四川省宜宾市兴文第二中学2023-2024学年高一数学上学期10月月考试题（Word版附解析）

兴文二中2023年秋期高一第一学月考试

数学试题

本试卷共4页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.

第I卷 选择题（60分）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知全集，集合，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】先求得，由此求得.

【详解】，

，

.

故选：C

2. 下列命题中，真命题是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】利用指数函数与对数函数的性质逐一判断各选项即可.

【详解】因为指数函数在上恒成立，故A正确，C错误；

因为在上单调递增，故当时，，故B错误；

取，则，故D错误.

故选：A.

3. 若，则的值为（    ）

A. 0 B. 1 C. -1 D. 2

【答案】D

【解析】

【分析】根据题意，由集合相等定义分析、的值，进而计算可得答案．

【详解】根据题意，若，

则有或，

若，则，此时两个集合为和，符合题意；

若，则，此时两个集合为和，符合题意；

综合可得：.

故选：D.

【点睛】本题考查集合相等的定义，考查分类讨论思想的运用，属于基础题．

4. 下列结论正确的是（    ）

A. 若，则 B. 若，则

C. 若，则 D. 若，则

【答案】A

【解析】

【分析】AD选项，可以用不等式基本性质进行证明；BC选项，可以用举出反例.

【详解】，显然均大于等于0，两边平方得：，A正确；

当时，满足，但，B错误；

若，当时，则，C错误；

若，，则，D错误.

故选：A

5. 已知集合，集合且，则集合的子集个数为（    ）

A. 4 B. 8 C. 16 D. 32

【答案】B

【解析】

【分析】求出集合及子集可得答案.

【详解】由题意可得，故子集为，

共有8个.

故选：B.

6. “，”为真命题的充分必要条件是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】将不等式转化为，解得答案.

【详解】，，即，即.

故选：.

【点睛】本题考查了充要条件，真命题，意在考查学生的计算能力和推断能力.

7. 若不等式对任意正数恒成立，则实数的取值范围是（    ）

A.   B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】不等式对任意正数恒成立，则．

再由基本不等式求最值即可

【详解】∵不等式对任意正数恒成立，

∴．

∵，

当且仅当时取等号．

∴

故选：C

8. 若函数关于的不等式的解集为且则实数的取值范围是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】由题意得在上，函数的图象应在函数的图象的下方，分类讨论，利用数形结合的方法研究即可求解

【详解】 ，

由题意得在上，函数的图象应在函数的图象的下方．

①当时，显然不满足条件．

②当时，函数的图象是把函数的图象向左平移个单位得到的，

结合图象(右上方)可得不满足函数的图象在函数的图象下方．

③当时，如图所示：

在为减，在为增，

的图象由的图象向右平移的单位得到，

当时的图象在的图象下方，

发现只需当时成立即可满足条件，

即 ，

结合 化简得 故 ，

解得，故此时的范围为．

综上可得的范围为．

故选：A．

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9. 下列四个命题：其中不正确的命题为（    ）

A. {0}是空集 B. 若，则

C. 集合有两个元素 D. 集合是有限集

【答案】ABC

【解析】

【分析】根据元素与集合的关系逐一判断即可.

【详解】解：A. {0}中有元素0，不是空集，错误；

B. 若，则，错误；

C.，集合中只有一个元素，错误；

D.集合是有限集，正确.

故选：ABC.

10. 下列说法正确的是（    ）

A. 命题p：x，y(0，1)，x＋y＜2，则p：x0，y0 (0，1)，x0＋y0≥2

B. “a＞1，b＞1”是“ab＞1”成立的充分不必要条件

C. “|x|＞|y|”是“x＞y”的必要条件

D. “m＜0”是“关于x的方程x2－2x＋m=0有一正一负根”的充要条件

【答案】ABD

【解析】

【分析】由全称量词命题的否定为存在量词命题可以判断选项A，举反例可以判断BC，根据方程根的分布可以判断D.

