高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第三册6.2 排列与组合练习题

第六章6.2.3　组合　6.2.4　组合数

A级 必备知识基础练

1.[探究点一](多选题)下列问题不是组合问题的是 (　　)

A.求把5本不同的书分给5个学生,每人一本的分法

B.求从7本不同的书中取出5本给某个同学的取法

C.某人射击8次,击中4次,且命中的4次均为2次连中,共有多少种不同的结果

D.10个人互发一个电子邮件,共发了多少个邮件

2.[探究点三]某新农村社区共包括8个自然村,且这些村庄分布零散,没有任何三个村庄在一条直线上,现要在该社区内建“村村通”工程,则共需建公路的条数为(　　)

A.4 B.8

C.28 D.64

3.[探究点三]从2,3,…,8中任意取三个不同的数字,组成无重复数字的三位数,要求个位数最大,百位数最小,则这样的三位数的个数为(　　)

A.35 B.42

C.105 D.210

4.[探究点三]某施工小组有男工7名,女工3名,现要选1名女工和2名男工去支援另一施工队,不同的选法有              (　　)

A.种

B.种

C.种

D.种

5.[探究点二](多选题)对于m,n∈N*且m<n,关于下列排列组合数,结论正确的是(　　)

A.

B.

C.

D.=(m+1)

6.[探究点三]若已知集合P={1,2,3,4,5,6},则集合P的子集中含有3个元素的子集数为　　　　. 

7.[探究点三]计算的值为　　　　　. 

8.[探究点二]若对任意的x∈A,则∈A,就称A是“具有伙伴关系”的集合.集合M=-1,0,,1,2,3,4的所有非空子集中,“具有伙伴关系”的集合的个数为　　　　. 

9.[探究点三]现有5名男司机、4名女司机,需选派5人运货到某市.

(1)如果派3名男司机、2名女司机,共有多少种不同的选派方法?

(2)至少有两名男司机,共有多少种不同的选派方法?

B级 关键能力提升练

10.从长度分别为1,2,3,4,5的五条线段中,任取三条的不同取法有n种,在这些取法中,若以取出的三条线段为边可组成的钝角三角形的个数为m,则=(　　)

A. B. C. D.

11.已知圆上有9个点,每两点连一线段,所有线段在圆内的交点有(　　)

A.36个 B.72个 C.63个 D.126个

12.将标号为1,2,…,10的10个球放入标号为1,2,…,10的10个盒子里,每个盒内放一个球,恰好3个球的标号与其在盒子的标号不一致的放入方法种数为(　　)

A.120 B.240

C.360 D.720

13.从10名大学毕业生中选3人担任某公司助理,则甲、乙至少有1人入选,而丙没有入选的不同选法的种数为(　　)

A.28 B.49

C.56 D.85

14.(多选题)有13名医生,其中女医生6人,现从中抽调5名医生组成医疗小组前往某地区参与救援,若医疗小组至少有2名男医生,同时至多有3名女医生,设不同的选派方法种数为N,则N=(　　)

A.

B.

C.

D.

15.=　　　　　. 

16.某同学有同样的画册2本、同样的集邮册3本,从中取出4本赠送给4位朋友,每位朋友1本,则不同的赠送方法共有　　　　种. 

17.某城市纵向有6条道路,横向有5条道路,构成如图所示的矩形道路网(图中黑线表示道路),则从西南角A地到东北角B地的最短路线共有　　　　　条. 

18.某单位需同时参加甲、乙、丙三个会议,甲会议需2人参加,乙、丙两个会议各需1人参加,从10人中选派4人参加这三个会议,不同的安排方法有　　　　　种. 

C级 学科素养创新练

19.[2023甘肃凉州模拟]n位校验码是一种由n个“0”或“1”构成的数字传输单元,分为奇校验码和偶校验码.若一个校验码中有奇数个1,则称其为奇校验码,如5位校验码“01101”中有3个1,该校验码为奇校验码.那么6位校验码中的奇校验码的个数是(　　)

A.6 B.32 C.64 D.846

20.按照下列要求,分别求有多少种不同的方法?

(1)5个不同的小球放入3个不同的盒子;

(2)5个不同的小球放入3个不同的盒子,每个盒子至少一个小球;

(3)5个相同的小球放入3个不同的盒子,每个盒子至少一个小球;

(4)5个不同的小球放入3个不同的盒子,恰有1个空盒.

