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浙江省嘉兴市当湖高级中学2023-2024学年高一数学上学期10月阶段性测试试题（Word版附解析）
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这是一份浙江省嘉兴市当湖高级中学2023-2024学年高一数学上学期10月阶段性测试试题（Word版附解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由集合并集的概念即可得解.
【详解】因为集合，，
所以.
故选：D.
2. 下列关系正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据集合与元素关系符号和集合与集合之间的关系符号得正确答案.
【详解】因为是无理数，所以，故A选项错误；
因为，故B选项错误；
因为是任何一个集合的子集，故C选项正确；
因为没有元素，有一个元素，故D选项错误；
故选：C.
3. 已知命题，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据含一个量词的命题的否定方法：修改量词，否定结论，直接得到.
【详解】因为，所以，
故选：C.
4. 下列四个函数中，在上为减函数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】A. 根据一次函数的性质判断. B.根据二次函数的选择判断.C. 根据反比例函数的性质判断.D. 根据分段函数的性质判断.
【详解】A. 根据一次函数性质知，在R上为增函数，故错误.
B.因为，在上是减函数，在上为增函数，故错误.
C. 因为，在上是增函数，在上为增函数，故错误.
D. 因为，在上是增函数，在上为减函数，故正确.
故选：D.
【点睛】本题主要考查函数单调性，还考查了转化，理解辨析的能力，属于基础题.
5. 若，则p是q成立的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】求出q中x范围，再根据充分性和必要性的概念得答案.
【详解】由得，即，x的系数化为正，
解不等式得或，所以或.
当时，成立，即充分性成立；
当时，不成立，即必要性不成立.
所以p是q的充分不必要条件.
故选：A.
6. 已知，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用换元法直接求解即可.
【详解】令，，则，，
所以，
所以的解析式为：
故选：B.
7. 已知，，且，则的最小值为（ ）
A. B. 3C. 8D. 9
【答案】D
【解析】
【分析】
利用””的代换结合基本不等式求解即可．
【详解】
当且仅当，即时取等号
则的最小值为
故选：D
8. 若函数满足对任意的实数，都有成立，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据对任意，都有成立可判断是上的减函数，通过各段上的单调性分析及区间端点函数值的比较，列出不等式组求解即可.
【详解】由题意可知：
对任意的实数，都有成立，
是上的减函数，
，解得，
实数的取值范围是.
故选：B.
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.
9. 、、、均为实数，且，，则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用不等式的基本性质以及特殊值法可判断各选项的正误.
【详解】因为、、、均为实数，且，，
由不等式的基本性质可得，，AC选项正确；
因为，则，故，D选项正确；
取，，，，则，B选项错误.
故选：ACD.
10. 下列不等式的解集为的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AB
【解析】
【分析】解各选项中的不等式，可得结果.
【详解】对于A选项，，原不等式的解集为，A满足；
对于B选项，由可得，原不等式的解集为，B满足；
对于C选项，不等式的解集为或，C不满足；
对于D选项，由可得，解得，
原不等式的解集为，D不满足.
故选：AB.
11. 对于，下列不等式中正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】选项A，取特值反例即可；选项BC，利用和的变形可证明；选项D作差比较法可证明.
【详解】选项A，当时，，，
此时，不成立，故A错误；
选项B， 由重要不等式，得，
当且仅当时等号成立，故B正确；
选项C，已知，由基本不等式，
两边平方可得，
当且仅当时等号成立，故C正确；
选项D，因为
，
所以，当且仅当时等号成立，故D正确．
故选：BCD.
12. 下列说法正确的是（ ）
A. 若对任意实数x都成立，则实数k的取值范围是
B. 若时，不等式恒成立，则实数a取值范围为
C. 若，，且，则的最小值为18
D. 已知函数，若，则实数a的值为或
【答案】CD
【解析】
【分析】对于选项A：根据具体函数定义域结合已知得出在上恒成立，即可根据含参一元二次不等式恒成立的解法分类讨论，解出答案，即可判断；
对于选项B：根据对钩函数的性质得出若时，，即可判断；
对于选项C：根据已知得出，即可根据基本不等式1的妙用得出，根据基本不等式得出答案，即可判断；
对于选项D：根据分段函数求函数值判断a的值为或是否满足题意.
