(2019)高中数学必修第二册第六章6.2.4《向量的数量积》学案-人教A版

这是一份(2019)高中数学必修第二册第六章6.2.4《向量的数量积》学案-人教A版，共14页。

6.2.4　向量的数量积知识点一　　　向量的夹角知识点二　　　向量数量积的概念知识点三　　　投影向量如图1，设a，b是两个非零向量，eq \o(AB,\s\up16(→))＝a，eq \o(CD,\s\up16(→))＝b，我们考虑如下的变换：过eq \o(AB,\s\up16(→))的起点A和终点B，分别作eq \o(CD,\s\up16(→))所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到eq \o(A1B1,\s\up16(→))，我们称上述变换为向量a向向量beq \o(□,\s\up4(01))投影，eq \o(A1B1,\s\up16(→))叫做向量a在向量b上的eq \o(□,\s\up4(02))投影向量．如图2，我们可以在平面内任取一点O，作eq \o(OM,\s\up16(→))＝a，eq \o(ON,\s\up16(→))＝b.过点M作直线ON的垂线，垂足为M1，则eq \o(OM1,\s\up16(→))就是向量a在向量b上的投影向量．知识点四　　　向量的数量积的性质和运算律(1)向量的数量积的性质设a，b是非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，则①a·e＝e·a＝eq \o(□,\s\up4(01))|a|cosθ.②a⊥b⇔eq \o(□,\s\up4(02))a·b＝0.③当a与b同向时，a·b＝eq \o(□,\s\up4(03))|a||b|.当a与b反向时，a·b＝eq \o(□,\s\up4(04))－|a||b|.④a·a＝eq \o(□,\s\up4(05))|a|2或|a|＝eq \r(a·a)＝eq \r(a2).⑤cosθ＝eq \o(□,\s\up4(06))eq \f(a·b,|a||b|).⑥|a·b|eq \o(□,\s\up4(07))≤|a||b|.(2)向量数量积的运算律①eq \o(□,\s\up4(08))a·b＝b·a(交换律)．②(λa)·b＝eq \o(□,\s\up4(09))λ(a·b)＝eq \o(□,\s\up4(10))a·(λb)(结合律)．③eq \o(□,\s\up4(11))(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)．1．对数量积的理解(1)求a，b的数量积需知道三个量，即|a|，|b|及a，b的夹角，这三个量有时并不是直接给出来的，需根据题意去巧妙求解．(2)两个向量的数量积是两个向量之间的运算，其结果不再是向量，而是数量，它的符号由夹角确定，当夹角为锐角或0时，符号为正；当夹角为钝角或π时，符号为负；当夹角为直角时，其值为零．向量的投影是一个数量，不是向量，其值可为正，可为负，也可为零．(3)两个向量a，b的数量积与代数中两个数a，b的乘积ab是两码事，但表面看来又有点相似，因此要注意两个向量a，b的数量积是记作a·b，中间的实心小圆点不能省略，也不能把实心小圆点用乘号“×”代替，写成a×b.2．要灵活掌握向量数量积的性质(1)a⊥b⇔a·b＝0，既可以用来证明两向量垂直，也可以由垂直进行有关计算．(2)a·a＝a2＝|a|2与|a|＝eq \r(|a|2)＝eq \r(a2)也用来求向量的模，以实现实数运算与向量运算的相互转化．(3)用cosθ＝eq \f(a·b,|a||b|)求两向量的夹角，且夹角的取值与a·b的符号有关．设两个非零向量a与b的夹角为θ，则当θ＝0时，cosθ＝1，a·b＝|a||b|；当θ为锐角时，cosθ>0，a·b>0；当θ为钝角时，cosθ<0，a·b<0；当θ为直角时，cosθ＝0，a·b＝0；当θ＝π时，cosθ＝－1，a·b＝－|a||b|.(4)|a·b|≤|a||b|可以用来通过构造向量来证明不等式问题或解决最值问题．(5)①向量的数量积不满足消去律：若a，b，c均为非零向量，且a·c＝b·c，但得不到a＝b.②(a·b)c≠a(b·c)．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若a·b＝a·c且a≠0，则b＝c.(　　)(2)若a·b＝0，则a＝0或b＝0.(　　)(3)若a⊥b，则a·b＝0.(　　)(4)向量a在b上的投影向量是一个模等于|acosθ|(θ是a与b的夹角)，方向与b相同或相反的一个向量．