参考答案

6.2.3　组合　6.2.4　组合数

1.ACD　对于A,由于书不同,每人每次拿到的也不同,有顺序之分,故它是排列问题;

对于B,从7本不同的书中,取出5本给某个同学,在每种取法中取出的5本并不考虑书的顺序,故它是组合问题;

对于C,第几次命中,显然有顺序,故它是排列问题;

对于D,发邮件与顺序有关,故它是排列问题.

2.C　由于“村村通”公路的修建是组合问题,故共需要建=28条公路.

3.A　由于取出三个数字后大小次序已确定,只需把最小的数字放在百位,最大的数字放在个位,剩下的数字放在十位,因此满足条件的三位数的个数为=35.

4.D　每个被选的人员无角色差异,是组合问题.

分两步完成:第一步,选女工,有种选法;

第二步,选男工,有种选法.

故有种不同选法.

5.ABC　根据组合数的性质与组合数的计算公式

,故A正确;

因为,所以,故B正确;

因为·m!=,所以,故C正确;

因为,(m+1)=(m+1)·,故D不正确.

6.20　由于集合中的元素具有无序性,因此含3个元素的子集个数与元素顺序无关,是组合问题,共有=20个子集.

7.126　=126.

8.15　“具有伙伴关系”的元素组有-1;1;,2;,3,共4组.所以集合M的所有非空子集中,“具有伙伴关系”的非空集合中的元素,可以是“具有伙伴关系”的元素组中的任意一组、二组、三组、四组.又因为集合中的元素是无序的,所以所求集合的个数为=15.

9.解 (1)从5名男司机中选派3名,有种方法,

从4名女司机中选派2名,有种方法.

根据分步乘法计数原理得,所选派的方法种数为=60.

(2)从9人中任选5人运货有种方法.

其中1名男司机、4名女司机有=5种选法.

所以至少有两名男司机的选派方法种数为-5=121.

10.B　任取三条的不同取法有=10种,钝角三角形只有2,3,4和2,4,5两种情况,故n=10,m=2,.

11.D　此题可化归为圆上9个点可组成多少个四边形,所有四边形的对角线交点个数即为所求,所以交点为=126个.

12.B　根据题意,先确定标号与其在盒子的标号不一致的3个球,即从10个球中取出3个,有=120种,而这3个球的排法有2×1×1=2种,则共有120×2=240种放入方法.

13.B　依题意,满足条件的不同选法的种数为=49.

14.BC　13名医生,其中女医生6人,男医生7人.

(方法一　直接法)2男3女;3男2女;4男1女;5男,所以N=.

(方法二　间接法)13名医生,任取5人,减去4、5名女医生的情况,即N=.

故选BC.

15.220　=220.

16.10　依题意,就所剩余的1本进行分类:

第1类,剩余的是1本画册,此时满足题意的赠送方法有4种;

第2类,剩余的是1本集邮册,此时满足题意的赠送方法有=6种.

因此,满足题意的赠送方法共有4+6=10种.

17.126　要使路线最短,只能向右或向上走,途中不能向左或向下走.因此,从A地到B地归结为走完5条横线段和4条纵线段.设每走一段横线段或纵线段为一个行走时段,从9个行走时段中任取4个时段走纵线段,其余5个时段走横线段,共有=126种走法,故从A地到B地的最短路线共有126条.

18.2 520　从10人中选派4人有种方法,对选出的4人具体安排会议有种方法,由分步乘法计数原理知,不同的选派方法有=2520种.

19.B　依题意,6位校验码中的奇校验码的个数是=6+20+6=32.故选B.

20.解 (1)5个不同的小球放入3个不同的盒子,每个小球都有3种可能,利用分步乘法计数原理,可得不同的方法有35=243种.

(2)5个不同的小球放入3个不同的盒子,每个盒子至少一个小球,先把5个小球分组,分法有2,2,1和3,1,1两种,再放入3个不同的盒子,故不同的方法共有×=150种.

(3)5个相同的小球放入3个不同的盒子,每个盒子至少一个小球,类似于在5个小球间的空隙中,放入2个隔板,把小球分为3组,故不同的方法共有=6种.

(4)5个不同的小球放入3个不同的盒子,恰有一个空盒,先把5个小球分2组,分法有3,2,0和4,1,0两种,再放入3个不同的盒子,故不同的方法共有()×=90种.