双星，这双星系统在相互公转时，由于不断发射引力波而失去能量，因此逐渐相互靠近，这现象为引力波的存在提供了首个间接证据，上述叙述中，若不变考虑豪尔斯－泰勒脉冲双星之列的变化，则关于豪尔斯－泰勒脉冲双星的下列说法正确的是（ ）
A.脉冲双星逐渐靠近的过程中，它们相互公转的周期不变
B.脉冲双星逐渐靠近的过程中，它们相互公转的周期逐渐变小
C.脉冲双星逐渐靠近的过程中，它们各自做圆周运动的半径逐渐减小，但半径的比值保持不变
D.若测出脉冲双星相互公转的周期，就可以求出双星的总质量
9、 太空中存在一些离其它恒星较远的、由质量相等的三颗星组成的三星系统，通常可忽略其它星体对它们的引力作用.已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式：一种是三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星在同一半径为R的圆轨道上运行；另一种形式是三颗星位于等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行.设这三个星体的质量均为M，并设两种系统的运动周期相同，则下列说法不正确的是（ ）
A.直线三星系统中甲星和丙星的角速度相同
B.此三星系统的运动周期为
C.三角形三星系统中星体间的距离为
D.三角形三星系统的线速度大小为
答案解析
万有引力定律的理解和基本计算
开普勒定律
例题1、
【答案】 B
【解析】 开普勒在他的导师第谷天文观测数据的基础上，总结出了行星运动的规律，但并未找出了行星按照这些规律运动的原因；牛顿在开普勒行星运动定律的基础上推导出万有引力定律，故ACD错误，B正确．
例题2、
【答案】 C
【解析】 A、根据F=G，由于太阳与火星的间距不断变化，故太阳对火星的万有引力大小不断变化，故A错误；
B、根据牛顿第三定律，太阳对火星的万有引力大等于火星对太阳的万有引力，故B错误；
C、根据a=，火星运动到近日点时的加速度最大，故C正确；
D、根据开普勒定律中的面积定律，火星绕太阳运行的线速度大小始终变化，近日点速度最大，远日点速度最小，故D错误
例题3、
【答案】 见解析
【解析】 因行星绕太阳作匀速圆周运动，于是轨道的半长轴a即为轨道半径r。根据万有引力定律和牛顿第二定律有
①
于是有②
即
故：太阳系中该常量k的表达式是。
例题4、
【答案】 C
【解析】 根据开普勒第三定律，有：，
故．
随练1、
【答案】 C
【解析】 A、海王星在QN段的速度大小小于NP段的速度大小，则NP段的时间小于QN段的时间，所以Q到N所用的时间大于，故A错误；
B、从Q到N的过程中，由于只有万有引力做功，机械能守恒，故B错误；
C、从P到Q阶段，万有引力做负功，速率减小，则动量的大小逐渐减小，故C正确；
D、根据万有引力方向与速度方向的关系知，从P到M阶段，万有引力对它做负功，故D错误。
随练2、
【答案】 D
【解析】 由得：
根据题意有：
故ABC错误，D正确。
随练3、
【答案】 D
【解析】 已知地球轨道半径的半长轴为，公转周期年．设哈雷慧星轨道半径的半长轴．公转周期．由开普勒行星运动第三定律得：
代入数据，则年．下次飞近地球将在年．故D正确，ABC错误．
万有引力定律的基本计算
例题1、
【答案】 D
【解析】 牛顿将行星的椭圆轨道运动假想成圆周运动，行星运动的向心力是太阳的万有引力提供的，根据牛顿第二定律得出与万有引力与行星运动太阳和行星的质量、周期和半径的关系，又根据开普勒行星运动第三定律得，联立得到，万有引力与行星太阳的质量、轨道半径的关系．根据牛顿第三定律，研究行星对太阳的引力与太阳的引力大小相等，得到万有引力与行星质量、轨道半径的关系，再联立得到万有引力定律．
为了将天上的力和地上的力统一起来，牛顿进行了著名的“月地检验”．其设想为：地球表面的物体受到的万有引力提供地球表面物体的重力，所以：
mg=；即：g=
同理，绕地球做圆周运动的月亮：
即：a=
所以只要比较月球公转的向心加速度和地球表面上物体的重力加速度与月球的轨道半径与地球的半径之间的关系，即可验证万有引力定律是否成立．
由以上的分析可知，选项ABC错误，选项D正确故选：D
例题2、[多选题]
【答案】 A D
【解析】 A、公式，中G为引力常数，由卡文迪许通过实验测得。故A正确；
