新教材2023_2024学年高中数学第7章随机变量及其分布综合训练新人教A版选择性必修第三册

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第七章综合训练(参考数据:若X~N(μ,σ2),则P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7;P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954 5;P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.997 3)一、选择题(本题共8小题,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.[2023浙江金东期中]已知随机变量ξ~B(16,0.5),若ξ=2η+3,则D(η)等于(　　)A.1 B.2C.4 D.62.已知离散型随机变量ξ的分布列如下表,则其均值E(ξ)等于(　　)ξ135P0.5m0.2A.1 B.0.6C.2+3m D.2.43.现在分别有A,B两个容器,在容器A里有7个红球和3个白球,在容器B里有1个红球和9个白球.现从这两个容器里任意抽出一个球,则在抽到的是红球的情况下,是来自容器A里面的球的概率是(　　)A.0.5 B.0.7C.0.875 D.0.354.[2023江西青原期末]若某校高二年级1 000名学生的某次考试成绩X服从正态分布N(90,152),则此次考试成绩在区间(105,120]上的学生大约有(　　)A.477人 B.136人C.341人 D.131人5.甲、乙两人进行羽毛球比赛,假设每局比赛甲胜的概率是,各局比赛是相互独立的,采用5局3胜制,则乙以3∶1战胜甲的概率为(　　)A. B.C. D.6.[2023广东龙华校级模拟]泊松分布是统计学里常见的离散型概率分布,由法国数学家泊松首次提出,泊松分布的概率分布列为P(X=k)=e-λ(k=0,1,2,…),其中e为自然对数的底数,λ是泊松分布的均值.已知某线路每个公交车站台的乘客候车相互独立,且每个站台候车人数X服从参数为λ(λ>0)的泊松分布,若该线路某站台的候车人数为2和3的概率相等,则该线路公交车两个站台各有1位乘客候车的概率为(　　)A. B.C. D.7.位于坐标原点的一个质点P按下述规则移动:质点每次移动一个单位;移动的方向为向上或向右,并且向上、向右移动的概率都是.质点P移动5次后位于点(2,3)的概率为(　　)A.B.C.D.8.某超市为庆祝开业举办酬宾抽奖活动,凡在开业当天进店的顾客,都能抽一次奖,每位进店的顾客得到一个不透明的盒子,盒子里装有红、黄、蓝三种颜色的小球共6个,其中红球2个,黄球3个,蓝球1个,除颜色外,小球的其他方面,诸如形状、大小、质地等完全相同,每个小球上均写有获奖内容,顾客先从自己得到的盒子里随机取出2个小球,然后再依据取出的2个小球上的获奖内容去兑奖.设X表示某顾客在一次抽奖时,从自己得到的那个盒子里取出的2个小球中红球的个数,则X的数学期望E(X)=(　　)A. B. C. D.二、选择题(本题共4小题,在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求)9.已知随机变量X服从正态分布N(2,σ2),且P(X≤4)=0.8,则(　　)A.P(X>4)=0.2B.P(X≥0)=0.6C.P(0≤X≤2)=0.3D.P(0≤X≤4)=0.410.[2023北京昌平期中]在一个袋中装有质地大小一样的6个黑球,4个白球,现从中任取4个小球.设取出的4个小球中白球的个数为X,则下列结论正确的是(　　)A.P(X=1)=B.随机变量X服从二项分布C.随机变量X服从超几何分布D.E(X)=11.下列说法正确的是(　　)A.已知随机变量X~B(n,p),若E(X)=30,D(X)=20,则p=B.将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后,方差恒不变C.设随机变量ξ~N(0,1),若P(ξ>1)=p,则P(-1≤ξ≤0)=-pD.某人在10次射击中,击中目标的次数为X,X~B(10,0.8),则当X=8时概率最大12.[2023江苏南京期中]“信息熵”是信息论中的一个重要概念,设随机变量X的所有可能取值为1,2,…,n,且P(X=i)=pi>0(i=1,2,…,n),pi=1,定义X的信息熵H(X)=-(pilog3pi),则下列说法正确的是(　　)A.