高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第三册7.3 离散型随机变量的数字特征课文配套ppt课件

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基础落实·必备知识全过关
重难探究·能力素养全提升
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知识点1　离散型随机变量的均值一般地,若离散型随机变量X的分布列如下表所示,
则称E(X)=　　　　　　　　　　=　　　　　为随机变量X的均值或数学期望,数学期望简称期望. 
x1p1+x2p2+…+xnpn
名师点睛均值E(X)刻画的是X取值的“中心位置”,这是随机变量X的一个重要特征,它反映或刻画的是随机变量取值的平均水平.
过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×) (1)随机变量X的均值E(X)是个变量,其随X的变化而变化.(　　)(2)随机变量的均值与样本的平均值相同.(　　)
2.已知X的分布列为
则X的均值为(　　)
知识点2　两点分布的均值一般地,如果随机变量X服从两点分布,那么E(X)=　　　 　　　=　　　　. 过关自诊1.已知离散型随机变量X的取值为-1和1,且P(X=1)=p,则该随机变量服从两点分布吗?该随机变量的均值是多少?
0×(1-p)+1×p
提示 不服从,因为两点分布的随机变量X只取0和1,否则不是两点分布.问题中的均值可以根据均值的定义得p-(1-p)=2p-1.
知识点3　离散型随机变量均值的性质一般地,下面的结论成立:E(aX+b)=　　　　　. 
过关自诊1.设X的分布列为
则E(2X+5)=(　　)
2.已知随机变量X的分布列如下.
则E(X)=　　　　　,E(2X-1)=　　　　　. 
探究点一　求离散型随机变量的均值
【例1】 [北师大版教材例题]一个袋子里装有除颜色外完全相同的3个红球和2个黄球,从中同时取出2个,则取出的红球个数的均值是多少?
规律方法　求离散型随机变量均值的步骤(1)确定离散型随机变量X的取值.(2)写出分布列,并检查分布列的正确与否.(3)根据公式求出均值.
变式训练1盒中装有5节同品牌的五号电池,其中混有两节废电池.现在无放回地每次取一节电池检验,直到取到好电池为止,求抽取次数X的分布列及均值.
探究点二　离散型随机变量的均值的性质
【例2】 已知随机变量X的分布列为
若Y=-2X,则E(Y)=　　　　　. 
变式探究 本例条件不变,若ξ=aX+3,且E(ξ)= ,求a的值.
规律方法　离散型随机变量均值的性质有关问题的解题思路若给出的随机变量Y与X的关系为Y=aX+b,a,b为常数,一般思路是先求出E(X),再利用公式E(aX+b)=aE(X)+b求E(Y).也可以利用X的分布列得到Y的分布列,关键是由X的取值计算Y的取值,对应的概率相等,再由定义法求得E(Y).
变式训练2已知随机变量ξ和η,其中η=12ξ+7,且E(η)=34,若ξ的分布列如下表,则m的值为(　　)
解析 因为η=12ξ+7,所以E(η)=12E(ξ)+7,
探究点三　均值的简单应用
【例3】 [2023贵州贵阳模拟]某学校组织“消防”知识竞赛,有A,B两类题目.每位参加比赛的同学先在两类题目中选择一类并从中随机抽取一道题回答,若回答错误则该同学比赛结束;若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答,无论回答正确与否,该同学比赛结束.A类问题中的每个问题回答正确得40分,否则得0分;B类问题中的每个问题回答正确得60分,否则得0分;已知小明能正确回答A类问题的概率为0.7,能正确回答B类问题的概率为0.5,且能正确回答问题的概率与回答次序无关.(1)若小明先回答A类问题,记X为小明的累计得分,求X的分布列;(2)为使累计得分的期望最大,小明应选择先回答哪类问题?并说明理由.
解 (1)根据题意可知X=0,40,100,又P(X=0)=1-0.7=0.3;P(X=40)=0.7×(1-0.5)=0.35;P(X=100)=0.7×0.5=0.35.∴X的分布列为
(2)由(1)可知,若小明先回答A类问题,则E(X)=0×0.3+40×0.35+100×0.35=49;若小明先回答B类问题,记Y为小明的累计得分,则Y=0,60,100,又P(Y=0)=1-0.5=0.5,P(Y=60)=0.5×(1-0.7)=0.15,P(Y=100)=0.5×0.7=0.35,则E(Y)=0×0.5+60×0.15+100×0.35=44.∵E(X)>E(Y),∴为使累计得分的期望最大,小明应选择先回答A类问题.
规律方法　解答应用类问题时,首先把问题概率模型化,然后利用有关概率的知识去分析相应各事件可能性的大小,并列出分布列,最后利用公式求出相应概率.
变式训练3随机抽取某厂的某种产品200件,经质检,其中有一等品126件、二等品50件、三等品20件、次品4件.已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元,而1件次品亏损2万元,设1件产品的利润为X(单位:万元).(1)求X的分布列;(2)求1件产品的平均利润(即X的均值);(3)经技术革新后,仍有四个等级的产品,但次品率降为1%,一等品率提高为70%.若此时要求1件产品的平均利润不小于4.73万元,则三等品率最多是多少?
(2)E(X)=6×0.63+2×0.25+1×0.1+(-2)×0.02=4.34.(3)设技术革新后的三等品率为x,则此时1件产品的平均利润为E(X)=6×0.7+2×(1-0.7-0.01-x)+1×x+(-2)×0.01=4.76-x(0≤x≤0.29),依题意,知E(X)≥4.73,即4.76-x≥4.73,解得x≤0.03,所以三等品率最多为3%.
1.知识清单:(1)离散型随机变量的均值;(2)两点分布的均值;(3)均值的简单应用.2.方法归纳:转化与化归.3.常见误区:(1)对于两点分布随机变量取值不明确;(2)不会应用均值对实际问题作出正确分析.
1.设随机变量X的分布列如表,且E(X)=1.6,则a-b等于(　　)
A.0.2B.0.1C.-0.2D.-0.4
解析 易知a,b∈[0,0.8],由0.1+a+b+0.1=1,得a+b=0.8.①又由E(X)=0×0.1+1×a+2×b+3×0.1=1.6,得a+2b=1.3,②由①②,解得a=0.3,b=0.5,则a-b=-0.2.
2.已知0