【详解】选项A：命题p：x，y(0，1)，x＋y＜2，

否定为：x0，y0 (0，1)，x0＋y0≥2

故A选项正确；

选项B：由时，所以充分性成立，

当时，，但是，故必要性不成立

所以“a＞1，b＞1”是“ab＞1”成立的充分不必要条件

故B选项正确；

选项C：，但是，

所以|x|＞|y|不一定推出x＞y

反之，，但是，

所以x＞y不一定推出|x|＞|y

所以“|x|＞|y|”是“x＞y”的既不充分也不必要条件

故C错误；

选项D：关于x的方程x2－2x＋m=0有一正一负根

设为 ，则

所以“m＜0”是“关于x的方程x2－2x＋m=0有一正一负根”的充要条件

故选项D正确；

故选：ABD.

11. 已知，，且，下列结论中正确的是（    ）

A. 的最小值是 B. 的最小值是

C. 的最小值是9 D. 的最小值是

【答案】BC

【解析】

【分析】根据基本不等式即可逐一求解.

【详解】由，得，当且仅当时等号成立，故A错误，

由于，所以，当且仅当时等号成立，故B正确，

，，当且仅当时等号成立，故C正确，

，故D错误，

故选：BC

12. 已知关于的不等式的解集为，则下列说法正确的是（    ）

A.  B. 不等式的解集为

C.  D. 不等式的解集为

【答案】BD

【解析】

【分析】由一元二次不等式的解集得到一元二次方程的解，由韦达定理得到的关系式，且，从而判断A错误，解不等式得到BD正确，由得到C错误.

【详解】由题意得：的解为-2和3，且，

所以，解得：，

所以A错误，

，即，解得：，B正确；

，C错误；

变形为，不等式除以得：，

解得：，D正确.

故选：BD

第II卷 非选择题

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13. 如图，是全集，、是的子集，图中阴影部分可用集合的运算表示为________．

【答案】

【解析】

【分析】

在阴影部分区域任取一个元素，观察元素与集合、的关系，进而可得出阴影部分区域所表示的集合.

【详解】当在集合中的阴影部分区域内任取一个元素，则且，即；

当在集合中的阴影部分区域内任取一个元素，则且，即.

因此，图中阴影部分区域用集合的运算表示为.

故答案为：.

【点睛】本题考查利用韦恩图法表示集合，一般在集合中任取一个元素，观察该元素与各集合之间的关系，考查分析问题与解决问题的能力，属于基础题.

14. 函数取得最小值时的取值为__________．

【答案】

【解析】

【分析】将函数化为，根据“一正，二定，三相等”的原则即可得到答案.

【详解】，当且仅当时取“=”.

故答案为：.

15. 已知是的零点，且，则从小到大的顺序是________．

【答案】

【解析】

【分析】

利用二次函数的性质求解．

【详解】由题意设，图象是开口向下的抛物线，

则的图象与轴交于点，，

把的图象向下平移一个单位得的图象，的零点是，又，

∴，，∴

故答案为：．

【点睛】本题考查二次函数的解析式，二次函数的图象与性质，属于基础题．

16. 已知，，则的最小值_________.

【答案】20

【解析】

【分析】设，利用表示，利用得到，再变形得到，利用基本不等式求出最小值.

【详解】令，则，

去分母化简得：，所以，

所以，

当且仅当时，等号成立．

故答案为：20

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17. 已知集合中有三个元素：，，，集合中也有三个元素：0，1，．

（1）若，求实数的值；

（2）若，求实数的值．

【答案】（1）的值为0或   

（2）的值为

【解析】

【分析】（1）若，则或，再结合集合中元素的互异性，能求出的值．

（2）当取0，1，时，都有，集合中的元素都有互异性，由此能求出实数的值．

【小问1详解】

集合中有三个元素：，，，，

或，

解得或，

当时，，，，成立；

当时，，，，成立．

的值为0或．

【小问2详解】

集合中也有三个元素：0，1，，，

当取0，1，时，都有，

集合中的元素都有互异性，，，

．

实数的值为．

18. 在①；②““是“”的充分不必要条件；③这三个条件中任选一个，补充到本题第（2）问的横线处，求解下列问题.