B、当m1与m2一定时，随着r的减小，万有引力逐渐增大，公式中从数学角度讲：当r趋近于零时其值是趋于无穷大，然而这是物理公式，所以r不可能为零。万有引力公式只适合于两个可以看作质点的物体，即，物体（原子）的自身半径相对两者的间距可以忽略时适用。而当距离无穷小时，相临的两个原子的半径远大于这个距离，它们不再适用万有引力公式，故B错误。
CD、m1、m2之间的万有引力是属于相互作用力，所以总是大小相等，与m1、m2的质量是否相等无关，却与它们的质量乘积有关。故C错误，D正确。
例题3、
【答案】 A
【解析】 没挖去前，球体对质点m的万有引力，
根据，可知挖去部分的质量是球体质量的，则挖去部分对质点m的引力，
则剩下部分对m的万有引力。
若挖去的小球中填满原来球的密度的2倍的物质，该物质的质量为，
则该物质对质点m的万有引力，
所以质点所受的万有引力．故A正确，BCD错误。
例题4、
【答案】 A
【解析】 暂无解析
例题5、
【答案】 B
【解析】 暂无解析
随练1、
【答案】 D
【解析】 A、哥白尼提出了日心说，开普勒发现了行星沿椭圆轨道运行的规律。故A错误。
B、牛顿在前人研究的基础上，提出万有引力定律。故B错误。
C、牛顿提出了万有引力定律，卡文迪许通过实验测出了万有引力常量。故C错误，D正确。
随练2、
【答案】 B
【解析】 采用割补法，先将空腔填满；填入的球的球心与物体重合，填入球上各个部分对物体m的引力的矢量和为零；均匀球壳对内部的质点的万有引力的合力为零，根据万有引力定律，有： ，解得：
随练3、
【答案】 见解析
【解析】 （1）理论分析：若使苹果落地的力与维持月球绕地球运动的力是同一种性质的力，则同样遵从平方反比律，即。已知地球半径R＝6.40×10m，月球绕地球运行的轨道半径r＝3.84×10km，所以r＝60R。月球在其轨道上所受的力将只有它在地球表面所受重力的，则月球在绕地轨道运行时因地球吸引而具有的加速度。
（2）天文观测：T＝27.3天，月球绕地运行的向心加速度，故。
理论分析中的与天文观中的符合的很好，可见，使苹果落地的力与维持月球绕地球运动的力是同一种性质的力。
万有引力与重力的关系
例题1、
【答案】 A
【解析】 A．万有引力是由于物体具有质量而在物体之间产生的一种相互作用．任何两个物体之间都存在这种吸引作用．物体之间的这种吸引作用普遍存在于宇宙万物之间，称为万有引力．重力，就是由于地面附近的物体受到地球的万有引力而产生的，重力只是万有引力的一个分力． 故A错误．
B．重力是由于地面附近的物体受到地球的吸引而产生的，故B正确．
C．在不太精确的计算中，可以认为物体的重力等于万有引力，故C正确．
D．严格来说重力并不等于万有引力，除两极处物体的重力等于万有引力外，在地球其他各处的重力都略小于万有引力，故D正确．
例题2、
【答案】 C
【解析】 物体所受的万有引力为F，物体在极地处时：F＝ma；赤道上随地球自转时，有F－mg＝ω12R；物体“飘”起来时只受万有引力，故F＝mω22R
解得，
随练1、
【答案】
【解析】 物体在地球两极时：
赤道处：
假设地球自转加快，随地自转的向心力增大，赤道处的重力加速度减小，为：
g′=（1﹣10%）g=0.9g
自转加快后，有：
联立得：
解得：
答：地球自转加快后的周期为．
随练2、
【答案】 A
【解析】 在赤道上：G，可得①
在南极：②
由①②式可得：。
利用万有引力定律求解质量和密度
利用万有引力定律求解天体质量和密度
例题1、
【答案】 D
【解析】 A、根据万有引力等于重力=mg，可以计算出地球的质量，A正确；
B、根据v=可计算出卫星的轨道半径r，万有引力提供向心力，则可求出地球质量，B正确；
C、根据可求出地球的质量，C正确；
D、可根据则计算出太阳的质量，但无法计算地球的质量，D错误．
本题问的是不能计算出地球质量的是，所以选D．
例题2、
【答案】 D
【解析】 在地球两极①
在地球赤道②
联立①②得
由①得地球质量
地球的密度，故D正确，ABC错误。
例题3、
【答案】 C
【解析】 设位于该星体赤道处的小块物质质量为m，物体受到的星体的万有引力恰好提供向心力，这时星体不瓦解且有最小密度，
由万有引力定律结合牛顿第二定律得：
球体的体积为：
密度为：
代入数据解得：．故C正确、ABD错误；
例题4、
【答案】
