高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第三册7.3 离散型随机变量的数字特征课时训练

第七章7.3　离散型随机变量的数字特征

7.3.1　离散型随机变量的均值

A级 必备知识基础练

1.[探究点一]若离散型随机变量X的分布列为

则X的均值E(X)=(　　)

A.2 B.2或 C. D.1

2.[探究点一]若随机变量X的分布列如表所示,则E(ξ)的值为(　　)

A. B. C. D.

3.[探究点二]若随机变量X的分布列如下表,则E(5X+4)=(　　)

A.16 B.11 C.2.2 D.2.3

4.[探究点三]今有两台独立工作在两地的雷达,每台雷达发现飞行目标的概率分别为0.9和0.85,设发现目标的雷达数为X,则E(X)的值为(　　)

A.0.765 B.1.75 C.1.765 D.0.22

5.[探究点三]甲、乙、丙三人各打靶一次,若甲打中的概率为,乙、丙打中的概率均为(0<t<4),若甲、乙、丙都打中的概率是,设X表示甲、乙两人中中靶的人数,则X的均值是(　　)

A. B. C.1 D.

6.[探究点一]某公司有5万元资金用于投资开发项目,如果成功,一年后可获利12%;如果失败,一年后将丧失全部资金的50%.下表是过去200例类似项目开发的实施结果:

则该公司一年后估计可获收益的均值是　　　　　. 

7.[探究点二]离散型随机变量X的可能取值为1,2,3,4,P(X=k)=ak+b(k=1,2,3,4),E(X)=3,则a=　　　　　,b=　　　　　. 

8.[探究点三]为了整顿道路交通秩序,某地考虑将对行人闯红灯进行处罚.为了更好地了解市民的态度,在普通行人中随机选取了200人进行调查,得到如下数据:

(1)若用表中数据所得频率代替概率,则处罚10元时与处罚20元时行人会闯红灯的概率的差是多少?

(2)若从这5种处罚金额中随机抽取2种不同的金额进行处罚,在两个路口进行试验.

①求这两种金额之和不低于20元的概率;

②若用X表示这两种金额之和,求X的分布列和均值.

B级 关键能力提升练

9.某船队若出海后天气好,可获得5 000元;若出海后天气坏,将损失2 000元;若不出海也要损失1 000元.根据预测知天气好的概率为0.6,则出海的期望效益是(　　)

A.2 000元 B.2 200元 C.2 400元 D.2 600元

10.一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a,得2分的概率为b,不得分的概率为c(a,b,c∈(0,1)),已知他投篮一次得分的均值为2,则的最小值为(　　)

A. B. C. D.

11.(多选题)已知随机变量ξ的分布列是

其中α∈0,,则下列表述正确的是(　　)

A.+cos α=1

B.cos α=

C.E(ξ)=1

D.sin α=

12.(多选题)设p为非负实数,随机变量X的分布列为

则下列说法正确的是(　　)

A.p∈0, B.E(X)最大值为

C.p∈0, D.E(X)最大值为

13.李老师从课本上抄录一个随机变量X的分布列如表:

请小王同学计算X的均值,尽管“?”处完全无法看清,且两个“!”处字迹模糊,但能断定这两个“!”处的数值相同.据此,小王给出了正确答案E(X)=　　　　　. 

14.袋中原有3个白球和2个黑球,每次从中任取2个球,然后放回2个黑球.设第一次取到白球的个数为ξ,则E(ξ)=　　　　　,第二次取到1个白球1个黑球的概率为　　　　　. 

15.某市A,B两所中学的学生组队参加辩论赛,A中学推荐了3名男生、2名女生,B中学推荐了3名男生、4名女生,两校所推荐的学生一起参加集训.由于集训后队员水平相当,从参加集训的男生中随机抽取3人、女生中随机抽取3人组成代表队.

(1)求A中学至少有1名学生入选代表队的概率;

(2)某场比赛前,从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛.设X表示参赛的男生人数,求X的分布列和均值.

16.A,B两个代表队进行乒乓球对抗赛,每队三名队员,A队队员分别是A1,A2,A3,B队队员分别是B1,B2,B3,按以往多次比赛的统计,对阵队员之间的胜负概率如下.

现按表中对阵方式出场比赛,胜队得1分,负队得0分.设A,B两队最后所得总分分别为X,Y.

(1)求X,Y的分布列;

(2)求E(X),E(Y).

C级 学科素养创新练

17.某企业有甲、乙两个研发小组,他们研发新产品成功的概率分别为.现安排甲组研发新产品A,乙组研发新产品B.设甲、乙两组的研发相互独立.

(1)求至少有一种新产品研发成功的概率;

(2)若新产品A研发成功,预计企业可获利润120万元;若新产品B研发成功,预计企业可获利润100万元.求该企业可获利润的分布列和均值.