问题：已知集合.

（1）当时，求；

（2）若_______，求实数a取值范围.

【答案】（1），   

（2）答案见解析

【解析】

【分析】（1）代入，然后根据交、并、补集进行计算.

（2）选①，可知，分，计算；选②可知，分，计算即可；选③，分，计算.

【小问1详解】

当时，集合，

所以；

【小问2详解】

若选择①，则，

当时，解得

当时，又，，

所以，解得，

所以实数a的取值范围是.

若选择②，““是“”的充分不必要条件，则，

当时，解得

当时，又，，

或解得，

所以实数a取值范围是.

若选择③，，

当时，解得

当又

则解得

所以实数a的取值范围是.

19.

（1）当时，求；

（2）若，求的取值范围.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）解一元二次不等式求出集合，解分式不等式求出集合，再求交集可得答案；

（2）求出，集合，分、、讨论，根据可得答案.

【小问1详解】

当时，，解得集合为，

对于集合：，解得集合为，

则；

【小问2详解】

，对于集合，

令，，

①，

；

②，

；

③，

，满足条件.

综上：取值范围为.

20. 已知命题：“，使方程有解”真命题.

（1）求实数的取值集合；

（2）设不等式的解集为集合，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围.

【答案】（1）；（2）

【解析】

【分析】（1）将问题转化为在有解，即可求解；

（2）分类讨论求解即可得到参数的取值范围.

【详解】（1）命题：“，使方程有解”是真命题.

即在有解，所以

即；

（2）不等式的解集为集合，若是的必要不充分条件，

当不合题意；

当时，，，，得；

当时，，，，得；

所以

【点睛】此题考查根据方程有解求参数的取值范围，根据充分条件和必要条件关系求解参数的取值范围，关键在于弄清充分条件和必要条件关系，利用分类讨论求解.

21. 销售甲种商品所得利润是万元，它与投入资金t万元的关系有经验公式；销售乙种商品所得利润是万元，它与投入资金t万元的关系有经验公式．其中，为常数．现将万元资金全部投入甲，乙两种商品的销售，若全部投入甲种商品，所得利润为万元；若全部投入乙种商品．所得利润为万元．若将万元资金中的x万元投入甲种商品的销售，余下的投入乙种商品的销售．则所得利润总和为y万元

（1）求利润总和y关于x的表达式：

（2）怎样将万元资金分配给甲、乙两种商品，才能使所得利润总和最大，并求最大值．

【答案】（1）；（2）对甲种商品投资2万元，对乙种商品投资1万元，才能使所得利润总和最大，最大值为万元．

【解析】

【分析】（1）由题意得，代入数值计算即可求出结果；

（2）转化成可以利用基本不等式的形式，最后利用基本不等式即可求出结果.

【详解】（1）因为对甲种商品投资x万元，所以对乙种商品投资为万元，

由题意知：，

当时，，当时，，

则解得，

则．

（2）由（1）可得

，当且仅当时取等号，

故对甲种商品投资2万元，对乙种商品投资1万元，才能使所得利润总和最大，最大值为万元．

22. 关于的不等式

（1）当求不等式的解集；

（2）解关于的不等式.

【答案】（1）或；   

（2）见解析.

【解析】

【分析】（1）将代入解不等式即可；

（2）分，，，，五种情况解不等式即可.

【小问1详解】

当时，不等式为，整理得，解得或，

所以不等式的解集为或.

【小问2详解】

不等式可整理为，

当时，，不等式的解集为；

当时，不等式的解集为或；

当时，不等式的解集为或；

当时，不等式的解集为或；

当时，不等式的解集为.