【解析】 设抛出点的高度为h，第一次抛出时水平射程为x；当初速度变为原来3倍时，水平射程为3x，如图所示
由几何关系可知：L2＝h2＋x2①
（L）2＝h2＋（3x）2②
（ ①②联立，得： L）
设该星球表面的重力加速度为g，则竖直方向h＝gt2③
又因为④
由③④联立，得
随练1、[多选题]
【答案】 B D
【解析】 A、卫星绕地球做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，解得，因为轨道半径未知，所以地球质量求不出来，故A错误；
B、卫星绕地球做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，解得：，故B正确；
C、地球绕太阳做匀速圆周运动的周期T和轨道半径r，中心天体是太阳，根据万有引力提供向心力只能求出中心天体的质量，地球是环绕天体质量被约掉，故地球质量求不出来，故C错误；
D、根据地球表面物体的重力等于万有引力，得地球质量，故D正确；
随练2、
【答案】 D
【解析】 “天宫二号”通过的弧长为l，该弧长对应的圆心角为θ弧度，所以其轨道半径：
t时间内“天宫二号”通过的弧长是l，所以线速度：
“天宫二号”做匀速圆周运动的向心力是由万有引力提供，则：
所以：
随练3、
【答案】 B
【解析】 由万有引力提供向心力有：，
得：，
由图可知：，
所以地球的质量为：，故B正确、ACD错误。
随练4、[多选题]
【答案】 A C
【解析】 AB、星球恰好能维持自转不瓦解时，万有引力充当向心力，即，又，联立解得，A正确，B错误；
CD、设地球质量为M0，半径为R0，由于两极处物体的重力P等于地球对物体的万有引力，即…①，
在赤道上，地球对物体的万有引力和弹簧秤对物体的拉力的合力提供向心力，则有…②，
联立①②解得：，地球平均密度为：，则C正确，D错误。
随练5、
【答案】 （1）B；周期T
（2）；
【解析】 （1）由重力等于万有引力
万有引力等于向心
由以上两式解得
①
②
由牛顿第二定律
F＝mg③
因而需要用秒表测量绕行时周期T，用天平测量质量m，用弹簧秤测量重力F；
由②③得
由①③得。
利用万有引力定律求解重力加速度
例题1、
【答案】 C
【解析】 根据万有引力等于重力，列出等式：
得，其中M是任一天体的质量，R是天体半径
根据密度与质量的关系得：
联立得
根据题意知星球半径是地球半径的2倍，所以星球表面的重力加速度是地球表面重力加速度的2倍
例题2、
【答案】 C
【解析】 在忽略地球自转的情况下，万有引力等于物体的重力，即：
G地=
同样在行星表面有：
G行=
以上二式相比可得：
=×=
==2
故该行星的半径与地球的半径之比约为2．故C正确，
故选：C．
随练1、
【答案】 B
【解析】 A、设探测器的质量m=，火星表面的重力加速度：g2==，故A错误。
B、根据mg=G得M=，火星与地球的质量之比：==，故B正确。
C、第一宇宙速度：v==，火星与地球的第一宇宙速度之比：=，故C错误。
D、根据周期公式T=2π，再根据g=，“畅想号”火星探测器绕火星表面匀速圆周运动的周期T=2π=2π，故D错误。
随练2、[多选题]
【答案】 A B
【解析】 A、球形行星对其周围质量为m的物体的万有引力：
所以：，
联立可得：R=故A正确；
B、将R=代入加速度的表达式即可求出该行星的质量．故B正确；
C、由题目以及相关的公式的物理量都与该行星转动的自转周期无关，所以不能求出该行星的自转周期．故C错误；
D、由于不能求出该行星的自转周期，所以也不能求出该行星同步卫星离行星表面的高度．故D错误．
故选：AB
随练3、
【答案】 C
【解析】 AB、在星球表面的物体受到的重力等于万有引力，
所以
所以，故AB错误．
CD、探测器绕地球表面运行和绕月球表面运行都是由万有引力充当向心力，
根据牛顿第二定律有：，得 ①，M为中心体质量，R为中心体半径．
M=ρ•②
由①②得：v=
已知地球和火星的半径之比为1：2，密度之比为5：7，
所以探测器绕地球表面运行和绕月球表面运行线速度大小之比为：
故C正确、D错误．
故选：C．
宇宙中的双星及多星模型
宇宙中的双星模型
例题1、
【答案】 A
【解析】 双星都绕O点做匀速圆周运动，由两者之间的万有引力提供向心力，角速度相等，设为ω．根据牛顿第二定律，有：