当n=1时,H(X)=0B.当n=3且pi=(i=1,2,3)时,H(X)=1C.若pi=(i=1,2,…,n),则H(X)随着n的减小而减小D.当n=2时,H(X)随着p1的增大而减小三、填空题(本题共4小题)13.按照国家标准规定,500 g袋装奶粉每袋质量X必须服从正态分布N(500,σ2),经检测某种品牌的奶粉P(490≤X≤510)=0.95,一超市一个月内共卖出这种品牌的奶粉400袋,则卖出的奶粉质量在510 g以上的袋数大约为　　　　　. 14.若随机变量X~B(4,p),且E(X)=2,则D(2X-3)=　　　　　. 15.某企业将生产出的芯片依次进行智能检测和人工检测两道检测工序,经智能检测为次品的芯片会被自动淘汰,合格的芯片进入流水线并由工人进行人工检测.已知某批芯片智能检测显示合格率为90%,最终的检测结果的次品率为,则在智能检测结束并淘汰了次品的条件下,人工检测一枚芯片恰好为合格品的概率为　　　　　. 16.一个盒子里有1个红色、1个绿色、2个黄色,共四个球,每次拿一个,不放回,拿出红球即停,设拿出黄球的个数为ξ,则P(ξ=0)=　　　　　,E(ξ)=　　　　　. 四、解答题(本题共6小题,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.有三个同样的箱子,甲箱中有2个红球、6个白球,乙箱中有6个红球、4个白球,丙箱中有3个红球、5个白球.(1)随机从甲、乙、丙三个箱子中各取一球,求三球都为红球的概率;(2)从甲、乙、丙中随机取一箱,再从该箱中任取一球,求该球为红球的概率.     18.[2023山东潍坊月考]某校为缓解学生压力,举办了一场趣味运动会,其中有一个项目为篮球定点投篮,比赛分为初赛和复赛.初赛规则为:每人最多投3次,每次投篮的结果相互独立.在A处每投进一球得3分,在B处每投进一球得2分,否则得0分.将学生得分逐次累加并用X表示,如果X的值不低于3分就判定为通过初赛,立即停止投篮,否则应继续投篮,直到投完三次为止.现甲先在A处投一球,以后都在B处投,已知甲同学在A处投篮的命中率为,在B处投篮的命中率为,求他初赛结束后所得总分X的分布列.           19.某学习小组有6名同学,其中4名同学从来没有参加过数学研究性学习活动,2名同学曾经参加过数学研究性学习活动.(1)现从该小组中任选2名同学参加数学研究性学习活动,求恰好选到1名曾经参加过数学研究性学习活动的同学的概率;(2)若从该小组中任选2名同学参加数学研究性学习活动,活动结束后,该小组没有参加过数学研究性学习活动的同学人数ξ是一个随机变量,求随机变量ξ的分布列及均值.            20.甲、乙二人进行一次象棋比赛,每局胜者得1分,负者得0分(无平局),约定一方得4分时就获得本次比赛的胜利并且比赛结束.设在每局比赛中,甲获胜的概率为,乙获胜的概率为,各局比赛结果相互独立,已知前3局中,甲得1分,乙得2分.(1)求甲获得这次比赛胜利的概率;(2)设从第4局开始到比赛结束所进行的局数为X,求X的分布列及均值.           21.[2023陕西西安检测]设有3个投球手,其中一人命中率为q,剩下的两人水平相当且命中率均为p(p,q∈(0,1)),每位投球手均独立投球一次,记投球命中的总次数为随机变量ξ.(1)当p=q=时,求数学期望E(ξ)及方差D(ξ);(2)当p+q=1时,将ξ的数学期望E(ξ)用p表示.             22.一次大型考试后,某年级对某学科进行质量分析,随机抽取了40名学生的成绩,分组为[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100],得到如图所示的频率分布直方图.(1)从抽取的成绩在区间[50,60)内和区间[90,100]上的学生中,随机选择三名学生进行进一步调查分析,记X为这三名学生中成绩在区间[50,60)内的人数,求X的分布列及均值E(X).(2)①求该年级全体学生的平均成绩与标准差s的估计值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表);(精确到1)②如果该年级学生该学科的成绩服从正态分布N(μ,σ2),其中μ,σ分别近似为①中的,s,那么从该年级所有学生中随机选三名学生做分析,求这三名学生中恰有两名学生的成绩在区间[62,95]上的概率.(精确到0.01)附:≈5.385.    