【详解】对于选项A：若对任意实数x都成立，则在上恒成立，
当时，，满足题意，
当时，在上恒成立，则，解得，故A错误；
对于选项B：根据对钩函数的性质可得函数在上单调递增，
则当时，，
故当恒成立，则实数a取值范围为，故B错误；
对于实数C：，，且，则，
则，
当且仅当，即，时，等号成立，故C正确；
对于选项D：若，则，满足题意，
若，则，满足题意，故D正确；
故选：CD.
三、填空题
13. 函数的定义域为______________．
【答案】
【解析】
【分析】由被开方数为非负数即可求得定义域.
【详解】
即函数的定义域为.
故答案为：
14. 写出一个使“”成立的充分不必要条件______.
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】利用充分条件、,必要条件的定义求解作答.
【详解】设，
使“”成立的充分不必要条件只需要为集合的真子集，
可以是.
故答案为：（答案不唯一）.
15. 函数的值域为______.
【答案】
【解析】
【分析】采用分离常数法可求得函数值域.
【详解】，
因向右平移个单位可得，再向上平移2个单位可得，
所以为在上单调递减，
所以当时，，
的值域为.
故答案为：.
16. 记表示中三个数的最小值，若，则的最大值为______.
【答案】1
【解析】
【分析】根据题意作出函数的图象，进而求出函数的最大值.
【详解】由题意，当时，，当时，；
从而，作出函数的图象，
如图所示：
由图可知时，函数有最大值1.
故答案为：1.
四、解答题
17. 已知集合.
（1）求集合A；
（2）.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】先解不等式，再利用集合的基本运算求解即可.
【小问1详解】
，整理得，即，此不等式与同解，
解得.
故.
【小问2详解】
解得，得.
或，
所以.
18. 已知集合，，
（1）若，求实数m取值范围.
（2）若，求实数m的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先解不等式，再利用求m的范围.
（2）利用求m的范围.
【小问1详解】
，因式分解得，解得，
由得，所以，即，得，
故实数m的取值范围.
【小问2详解】
由，得,
当时，，解得;
当时，，即，无解.
综上所述，实数m的取值范围.
19. 已知，函数．
（1）当时，画出的图像，并写出的单调递增区间；
（2）当时，求在区间上的最小值．
【答案】（1）作图见解析，答案见解析
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）把代入，将函数分段表示出，画出函数图象，求出单调增区间作答.
（2）分类讨论，和，分段求出函数在区间上的最小值.
【小问1详解】
当时，，
作图：
所以的单调递增区间为：，；
【小问2详解】
当时，，
当时，在区间上的最小值为，
当时，在区间上的最小值为，
20. 已知，.
（1）用定义判断并证明函数在上的单调性；
（2）若，求实数的取值范围.
【答案】（1）增函数，证明见解析；（2）.
【解析】
【分析】
（1）在上为增函数，任取，，且，化简并判断与零的大小关系，得出结论；
（2）利用函数的定义域和单调性，列出不等式组，解出实数的取值范围．
【详解】（1）在上为增函数.
证明：任取，，且，
所以.
因为，
所以，
则，即，
所以函数在上为增函数.
（2）解：由（1）知，在上单调递增，又，
所以
解得
即，
所以的取值范围是.