对A星：①
对B星：②
故：mA︰mB＝rB︰rA＝2︰1。
根据双星的条件有：角速度之比ωA︰ωB＝1︰1
由v＝ωr得：线速度大小之比vA︰vB＝rA︰rB＝1︰2
向心力大小之比FA︰FB＝1︰1，故A正确，BCD错误。
例题2、[多选题]
【答案】 B C
【解析】 AB、设两颗星的质量分别为m1、m2，轨道半径分别为r1、r2，相距L＝400km＝4×105m，
根据万有引力提供向心力可知：
，
，
整理可得：，解得质量之和，其中周期，故A错误、B正确；
CD、由于，则角速度为：，这是公转角速度，不是自转角速度，
根据v＝rω可知：v1＝r1ω，v2＝r2ω，
解得：v1＋v2＝（r1＋r2）ω＝Lω＝9.6π×106m／s，故C正确，D错误。
例题3、
【答案】 B
【解析】 暂无解析
随练1、
【答案】 （1） （2）
（3），
【解析】 因为双星受到同样大小的万有引力作用，且保持距离不变，绕同一圆心做匀速圆周运动，所以具有周期、频率和角速度均相同；而轨道半径、线速度不同的特点
（1）根据万有引力定律
可得：
（2）同理，还有
所以，周期为
（3）根据线速度公式，
随练2、
【答案】 B C
【解析】 A、设体积较小的星体质量为m1，轨道半径为r1，体积大的星体质量为m2，轨道半径为r2．双星间的距离为L．转移的质量为△m。
万有引力：，结合二项式定理可知，二者的质量越接近，万有引力越大。故A错误；
BCD、对m1：…①
对m2：…②
由①②得：，总质量m1＋m2不变，两者距离L不变，则角速度ω不变。
由②得：，ω、L、m1均不变，△m增大，则r2 增大，即体积较大星体圆周运动轨迹半径变大。
由v＝ωr2得线速度v也增大。故bC正确。D错误。
随练3、
【答案】 A
【解析】 双星均绕它们的连线的中点做圆周运动，设它们之间的距离为L，万有引力提供向心力得：
解得：．
根据观测结果，星体的运动周期=k
这种差异是由双星内均匀分布的暗物质引起的，均匀分布在球体内的暗物质对双星系统的作用与一质量等于球内暗物质的总质量m'，位于中点O处的质点的作用相同．
则有：
解得：
所以：．故A正确，BCD错误．
故选：A
宇宙中的多星模型
例题1、
【答案】 D
【解析】 A、甲星受到乙星和丙星的万有引力，其所受的合外力F合=G+G=．故A错误；
B、乙星受到甲星和丙星的万有引力，由于三星质量相等，距乙星半径相同，故乙星所受万有引力的合力为0，故B错误；
CD、甲丙两星所受的合力大小相等，靠万有引力的合力提供向心力，知道甲星和丙星的角速度相同，由于轨道半径相等，根据v=Rω知，线速度大小相等，但是线速度的方向不同．故C错误，D正确．
故选：D．
例题2、[多选题]
【答案】 B D
【解析】 ABD、轨道半径等于等边三角形外接圆的半径，r=。
根据题意可知其中任意两颗星对第三颗星的合力指向圆心，所以这两颗星对第三颗星的万有引力等大，由于这两颗星到第三颗星的距离相同，故这两颗星的质量相同，所以三颗星的质量一定相同，设为m，则F合=2Fcos30°=
星球做匀速圆周运动，合力提高向心力，故：
F合=m，
解得：m=，
它们两两之间的万有引力：F=，故A错误，B正确，D正确；
C、根据F合=m得：线速度大小为：v=，故C错误。
随练1、[多选题]
【答案】 A B C
【解析】 A、任意两个星星之间的万有引力
每一颗星星受到的合力，，由几何关系知：它们的轨道半径①
合力提供它们的向心力：②
联立①②，解得：，故A正确。
B、角速度，故B正确。
C、由，故C正确；
D、任意两个星星之间的万有引力
每一颗星星受到的合力就是其向心力，，故向心加速度与质量有关，故D错误。
随练2、[多选题]
【答案】 A C D
【解析】 A．三星系统是一种相对稳定的结构，它们做圆周运动的角速度是相等的，由v=ωr，结合rA＜rB＜rC．可知，线速度大小关系是vA＜vB＜vC．故A错误；
B．由a=ω2r，结合rA＜rB＜rC．可知加速度大小关系是aA＜aB＜aC．故B错误；
C．以A为研究对象，则受力如图：
由于向心力指向圆心，由矢量关系可知，B对A的引力大于C对A的引力，结合万有引力定律的表达式：
可知B的质量大于C的质量．
同理若以C为研究对象，可得A的质量大于B的质量，即质量大小关系是mA＞mB＞mC．故C正确．