参考答案第七章综合训练1.A　∵随机变量ξ~B(16,0.5),∴D(ξ)=16×0.5×0.5=4.∵ξ=2η+3,∴η=ξ-,∴D(η)=2D(ξ)=×4=1.2.D　依题意,0.5+m+0.2=1,解得m=0.3,故E(ξ)=1×0.5+3×0.3+5×0.2=2.4.故选D.3.C　设A=“抽到的是红球”,B=“抽到的是来自容器A里面的球”,则AB=“抽到的是来自容器A里面的红球”.由题意可知,P(AB)=,P(A)=,故P(B|A)==0.875.故选C.4.B　根据正态分布的对称性P(105<X≤120)=×[P(60<X≤120)-P(75<X≤105)]≈×(0.9545-0.6827)=0.1359,则1000×0.1359=135.9≈136,故此次考试成绩在区间(105,120]上的学生大约有136人.5.B　由题意知,前3局乙胜2局,第4局乙胜,故所求概率P=.故选B.6.D　由题可知P(X=2)=P(X=3),即,解得λ=3,故P(X=k)=e-3(k=0,1,2,…),P(X=1)=e-3=,故该线路两个站台各有1位乘客候车的概率P=2=.7.B　依题意,质点在移动过程中向右移动2次,向上移动3次,因此质点P移动5次后位于点(2,3)的概率P=.8.C　由题意可知,X的所有可能取值为0,1,2,则P(X=0)=,P(X=1)=,P(X=2)=,∴E(X)=0×+1×+2×.9.AC　∵P(X≤4)=0.8,∴P(X>4)=0.2.∵X~N(2,σ2),∴P(X<0)=P(X>4)=0.2.∴P(0≤X≤4)=P(X≤4)-P(X<0)=0.6,P(X≥0)=1-P(X<0)=0.8,∴P(0≤X≤2)=P(0≤X≤4)=0.3.10.ACD　由题意知随机变量X服从超几何分布,故B错误,C正确;X的可能取值分别为0,1,2,3,4,则P(X=0)=,P(X=1)=,P(X=2)=,P(X=3)=,P(X=4)=,∴E(X)=0×+1×+2×+3×+4×,故A,D正确.11.BCD　对于A,因为X~B(n,p),E(X)=30,D(X)=20,所以np=30,np(1-p)=20,所以p=,故A错误;易知B正确;对于C,因为ξ~N(0,1),P(ξ>1)=p,所以P(0≤ξ≤1)=-p,所以P(-1≤ξ≤0)=-p,故C正确;对于D,击中目标的次数为X,X~B(10,0.8),令0.8k0.210-k≥0.8k+10.29-k,且0.8k0.210-k≥·0.8k-10.211-k,解得≤k≤,又k∈Z,故k=8,故当X=8时概率最大,故D正确.12.ABC　若n=1,则p1=1,故H(X)=-p1log3p1=-1×log31=0,故A正确;当n=3且pi=(i=1,2,3)时,H(X)=-3××log3=1,故B正确;若pi=(i=1,2,…,n),则H(X)=-n··log3=log3n,由对数函数的单调性可知,H(X)随着n的减小而减小,故C正确;若n=2,则p1+p2=1,H(X)=-(p1log3p1+p2log3p2)=-[p1log3p1+(1-p1)log3(1-p1)],设f(p)=-[plog3p+(1-p)log3(1-p)],0<p<1,则f'(p)=-log3p+p·-log3(1-p)+(1-p)·=-log3,令f'(p)<0,解得<p<1,此时函数f(p)单调递减,令f'(p)>0,解得0<p<,此时函数f(p)单调递增,故D错误.13.10　因为X~N(500,σ2),且P(490≤X≤510)=0.95,所以P(X>510)==0.025,所以卖出的奶粉质量在510g以上袋数大约为400×0.025=10.14.4　由随机变量X~B(4,p),且E(X)=2,可得4p=2,解得p=,则D(X)=4×=1,故D(2X-3)=4D(X)=4.15.　