(　　)答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√2．做一做(1)若向量a，b的夹角为30°，则向量－a，－b的夹角为(　　)A．60° B．30° C．120° D．150°(2)已知向量a和向量b的夹角为30°，|a|＝2，|b|＝eq \r(3)，则向量a和向量b的数量积a·b＝________.(3)已知向量a，b满足|b|＝2，a与b的夹角为60°，设b在a上的投影向量是c，则|c|＝________.(4)若向量a，b的夹角为120°，|a|＝1，|b|＝3，则|5a－b|＝________.答案　(1)B　(2)3　(3)1　(4)7题型一 平面向量数量积的概念例1　(1)已知a，b，c是三个非零向量，则下列命题中真命题的个数是(　　)①|a·b|＝|a||b|⇔a∥b；②a，b反向⇔a·b＝－|a||b|；③a⊥b⇔|a＋b|＝|a－b|；④|a|＝|b|⇔|a·c|＝|b·c|.A．1 B．2 C．3 D．4(2)已知|a|＝5，|b|＝2，若：①a∥b；②a⊥b；③a与b的夹角为30°.分别求a·b.[解析]　(1)①∵a·b＝|a||b|cosθ，∴由|a·b|＝|a||b|及a，b均为非零向量可得|cosθ|＝1，∴θ＝0或θ＝π，∴a∥b，且以上各步均可逆，故命题①是真命题；②若a，b反向，则a，b的夹角为π，∴a·b＝|a||b|cosπ＝－|a||b|，且以上各步均可逆，故命题②是真命题；③当a⊥b时，将向量a，b的起点确定在同一点，则以向量a，b为邻边作平行四边形，则该平行四边形一定为矩形，于是它的两对角线的长度相等，即有|a＋b|＝|a－b|.反过来，若|a＋b|＝|a－b|，则以a，b为邻边的平行四边形为矩形，∴a⊥b，因此命题③也是真命题；④当|a|＝|b|但是a与c的夹角和b与c的夹角不等时，就有|a·c|≠|b·c|.反过来，由|a·c|＝|b·c|也推不出|a|＝|b|，故命题④是假命题．故选C.(2)①当a∥b时，若a与b同向，则它们的夹角为0°，∴a·b＝|a||b|cos0°＝5×2×1＝10；若a与b反向，则它们的夹角为180°，∴a·b＝|a||b|cos180°＝5×2×(－1)＝－10.②当a⊥b时，则它们的夹角为90°，∴a·b＝|a||b|cos90°＝5×2×0＝0.③当a与b的夹角为30°时，a·b＝|a||b|cos30°＝5×2×eq \f(\r(3),2)＝5eq \r(3).[答案]　(1)C　(2)见解析(1)求平面向量的数量积的一般步骤(2)a与b垂直当且仅当a·b＝0.(3)非零向量a与b共线当且仅当a·b＝±|a||b|.(1)已知下列命题：①若a2＋b2＝0，则a＝b＝0；②已知a，b，c是三个非零向量，若a＋b＝0，则|a·c|＝|b·c|；③|a||b|0，则a与b的夹角为锐角．其中判断正确的是________．(2)给出下列命题：①在△ABC中，若eq \o(AB,\s\up16(→))·eq \o(BC,\s\up16(→))<0，则△ABC是锐角三角形；②在△ABC中，若eq \o(AB,\s\up16(→))·eq \o(BC,\s\up16(→))>0，则△ABC是钝角三角形；③△ABC是直角三角形⇔eq \o(AB,\s\up16(→))·eq \o(BC,\s\up16(→))＝0.其中，正确命题的序号是________．答案　(1)①②　(2)②解析　(1)对于①，∵a2＋b2＝0，∴|a|2＋|b|2＝0，∴|a|＝|b|＝0，∴a＝b＝0，故①正确；对于②，∵a＋b＝0，∴a与b互为相反向量，设a与c的夹角为θ，则b与c的夹角为π－θ，则a·c＝|a||c|cosθ，b·c＝|b||c|cos(π－θ)＝－|b||c|cosθ，∴|a·c|＝|b·c|，故②正确；对于③，由于|a·b|＝|a||b||cosθ|≤|a||b|，故③错误；对于④，由于a·a·a＝|a|2a，其结果为向量，故④错误；对于⑤，当a与b为同向的非零向量时，a·b＝|a||b|cos0＝|a||b|>0，但夹角不是锐角，故⑤错误．(2)利用向量数量积的符号，可以判断向量的夹角是锐角、直角，还是钝角．①∵eq \o(AB,\s\up16(→))·eq \o(BC,\s\up16(→))<0，∴eq \o(BA,\s\up16(→))·eq \o(BC,\s\up16(→))＝－eq \o(AB,\s\up16(→))·eq \o(BC,\s\up16(→))>0，∴∠B是锐角，但并不能断定其余的两个角也是锐角．