D．由于，mA＞mB＞mC， 结合万有引力定律可知A与B之间的引力大于A与C之间的引力，又大于B与C之间的引力．由题可知，A、B、C受到的两个万有引力之间的夹角都是相等的，根据两个分力的角度一定时，两个力的大小越大，合力越大可知FA＞FB＞FC．故D正确．
随练3、
【答案】 （1）（2）（3）
【解析】 （1）由星体均围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动可知，星体做匀速圆周运动的轨道半径
（2）由万有引力的定律可知
则星体表面的重力加速度
（3）星体在其他三个星体的万有引力作用下围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动，由万有引力定律和向心力公式得：
解得周期．
故（1）星体做匀速圆周运动的轨道半径r为；
（2）若观测到星体的半径为R，则该星体对自身表面产生的重力加速度大小为；
（3）求星体做匀速圆周运动的公转周期T为．
拓展
1、[多选题]
【答案】 A D
【解析】 A、k是一个与行星无关的常量，与恒星的质量有关，故A正确．
B、公式=k中的k是与中心天体质量有关的，中心天体不一样，k值不一样．地球公转的中心天体是太阳，月球公转的中心天体是地球，k值是不一样的．故B错误．
C、T代表行星运动的公转周期，故C错误，D正确．
2、
【答案】 D
【解析】 解：A、牛顿探究天体间的作用力，得到表明行星间引力与距离的平方成反比，并进一步扩展为万有引力定律，并不是卡文迪许提出的，故A错误；
B、“月﹣地检验”表明物体在地球上受到的引力是在月球上的6倍，故B错误；
C、牛顿发现万有引力定律，但是没有测得引力常量G的大小，G大小是卡文迪许测得的，故C错误；
D、万有引力定律建立后，经历过“月﹣地检验”，表明地面物体所受地球引力与月球所受地球引力遵从同样的规律，故D正确；
故选：D．
3、
【答案】 见解析
【解析】 行星绕太阳做匀速圆周运动的向心力为：
行星的线速度：
由以上两式得：
不同行星的公转周期是不同的，F与r的关系式中T应消去，
根据开普勒第三定律：
代入上式可得：
说明F∝
根据牛顿第三定律，行星对太阳的引力F′应该与太阳的质量成正比，与行星和太阳之间的距离二次方成反比，即：F∝
F∝
写成等式就是：。
4、
【答案】 B
【解析】 A、除两极外，在地球表面各处一起绕地轴转动，向心加速度方向都是指向地轴且平行于赤道平面，故A错误；
BCD、地球自转时，各点绕地轴转动，具有相同的角速度，根据a＝rω2，知到地轴的距离越大，向心加速度越大，所以在赤道处的向心加速度最大，两极向心加速度最小，故B正确，C错误，D错误。
5、
【答案】 （1）（2）
【解析】 （1）设地球的质量为，月球的质量为，由万有引力充当向心力，有：
在地球表面附近有：，解得月球绕地球运动的轨道半径为；
（2）小球做竖直上抛运动，则由，得月球表面的重力加速度，在月球表面上，得月球的质量；月球的密度
6、[多选题]
【答案】 A B D
【解析】 根据题意有可得，和，选项AD正确，C错误；已知行星的质量和半径可以计算出其平均密度，所以选项B正确．本题答案为ABD．
7、
【答案】 B
【解析】 A、双星同轴转动，角速度相等，双星靠相互间的万有引力提供向心力，所以向心力相等，故：
mArAω2＝mBrBω2，
因为rB＜rA，所以mB＞mA，即B的质量一定大于A的质量，故A错误；
B、根据v＝rω，因为rB＜rA，故vA＞vB，故B正确；
CD、根据牛顿第二定律，有：
，
，
其中：rA＋rB＝L，
联立解得：
故L一定，M越大，T越小；M一定，L越大，T越大，故C、D错误。
8、[多选题]
【答案】 B C
【解析】 AB、设脉冲双星的质量，及轨道半径分别为 m1、m2、r1、r2，间距为L＝r2＋r1．由于，得，．则双星总质量，整理得，由于总质量不变，脉冲双星逐渐靠近的过程中L变小，则ω变大，由可知周期逐渐变小，故A错误，B正确；
C、由，可得，故C正确；
D、由上以分析可知，要想知道双星总质量，需要知道周期T和双星间距L，故D错误。
9、
【答案】 D
【解析】 ABC都正确；
D选项的答案为：
故选D
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