【点睛】方法点睛：本题考查定义法判断函数的单调性，考查利用函数的单调性解不等式，考查学生计算能力，定义法证明单调性的步骤：
1.取值，在定义域或者给定区间上任意取任取，不妨设；
2.作差，变形，对化简，通过因式分解或者配方法等，判断出差值的符号；
3.定号，确定差值的符号，当符号不确定时，可以分类讨论；
4.判断，根据定义得出结论．
21. 上海世博会某国要建一座八边形的展馆区，它的主体造型的平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为200m2的十字型地域，计划在正方形MNPQ上建一座“观景花坛”，造价为4200元/ m2，在四个相同的矩形上（图中阴影部分）铺花岗岩地坪，造价为210元/ m2，再在四个空角（如等）上铺草坪，造价为80元/ m2.设AD长为x m，DQ长为y m.
（1）写出与满足的等量关系式；
（2）设总造价为元，求当为何值时，最小？并求出这个最小值.
【答案】（1）
（2）时，最小，最小为元
【解析】
【分析】（1）由已知，十字形区域面积为矩形面积的四倍与正方形面积之和，可得答案；
（2）由（1）得，，即可建立与的函数关系，再利用均值不等式计算得到最值.
【小问1详解】
由已知，十字形区域面积为矩形面积的四倍与正方形面积之和，
得出与满足的等量关系式为：；
【小问2详解】
由（1）得
；
，
当且仅当，即时，上式等号成立.
所以当时，最小，最小值为元.
22. 若存在常数，使得函数与在给定区间上的任意实数都有，，则称是与的分隔直线函数．当时，被称为双飞燕函数，被称为海鸥函数．
（1）当时，取．求的解集；
（2）判断：当时，与是否存在着分隔直线函数．若存在，请求出分隔直线函数解析式；若没有，请说明理由．
【答案】（1）答案见解析
（2）存在分隔直线函数，解析式为，理由见解析
【解析】
【分析】（1）将不等式转化为，对n分类讨论解不等式；
（2）对m，n分类讨论找出介于两个函数值之间函数解析式.
【小问1详解】
，时，，
可化为，即，
当，即时，不等式的解集为；
当，即时，不等式的解集为或；
当，即时，不等式的解集为或.
【小问2详解】
若，，当时，恒成立，
恒成立，则是与的分隔直线函数；
若，，当时，恒成立，
恒成立，则是与的分隔直线函数；
1. 集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由集合并集的概念即可得解.
【详解】因为集合，，
所以.
故选：D.
2. 下列关系正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据集合与元素关系符号和集合与集合之间的关系符号得正确答案.
【详解】因为是无理数，所以，故A选项错误；
因为，故B选项错误；
因为是任何一个集合的子集，故C选项正确；
因为没有元素，有一个元素，故D选项错误；
故选：C.
3. 已知命题，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据含一个量词的命题的否定方法：修改量词，否定结论，直接得到.
【详解】因为，所以，
故选：C.
4. 下列四个函数中，在上为减函数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】A. 根据一次函数的性质判断. B.根据二次函数的选择判断.C. 根据反比例函数的性质判断.D. 根据分段函数的性质判断.
【详解】A. 根据一次函数性质知，在R上为增函数，故错误.
B.因为，在上是减函数，在上为增函数，故错误.
C. 因为，在上是增函数，在上为增函数，故错误.
D. 因为，在上是增函数，在上为减函数，故正确.
故选：D.
【点睛】本题主要考查函数单调性，还考查了转化，理解辨析的能力，属于基础题.
5. 若，则p是q成立的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】求出q中x范围，再根据充分性和必要性的概念得答案.
【详解】由得，即，x的系数化为正，
解不等式得或，所以或.
当时，成立，即充分性成立；
当时，不成立，即必要性不成立.
所以p是q的充分不必要条件.
故选：A.
6. 已知，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用换元法直接求解即可.
【详解】令，，则，，
所以，
所以的解析式为：
故选：B.
7. 已知，，且，则的最小值为（ ）
A. B. 3C. 8D. 9
【答案】D
【解析】
【分析】
利用””的代换结合基本不等式求解即可．
【详解】
当且仅当，即时取等号
则的最小值为
故选：D
8. 若函数满足对任意的实数，都有成立，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据对任意，都有成立可判断是上的减函数，通过各段上的单调性分析及区间端点函数值的比较，列出不等式组求解即可.