所以推不出△ABC是锐角三角形．故命题①是假命题．②∵eq \o(AB,\s\up16(→))·eq \o(BC,\s\up16(→))>0，∴eq \o(BA,\s\up16(→))·eq \o(BC,\s\up16(→))＝－eq \o(AB,\s\up16(→))·eq \o(BC,\s\up16(→))<0，∠B是钝角，因而△ABC是钝角三角形．故命题②是真命题．③若△ABC是直角三角形，则直角可以是∠A，也可以是∠B，∠C. 而eq \o(AB,\s\up16(→))·eq \o(BC,\s\up16(→))＝0仅能保证∠B是直角．故命题③是假命题.题型二 投影向量例2　如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC＝2，∠ABC＝30°，D为BC的中点．(1)求eq \o(BA,\s\up16(→))在eq \o(CD,\s\up16(→))上的投影向量；(2)求eq \o(CD,\s\up16(→))在eq \o(BA,\s\up16(→))上的投影向量．[解]　(1)如图，连接AD.∵D为BC的中点，AB＝AC，∴AD⊥BC.设与eq \o(CD,\s\up16(→))同方向的单位向量为e.又BD＝DC＝eq \r(3)，且eq \o(BA,\s\up16(→))与eq \o(CD,\s\up16(→))的夹角为150°，∴eq \o(BA,\s\up16(→))在eq \o(CD,\s\up16(→))上的投影向量为|eq \o(BA,\s\up16(→))|cos150°e＝－eq \r(3)e＝－eq \r(3)eq \f(\o(CD,\s\up16(→)),|\o(CD,\s\up16(→))|)＝－eq \o(CD,\s\up16(→))＝eq \o(BD,\s\up16(→)).(2)如图，延长CB至点M，使BM＝CD，过点M作AB延长线的垂线MN，并交AB的延长线于点N.易知eq \o(BM,\s\up16(→))＝eq \o(CD,\s\up16(→))，BN＝eq \f(3,2).eq \o(CD,\s\up16(→))在eq \o(BA,\s\up16(→))上的投影向量即为eq \o(BM,\s\up16(→))在eq \o(BA,\s\up16(→))上的投影向量．又MN⊥BN，BN＝eq \f(3,2)，eq \o(BM,\s\up16(→))与eq \o(BA,\s\up16(→))的夹角为150°，故eq \o(BM,\s\up16(→))在eq \o(BA,\s\up16(→))上的投影向量为eq \o(BN,\s\up16(→))＝－eq \f(3,4)eq \o(BA,\s\up16(→))，即eq \o(CD,\s\up16(→))在eq \o(BA,\s\up16(→))上的投影向量为－eq \f(3,4)eq \o(BA,\s\up16(→)).求一个向量在另一个向量上的投影向量时，关键是作出恰当的垂线，根据题意确定向量的模及两向量的夹角．在△ABC中，已知|eq \o(AB,\s\up16(→))|＝|eq \o(AC,\s\up16(→))|＝6，且eq \o(AB,\s\up16(→))·eq \o(AC,\s\up16(→))＝18，则eq \o(BA,\s\up16(→))在eq \o(BC,\s\up16(→))上的投影向量为________(用eq \o(BC,\s\up16(→))表示)．答案　eq \f(1,2)eq \o(BC,\s\up16(→))解析　设∠A＝θ，∵eq \o(AB,\s\up16(→))·eq \o(AC,\s\up16(→))＝|eq \o(AB,\s\up16(→))||eq \o(AC,\s\up16(→))|cosθ＝18，∴cosθ＝eq \f(1,2)，∴θ＝60°.又∵|eq \o(AB,\s\up16(→))|＝|eq \o(AC,\s\up16(→))|，∴△ABC为等边三角形．过点A作AD⊥BC交BC于点D.则BD＝DC.故eq \o(BA,\s\up16(→))在eq \o(BC,\s\up16(→))上的投影向量为eq \o(BD,\s\up16(→))，即为eq \f(1,2)eq \o(BC,\s\up16(→)).　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　题型三 平面向量数量积的运算例3　(1)已知|a|＝4，|b|＝5，且向量a与b的夹角为60°，求(2a＋3b)·(3a－2b)；(2)在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，求eq \o(AB,\s\up16(→))·eq \o(AC,\s\up16(→)).