参考答案

7.3　离散型随机变量的数字特征

7.3.1　离散型随机变量的均值

1.C　由分布列的性质知,=1,解得a=1或a=-2(舍去).

所以E(X)=0×+1×.

2.C　由题可得,2x+3x+7x+2x+3x+x=1,则x=,E(X)=0×2x+1×3x+2×7x+3×2x+4×3x+5×x=40x=.

3.A　由题中表格可求E(X)=0×0.3+2×0.2+4×0.5=2.4,故E(5X+4)=5E(X)+4=5×2.4+4=16.故选A.

4.B　当X=0时,P(X=0)=(1-0.9)×(1-0.85)=0.015;

当X=1时,P(X=1)=0.9×(1-0.85)+0.1×0.85=0.22;

当X=2时,P(X=2)=0.9×0.85=0.765.

所以E(X)=0×0.015+1×0.22+2×0.765=1.75.

5.D　∵,

∴t=3(t=-3舍去).

记X的所有可能取值为0,1,2,则分布列为

∴E(X)=0×+1×+2×.

6.4 760　由题意知,一年后获利6000元的概率为0.96,获利-25000元的概率为0.04,故该公司一年后收益的均值是6000×0.96+(-25000)×0.04=4760.

7.　0　易知E(X)=1×(a+b)+2×(2a+b)+3×(3a+b)+4×(4a+b)=3,即30a+10b=3. ①

又(a+b)+(2a+b)+(3a+b)+(4a+b)=1,

即10a+4b=1, ②

由①②,得a=,b=0.

8.解(1)由题意可知,处罚10元时行人会闯红灯的概率与处罚20元时行人会闯红灯的概率的差是.

(2)①设“两种金额之和不低于20元”的事件为A,从5种金额中随机抽取2种,总的抽选方法共有=10种,满足金额之和不低于20元的有6种,故所求概率P(A)=.

②根据条件,X的可能取值为5,10,15,20,25,30,35,分布列为

故E(X)=5×+10×+15×+20×+25×+30×+35×=20.

9.B　出海的期望效益为5000×0.6+(1-0.6)×(-2000)=3000-800=2200(元).

10.D　由题意知均值是2,则3a+2b=2,即+b=1,

则=+b=3++2=,当且仅当a=2b=时,等号成立.

故的最小值为.

11.ABC　对于A,由随机变量的分布列的性质,

得+cosα=1;

对于B,由+cosα=1,得sinα+2cosα=2,

联立得5cos2α-8cosα+3=0,

解得cosα=或cosα=1(舍去);

对于D,因为α∈0,,则sinα=;

对于C,E(ξ)=-+2cosα=-+2×=1.

12.AB　由表可得解得p∈0,,

均值E(X)=0×-p+1×p+2×=p+1,

当且仅当p=时,E(X)取最大值,最大值为.

13.2　设“!”为x,“?”为y,则2x+y=1.

E(X)=4x+2y=2(2x+y)=2.

14.　由题意得ξ的可能取值为0,1,2,

P(ξ=0)=,P(ξ=1)=,P(ξ=2)=,故E(ξ)=0×+1×+2×.

第二次取到1个白球1个黑球的概率为

P=.

15.解(1)由题意知,参加集训的男生、女生各有6名.

参赛学生全从B中学抽取(等价于A中学没有学生入选代表队)的概率为.

因此,A中学至少有1名学生入选代表队的概率为1-.

(2)根据题意,X的可能取值为1,2,3.

P(X=1)=,P(X=2)=,

P(X=3)=.

所以X的分布列为

E(X)=1×+2×+3×=2.

16.解(1)X的可能取值分别为3,2,1,0,

则P(X=3)=,P(X=2)=,P(X=1)=,P(X=0)=.

根据题意,X+Y=3,则

P(Y=0)=P(X=3)=,

P(Y=1)=P(X=2)=,

P(Y=2)=P(X=1)=,

P(Y=3)=P(X=0)=.

故X的分布列为

Y的分布列为

(2)E(X)=3×+2×+1×+0×.

因为X+Y=3,所以E(Y)=3-E(X)=.

17.解记E=“甲组研发新产品成功”,F=“乙组研发新产品成功”.

由题设知P(E)=,P()=,P(F)=,P()=,且事件E与F,E与与F,都相互独立.

(1)记H=“至少有一种新产品研发成功”,则,于是P()=P()P()=,故所求的概率为P(H)=1-P()=1-.

(2)设企业可获利润为X万元,则X的可能取值为0,100,120,220.

因为P(X=0)=P()=,

P(X=100)=P(F)=,

P(X=120)=P(E)=,

P(X=220)=P(EF)=,

故X的分布列为

均值E(X)=0×+100×+120×+220×=140.