【详解】由题意可知：
对任意的实数，都有成立，
是上的减函数，
，解得，
实数的取值范围是.
故选：B.
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.
9. 、、、均为实数，且，，则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用不等式的基本性质以及特殊值法可判断各选项的正误.
【详解】因为、、、均为实数，且，，
由不等式的基本性质可得，，AC选项正确；
因为，则，故，D选项正确；
取，，，，则，B选项错误.
故选：ACD.
10. 下列不等式的解集为的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AB
【解析】
【分析】解各选项中的不等式，可得结果.
【详解】对于A选项，，原不等式的解集为，A满足；
对于B选项，由可得，原不等式的解集为，B满足；
对于C选项，不等式的解集为或，C不满足；
对于D选项，由可得，解得，
原不等式的解集为，D不满足.
故选：AB.
11. 对于，下列不等式中正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】选项A，取特值反例即可；选项BC，利用和的变形可证明；选项D作差比较法可证明.
【详解】选项A，当时，，，
此时，不成立，故A错误；
选项B， 由重要不等式，得，
当且仅当时等号成立，故B正确；
选项C，已知，由基本不等式，
两边平方可得，
当且仅当时等号成立，故C正确；
选项D，因为
，
所以，当且仅当时等号成立，故D正确．
故选：BCD.
12. 下列说法正确的是（ ）
A. 若对任意实数x都成立，则实数k的取值范围是
B. 若时，不等式恒成立，则实数a取值范围为
C. 若，，且，则的最小值为18
D. 已知函数，若，则实数a的值为或
【答案】CD
【解析】
【分析】对于选项A：根据具体函数定义域结合已知得出在上恒成立，即可根据含参一元二次不等式恒成立的解法分类讨论，解出答案，即可判断；
对于选项B：根据对钩函数的性质得出若时，，即可判断；
对于选项C：根据已知得出，即可根据基本不等式1的妙用得出，根据基本不等式得出答案，即可判断；
对于选项D：根据分段函数求函数值判断a的值为或是否满足题意.
【详解】对于选项A：若对任意实数x都成立，则在上恒成立，
当时，，满足题意，
当时，在上恒成立，则，解得，故A错误；
对于选项B：根据对钩函数的性质可得函数在上单调递增，
则当时，，
故当恒成立，则实数a取值范围为，故B错误；
对于实数C：，，且，则，
则，
当且仅当，即，时，等号成立，故C正确；
对于选项D：若，则，满足题意，
若，则，满足题意，故D正确；
故选：CD.
三、填空题
13. 函数的定义域为______________．
【答案】
【解析】
【分析】由被开方数为非负数即可求得定义域.
【详解】
即函数的定义域为.
故答案为：
14. 写出一个使“”成立的充分不必要条件______.
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】利用充分条件、,必要条件的定义求解作答.
【详解】设，
使“”成立的充分不必要条件只需要为集合的真子集，
可以是.
故答案为：（答案不唯一）.
15. 函数的值域为______.
【答案】
【解析】
【分析】采用分离常数法可求得函数值域.
【详解】，
因向右平移个单位可得，再向上平移2个单位可得，
所以为在上单调递减，
所以当时，，
的值域为.
故答案为：.
16. 记表示中三个数的最小值，若，则的最大值为______.
【答案】1
【解析】
【分析】根据题意作出函数的图象，进而求出函数的最大值.
【详解】由题意，当时，，当时，；
从而，作出函数的图象，
如图所示：
由图可知时，函数有最大值1.
故答案为：1.
四、解答题
17. 已知集合.
（1）求集合A；
（2）.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】先解不等式，再利用集合的基本运算求解即可.
【小问1详解】
，整理得，即，此不等式与同解，
解得.
故.
【小问2详解】
解得，得.