[解]　(1)(2a＋3b)·(3a－2b)＝6a2－4a·b＋9a·b－6b2＝6×42＋5×4×5×cos60°－6×52＝－4.(2)eq \o(AB,\s\up16(→))·eq \o(AC,\s\up16(→))＝|eq \o(AB,\s\up16(→))||eq \o(AC,\s\up16(→))|cos∠BAC＝5×4×eq \f(4,5)＝16.[综合探究]　将本例改为：(1)已知|a|＝4，|b|＝5，且向量a，b的夹角为30°，求(2a＋3b)·(3a－2b)；(2)在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，求eq \o(AB,\s\up16(→))·eq \o(BC,\s\up16(→)).解　(1)(2a＋3b)·(3a－2b)＝6a2＋5a·b－6b2＝6×42＋5×5×4×cos30°－6×52＝50eq \r(3)－54.(2)在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，故BC＝3，且cos∠ABC＝eq \f(3,5)，eq \o(AB,\s\up16(→))与eq \o(BC,\s\up16(→))的夹角θ＝180°－∠ABC，故eq \o(AB,\s\up16(→))·eq \o(BC,\s\up16(→))＝－|eq \o(AB,\s\up16(→))||eq \o(BC,\s\up16(→))|cos∠ABC＝－5×3×eq \f(3,5)＝－9.　向量数量积的求法(1)求两个向量的数量积，首先确定两个向量的模及两个向量的夹角，其中准确求出两个向量的夹角是求数量积的关键．(2)根据数量积的运算律，向量的加、减与数量积的混合运算类似于多项式的乘法运算．如图，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点，eq \o(BA,\s\up16(→))·eq \o(CA,\s\up16(→))＝4，eq \o(BF,\s\up16(→))·eq \o(CF,\s\up16(→))＝－1，则eq \o(BE,\s\up16(→))·eq \o(CE,\s\up16(→))的值是________．答案　eq \f(7,8)解析　解法一：设eq \o(BD,\s\up16(→))＝a，eq \o(DF,\s\up16(→))＝b，则eq \o(BA,\s\up16(→))·eq \o(CA,\s\up16(→))＝(a＋3b)·(－a＋3b)＝9|b|2－|a|2＝4，eq \o(BF,\s\up16(→))·eq \o(CF,\s\up16(→))＝(a＋b)·(－a＋b)＝|b|2－|a|2＝－1，解得|a|2＝eq \f(13,8)，|b|2＝eq \f(5,8)，则eq \o(BE,\s\up16(→))·eq \o(CE,\s\up16(→))＝(a＋2b)·(－a＋2b)＝4|b|2－|a|2＝eq \f(7,8).解法二：设eq \o(AB,\s\up16(→))＝a，eq \o(AC,\s\up16(→))＝b，根据题意有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\o(BA,\s\up16(→))·\o(CA,\s\up16(→))＝a·b＝4，,\o(BF,\s\up16(→))·\o(CF,\s\up16(→))＝\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)b－\f(2,3)a))·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)a－\f(2,3)b))＝－1，,\o(BE,\s\up16(→))·\o(CE,\s\up16(→))＝\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,6)b－\f(5,6)a))·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,6)a－\f(5,6)b))，))整理得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a·b＝4，,－2a2＋b2＋5a·b＝－9，,\o(BE,\s\up16(→))·\o(CE,\s\up16(→))＝\f(－5a2＋b2＋26a·b,36)，))于是eq \o(BE,\s\up16(→))·eq \o(CE,\s\up16(→))＝eq \f(\f(5,2)×－9＋\f(27,2)×4,36)＝eq \f(7,8).