高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第三册6.3 二项式定理同步训练题

第六章6.3.2　二项式系数的性质

A级 必备知识基础练

1.[探究点二]若(x+3y)n展开式的各项系数和等于(7a+b)10展开式中的二项式系数之和,则n的值为(　　)

A.5 B.8 C.10 D.15

2.[探究点一、二·2023陕西安康模拟]在-x7的展开式中,下列说法正确的是(　　)

A.所有项的二项式系数和为1

B.第4项和第5项的二项式系数最大

C.所有项的系数和为128

D.第4项的系数最大

3.[探究点二]如果一个多位数的各个数位上的数字从左到右按由小到大的顺序排列,则称此数为“上升”的,那么所有“上升”的正整数的个数为(　　)

A.530 B.502 C.503 D.505

4.[探究点一、二](多选题)设(2x-1)7=a0+a1x+a2x2+…+a6x6+a7x7,则下列结论正确的是(　　)

A.a2+a5=588

B.a1+a2+…+a7=1

C.a1+a3+a5+a7=

D.|a1|+|a2|+…+|a7|=37-1

5.(多选题)关于(a-b)11的说法,正确的是(　　)

A.展开式中的二项式系数之和为2 048

B.展开式中只有第6项的二项式系数最大

C.展开式中第6项和第7项的二项式系数最大

D.展开式中第6项的系数最大

6.[探究点二·2023山东菏泽二模]若(3-x)5=a0+a1x+a2x2+…+a5x5,则|a0|+|a1|+|a2|+|a3|+|a4|+|a5|=　　　　　. 

7.[探究点二]设(3x-2)6=a0+a1(2x-1)+a2(2x-1)2+…+a6(2x-1)6,则=　　　　　. 

8.[探究点二]已知(1+m)n(m是正实数)的展开式的二项式系数之和为256,展开式中含x的项的系数为112.

(1)求m,n的值;

(2)求展开式中奇数项的二项式系数之和;

(3)求(1+m)n(1-x)的展开式中含x2的项的系数.

B级 关键能力提升练

9.在n的展开式中,所有奇数项系数之和为1 024,则中间项系数是(　　)

A.330 B.462 C.682 D.792

10.若(1-2x)2 022=a0+a1x+…+a2 022x2 022(x∈R),则+…+的值为(　　)

A.2 B.0 C.-2 D.-1

11.已知(2x-1)n二项展开式中,奇次项系数的和比偶次项系数的和小38,则+…+=　　　　　. 

C级 学科素养创新练

12.已知f(x)=(1+2x)m+(1+4x)n(m,n∈N*)的展开式中含x项的系数为36,则展开式中含x2项的系数的最小值为　　　　　. 

参考答案

6.3.2　二项式系数的性质

1.A　(7a+b)10的展开式的二项式系数之和为210,

令x=1,y=1,则由题意知,4n=210,解得n=5.

2.B　对于选项A,展开式所有项的二项式系数和为27=128,故A错误;

对于选项B,展开式共有8项,故第4项和第5项二项式系数最大,故B正确;

对于选项C,令x=1,得所有项的系数和为(2-1)7=1,故C错误;

对于选项D,Tk+1=·(-1)k·27-k·x2k-7,T4=×(-1)3×24x-1,系数小于0,T3=·(-1)2·25·x-3=672x-3,系数大于0,故D错误.故选B.

3.B　由题意,得“上升”的正整数包含两位数有个,三位数有个,…,九位数有个,则所有“上升”的正整数的个数为+…+=29-=502.

4.ACD　因为(2x-1)7展开式的通项为

Tk+1=·(2x)7-k(-1)k=(-1)k27-kx7-k,

又(2x-1)7=a0+a1x+a2x2+…+a6x6+a7x7,

所以a2=×(-1)5×27-5=-84,a5=×(-1)2×27-2=672,则a2+a5=588,故A正确;

令x=1,则(2-1)7=a0+a1+a2+…+a6+a7=1,

令x=0,则(0-1)7=a0=-1;

令x=-1,则(-2-1)7=a0-a1+a2-a3+a4-a5+a6-a7=-37,

故a1+a2+…+a7=1-a0=2,即B错误;

a1+a3+a5+a7=,即C正确;

|a1|+|a2|+…+|a7|=a1-a2+a3-a4+a5-a6+a7=-(a0-a1+a2-a3+a4-a5+a6-a7)+a0=37-1,即D正确.

5.AC　(a-b)11的展开式中的二项式系数之和为211=2048,故A正确;

因为n=11为奇数,所以展开式中有12项,中间两项(第6项和第7项)的二项式系数相等且最大,故B不正确,C正确;展开式中第6项的系数为负数,不是最大值,故D不正确.

故选AC.

6.45　令x=1,则25=a0+a1+a2+a3+a4+a5,

令x=-1,则45=a0-a1+a2-a3+a4-a5,

故=a0+a2+a4,=a1+a3+a5,

则有|a0|+|a1|+|a2|+|a3|+|a4|+|a5|==45.

7.-　令x=1,得a0+a1+a2+…+a6=1,令x=0,得a0-a1+a2-…+a6=64,两式相减得2(a1+a3+a5)=-63,两式相加得2(a0+a2+a4+a6)=65,故=-.

8.解(1)由题意可得2n=256,解得n=8.Tk+1=mk,含x项的系数为m2=112,解得m=2或m=-2(舍去).故m,n的值分别为2,8.

(2)展开式中奇数项的二项式系数之和为=28-1=128.

(3)(1+2)8(1-x)=(1+2)8-x(1+2)8,

所以含x2的项的系数为24-22=1008.

9.B　∵二项展开式中各项的二项式系数之和为2n,而所有偶数项的二项式系数之和与所有奇数项的二项式系数之和相等,故由题意得2n-1=1024,

∴n=11,

∴展开式共12项,中间项为第6项、第7项,其系数为=462.

10.D　(1-2x)2022=a0+a1x+…+a2022x2022,

令x=0,得a0=1,令x=,得1-2×2022=a0++…+=0,所以+…+=-1.

11.255　设(2x-1)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn,且奇数项的系数和为A,偶数项的系数和为B.

则A=a1+a3+a5+a7+…,B=a0+a2+a4+a6+….

由已知可知,B-A=38.令x=-1,

得a0-a1+a2-a3+…+an(-1)n=(-3)n,

即(a0+a2+a4+a6+…)-(a1+a3+a5+a7+…)=(-3)n,即B-A=(-3)n,

∴(-3)n=38=(-3)8,

∴n=8.

由二项式系数的性质,可得+…+=2n-=28-1=255.

12.272　(1+2x)m+(1+4x)n的展开式中含x的项为

·2x+·4x=(2+4)x,

∴2+4=36,即m+2n=18,(1+2x)m+(1+4x)n的展开式中含x2的项的系数为t=22+42=2m2-2m+8n2-8n,

∵m+2n=18,

∴m=18-2n,

∴t=2(18-2n)2-2(18-2n)+8n2-8n=16n2-148n+612=16n2-n+,

∴当n=时,t取最小值,但n∈N*,

∴当n=5时,含x2项的系数最小,最小值为272.