高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第三册第七章 随机变量及其分布7.4 二项分布与超几何分布习题

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第七章7.4.2　超几何分布A级 必备知识基础练1.[探究点三](多选题)关于超几何分布,下列说法正确的是(　　)A.超几何分布的模型是不放回抽样B.超几何分布的总体里可以有两类或三类C.超几何分布的E(X)=npD.超几何分布的总体往往由差异明显的两部分组成2.[探究点一]在100张奖券中,有4张能中奖,从中任取2张,则2张都能中奖的概率是(　　)A. B. C. D.3.[探究点一]在10个排球中有6个正品,4个次品.从中抽取4个,则正品数比次品数少的概率为(　　)A. B. C. D.4.[探究点一]一个盒子里装有大小相同的10个黑球,12个红球,4个白球,从中任取2个,其中白球的个数记为X,则下列概率等于的是(　　)A.P(0<X≤2) B.P(X≤1)C.P(X=1) D.P(X=2)5.[探究点一]设袋中有8个红球,4个白球,若从袋中任取4个球,则其中至多3个红球的概率为(　　)A. B.C.1- D.1-6.[探究点一]10名同学中有a名女生,若从中抽取2个人作为学生代表,恰好抽取1名女生的概率为,则a=　　　　　. 7.[探究点二]从装有3个红球,2个白球的袋中随机取2个球,设其中有ξ个红球,则随机变量ξ的分布列为ξ012P　　　　 　　　　 　　　　 8.[探究点二]某大学志愿者协会有6名男同学,4名女同学.在这10名同学中,3名同学来自数学学院,其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院.现从这10名同学中随机选取3名同学,到希望小学进行支教活动(每位同学被选到的可能性相同).(1)求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率;(2)设X为选出的3名同学中女同学的人数,求随机变量X的分布列及期望.                     B级 关键能力提升练9.现有语文、数学课本共7本(其中语文课本不少于2本),从中任取2本,至多有1本语文课本的概率是,则语文课本共有(　　)A.2本 B.3本 C.4本 D.5本10.在某次学校的春游活动中,某班设计了这样一个游戏:一个纸箱里放了5个红球和5个白球,这些球除颜色外其余完全相同,若一次性从中摸出5个球,摸到4个或4个以上红球即中奖,则中奖的概率是(精确到0.001)(　　)A.0.114 B.0.112 C.0.103 D.0.12111.袋中装有5个红球和4个黑球,从袋中任取4个球,取到1个红球得3分,取到1个黑球得1分,设得分为随机变量X,则X≥8的概率P(X≥8)=　　　　　. 12.50张彩票中只有2张中奖票,今从中任取n张,为了使这n张彩票里至少有一张中奖的概率大于0.5,n至少为　　　　　. 13.甲、乙两人参加某种选拔测试,在备选的10道题中,甲答对其中每道题的概率都是,乙能答对其中的8道题,规定每次考试都从备选的10道题中随机抽出4道题进行测试,只有选中的4个题目均答对才能入选.(1)求甲恰有2个题目答对的概率;(2)求乙答对的题目数X的分布列;(3)试比较甲、乙两人平均答对的题目数的大小,并说明理由.            C级 学科素养创新练14.一款小游戏的规则如下:每轮游戏要进行三次,每次游戏都需要从装有大小相同的2个红球、3个白球的袋中随机摸出2个球,若摸出的“两个都是红球”出现3次获得200分,若摸出“两个都是红球”出现1次或2次获得20分,若摸出“两个都是红球”出现0次则扣除10分(即获得-10分).(1)设每轮游戏中出现“摸出两个都是红球”的次数为X,求X的分布列;(2)许多玩过这款游戏的人发现,若干轮游戏后,与最初的分数相比,分数没有增加反而减少了,请运用概率统计的相关知识分析解释上述现象.        参考答案7.4.2　超几何分布1.ACD　由超几何分布的定义易知A,C,D均正确,因为超几何分布的总体里只有差异明显的两类,故选项B错误.2.C　记X为抽出的2张中的中奖的券数,则P(X=2)=.3.A　正品数比次品数少,有两种情况:0个正品、4个次品或1个正品、3个次品,由超几何分布的概率可知,当0个正品、4个次品时,概率为.当1个正品、3个次品时,概率为.所以正品数比次品数少的概率为.4.B　本题相当于求至多取出1个白球的概率,即取到1个白球或没有取到白球的概率.5.D　从袋中任取4个球,其中红球的个数X服从参数为N=12,M=8,n=4的超几何分布,故至多3个红球的概率为P(X≤3)=1-P(X=4)=1-.6.2或8　根据题意,得,解得a=2或a=8.7.　P(ξ=0)=,P(ξ=1)=,P(ξ=2)=.8.解(1)设A=“选出的3名同学是来自互不相同的学院”,则P(A)=.所以选出的3名同学是来自互不相同的学院的概率为.(2)依据条件,随机变量X服从超几何分布,其中N=10,M=4,n=3,且随机变量X的可能值为0,1,2,3.P(X=k)=,k=0,1,2,3.所以随机变量X的分布列是X0123P所以随机变量X的期望为E(X)=0×+1×+2×+3×.9.C　设语文课本n(n≥2)本,则数学课本有7-n本,则2本都是语文课本的概率为,由组合数公式得n2-n-12=0,解得n=4(负值舍去).10.C　设摸出的红球个数为X,则X服从超几何分布,其中N=10,M=5,n=5,于是中奖的概率为P(X≥4)=P(X=4)+P(X=5)=≈0.103.11.　由题意知P(X≥8)=1-P(X=6)-P(X=4)=1-.12.15　用X表示中奖票数,P(X≥1)=>0.5,且n∈N*,n≤50,解得n≥15.13.解(1)∵甲在备选的10道题中,答对其中每道题的概率都是,∴选中的4个题目甲恰有2个题目答对的概率P=.(2)由题意知乙答对的题目数X的可能取值为2,3,4,则P(X=2)=,P(X=3)=,P(X=4)=,故X的分布列为X234P(3)乙平均答对的题目数E(X)=2×+3×+4×.∵甲答对题目数Y~B4,,∴甲平均答对的题目数E(Y)=4×.∵E(X)=E(Y),∴甲平均答对的题目数等于乙平均答对的题目数.14.解(1)每次游戏,出现“两个都是红球”的概率为P=.X可能的取值为0,1,2,3,则P(X=0)=,P(X=1)=,P(X=2)=,P(X=3)=,所以X的分布列为X0123P(2)设每轮游戏得分为Y.由(1)知,Y的分布列为X-1020200PE(Y)=-10×+20×+200×=-1.69.这表明,获得分数Y的均值为负.因此,多次游戏之后,与最初的分数相比,分数没有增加,反而减少了.