设该批芯片中一枚芯片由智能检测合格为事件A,经智能检测合格的芯片进入流水线并由人工检测,一枚芯片恰好为合格品为事件B,则P(A)=,P(AB)=1-,则在智能检测结束并淘汰了次品的条件下,人工检测一枚芯片恰好为合格品的概率P(B|A)=.16.　1　依题意,ξ的取值可能为0,1,2,则P(ξ=0)=,P(ξ=1)=,P(ξ=2)=1-,故E(ξ)=0×+1×+2×=1.17.解 (1)根据题意,记事件A1:从甲箱中取一球为红球,事件A2:从乙箱中取一球为红球,事件A3:从丙箱中取一球为红球,记事件B:取得的三球都为红球,且事件A1,A2,A3相互独立,所以P(B)=P(A1)P(A2)P(A3)=,所以三球都为红球的概率为.(2)记事件C:该球为红球,事件D1:取甲箱,事件D2:取乙箱,事件D3:取丙箱.因为P(C|D1)=,P(C|D2)=,P(C|D3)=,所以P(C)=P(D1)P(C|D1)+P(D2)P(C|D2)+P(D3)P(C|D3)=,所以该球为红球的概率为.18.解设甲同学在A处投中为事件A,投不中为事件,在B处投中为事件B,投不中为事件,由已知得P(A)=,P(B)=,则P()=,P()=,X的可能取值为0,2,3,4,P(X=0)=,P(X=2)=,P(X=3)=,P(X=4)=,所以X的分布列为X0234P19.解(1)记“恰好选到1名曾经参加过数学研究性学习活动的同学”为事件A,则P(A)=.故恰好选到1名曾经参加过数学研究性学习活动的同学的概率为.(2)依题意,随机变量ξ的取值可能为2,3,4,则P(ξ=2)=,P(ξ=3)=,P(ξ=4)=.故随机变量ξ的分布列为ξ234PE(ξ)=2×+3×+4×.20.解(1)设“甲获得这次比赛胜利”为事件A,则P(A)=,故甲获得这次比赛胜利的概率为.(2)依题意,X的取值可能为2,3,4,则P(X=2)=,P(X=3)=,P(X=4)=×1=.故X的分布列为X234PE(X)=2×+3×+4×.21.解(1)∵每位投球手均独立投球一次,∴当p=q=时,ξ~B3,,∴E(ξ)=3×,D(ξ)=3××1-=.(2)ξ的可能取值为0,1,2,3.P(ξ=0)=(1-q)(1-p)2=pq2,P(ξ=1)=q(1-p)2+(1-q)p(1-p)=q3+2p2q,P(ξ=2)=qp(1-p)+(1-q)p2=2pq2+p3,P(ξ=3)=qp2.ξ的分布列为ξ0123Ppq2q3+2p2q2pq2+p3qp2E(ξ)=0×pq2+1×(q3+2p2q)+2×(2pq2+p3)+3×qp2=1+p.22.解(1)由频率分布直方图,可知40名学生中成绩在区间[50,60)内和区间[90,100]上的人数均为4.X的所有可能取值为0,1,2,3,则P(X=0)=,P(X=1)=,P(X=2)=,P(X=3)=.故X的分布列为X0123PE(X)=0×+1×+2×+3×=1.5.(2)①=55×0.1+65×0.3+75×0.4+85×0.1+95×0.1=73,s===2≈11.②由①,可知成绩在区间[62,95]上的概率约为×0.9545+×0.6827=0.8186,记“三名学生中恰有两名学生的成绩在区间[62,95]上”为事件A,则P(A)=×0.81862×(1-0.8186)≈0.36.