或，
所以.
18. 已知集合，，
（1）若，求实数m取值范围.
（2）若，求实数m的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先解不等式，再利用求m的范围.
（2）利用求m的范围.
【小问1详解】
，因式分解得，解得，
由得，所以，即，得，
故实数m的取值范围.
【小问2详解】
由，得,
当时，，解得;
当时，，即，无解.
综上所述，实数m的取值范围.
19. 已知，函数．
（1）当时，画出的图像，并写出的单调递增区间；
（2）当时，求在区间上的最小值．
【答案】（1）作图见解析，答案见解析
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）把代入，将函数分段表示出，画出函数图象，求出单调增区间作答.
（2）分类讨论，和，分段求出函数在区间上的最小值.
【小问1详解】
当时，，
作图：
所以的单调递增区间为：，；
【小问2详解】
当时，，
当时，在区间上的最小值为，
当时，在区间上的最小值为，
20. 已知，.
（1）用定义判断并证明函数在上的单调性；
（2）若，求实数的取值范围.
【答案】（1）增函数，证明见解析；（2）.
【解析】
【分析】
（1）在上为增函数，任取，，且，化简并判断与零的大小关系，得出结论；
（2）利用函数的定义域和单调性，列出不等式组，解出实数的取值范围．
【详解】（1）在上为增函数.
证明：任取，，且，
所以.
因为，
所以，
则，即，
所以函数在上为增函数.
（2）解：由（1）知，在上单调递增，又，
所以
解得
即，
所以的取值范围是.
【点睛】方法点睛：本题考查定义法判断函数的单调性，考查利用函数的单调性解不等式，考查学生计算能力，定义法证明单调性的步骤：
1.取值，在定义域或者给定区间上任意取任取，不妨设；
2.作差，变形，对化简，通过因式分解或者配方法等，判断出差值的符号；
3.定号，确定差值的符号，当符号不确定时，可以分类讨论；
4.判断，根据定义得出结论．
21. 上海世博会某国要建一座八边形的展馆区，它的主体造型的平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为200m2的十字型地域，计划在正方形MNPQ上建一座“观景花坛”，造价为4200元/ m2，在四个相同的矩形上（图中阴影部分）铺花岗岩地坪，造价为210元/ m2，再在四个空角（如等）上铺草坪，造价为80元/ m2.设AD长为x m，DQ长为y m.
（1）写出与满足的等量关系式；
（2）设总造价为元，求当为何值时，最小？并求出这个最小值.
【答案】（1）
（2）时，最小，最小为元
【解析】
【分析】（1）由已知，十字形区域面积为矩形面积的四倍与正方形面积之和，可得答案；
（2）由（1）得，，即可建立与的函数关系，再利用均值不等式计算得到最值.
【小问1详解】
由已知，十字形区域面积为矩形面积的四倍与正方形面积之和，
得出与满足的等量关系式为：；
【小问2详解】
由（1）得
；
，
当且仅当，即时，上式等号成立.
所以当时，最小，最小值为元.
22. 若存在常数，使得函数与在给定区间上的任意实数都有，，则称是与的分隔直线函数．当时，被称为双飞燕函数，被称为海鸥函数．
（1）当时，取．求的解集；
（2）判断：当时，与是否存在着分隔直线函数．若存在，请求出分隔直线函数解析式；若没有，请说明理由．
【答案】（1）答案见解析
（2）存在分隔直线函数，解析式为，理由见解析
【解析】
【分析】（1）将不等式转化为，对n分类讨论解不等式；
（2）对m，n分类讨论找出介于两个函数值之间函数解析式.
【小问1详解】
，时，，
可化为，即，
当，即时，不等式的解集为；
当，即时，不等式的解集为或；
当，即时，不等式的解集为或.
【小问2详解】
若，，当时，恒成立，
恒成立，则是与的分隔直线函数；
若，，当时，恒成立，
恒成立，则是与的分隔直线函数；
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