题型四 与向量模有关的计算例4　已知向量a，b的夹角为60°，且|a|＝2，|b|＝1，若c＝2a－b，d＝a＋2b，求：(1)c·d；(2)|c＋2d|.[解]　因为向量a与b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝1，所以a·b＝|a||b|cos60°＝1，因为c＝2a－b，d＝a＋2b.(1)c·d＝(2a－b)·(a＋2b)＝2a2＋3a·b－2b2＝2|a|2＋3×1－2|b|2＝2×22＋3－2×12＝9.(2)因为c＋2d＝(2a－b)＋2(a＋2b)＝4a＋3b，(c＋2d)2＝(4a＋3b)2＝16a2＋24a·b＋9b2＝16|a|2＋24×1＋9|b|2＝16×22＋24×1＋9×1＝97，所以|c＋2d|2＝97，所以|c＋2d|＝eq \r(97).　求向量的模的常见思路及方法(1)求模问题一般转化为求模的平方，与向量数量积联系，并灵活应用a2＝|a|2，勿忘记开方．(2)a·a＝a2＝|a|2或|a|＝eq \r(a2)，可以实现实数运算与向量运算的相互转化．已知|a|＝|b|＝5，向量a与b的夹角为eq \f(π,3)，求|a＋b|，|a－b|.解　a·b＝|a||b|coseq \f(π,3)＝5×5×eq \f(1,2)＝eq \f(25,2).|a＋b|＝ eq \r(a＋b2)＝ eq \r(|a|2＋2a·b＋|b|2)＝eq \r(25＋2×\f(25,2)＋25)＝5eq \r(3).|a－b|＝ eq \r(a－b2)＝ eq \r(|a|2－2a·b＋|b|2)＝eq \r(25－2×\f(25,2)＋25)＝5.题型五 两向量的夹角问题例5　已知|a|＝2，|b|＝1，a与b的夹角为60°，求向量m＝2a＋b与向量n＝a－4b的夹角的余弦值．[解]　a·b＝2×1×cos60°＝1，|m|2＝|2a＋b|2＝4|a|2＋4a·b＋|b|2＝4×22＋4×1＋1＝21，|n|2＝|a－4b|2＝|a|2－8a·b＋16|b|2＝22－8×1＋16×1＝12，∴|m|＝eq \r(21)，|n|＝2eq \r(3)，m·n＝(2a＋b)·(a－4b)＝2|a|2－7a·b－4|b|2＝2×22－7×1－4×1＝－3.设m，n的夹角为θ，∵m·n＝|m||n|cosθ，∴－3＝eq \r(21)×2eq \r(3)×cosθ，即cosθ＝－eq \f(\r(7),14).　求向量a与b夹角的思路(1)求向量夹角的关键是计算a·b及|a||b|，在此基础上结合数量积的定义或性质计算cosθ＝eq \f(a·b,|a||b|)，最后借助θ∈[0，π]，求出θ的值．(2)在个别含有|a|，|b|与a·b的等量关系式中，常利用消元思想计算cosθ的值．已知向量a，b满足(a＋2b)·(a－b)＝－6，且|a|＝1，|b|＝2，则a与b的夹角为________．答案　eq \f(π,3)解析　设a与b的夹角为θ，依题意有(a＋2b)·(a－b)＝a2＋a·b－2b2＝－7＋2cosθ＝－6，所以cosθ＝eq \f(1,2)，因为0≤θ≤π，故θ＝eq \f(π,3).题型六 两向量的垂直问题例6　已知向量a，b不共线，且|2a＋b|＝|a＋2b|，求证：(a＋b)⊥(a－b)．[证明]　∵|2a＋b|＝|a＋2b|，∴(2a＋b)2＝(a＋2b)2，即4a2＋4a·b＋b2＝a2＋4a·b＋4b2，∴a2＝b2.∴(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝0.又a与b不共线，a＋b≠0，a－b≠0，∴(a＋b)⊥(a－b)．　求(证明)两向量垂直的基本步骤(1)计算a·b的值；(2)若为零，则a⊥b，否则不垂直．已知|a|＝1，|b|＝2，a－b与a垂直，求当k为何值时，(ka－b)⊥(a＋2b)?解　因为a－b与a垂直，所以(a－b)·a＝0，所以a2－a·b＝0，所以a·b＝|a|2＝1，要使得(ka－b)⊥(a＋2b)，只要(ka－b)·(a＋2b)＝0，即k|a|2＋(2k－1)a·b－2|b|2＝0，所以k＋(2k－1)－2×22＝0，所以k＝3.1．已知非零向量a，b，若a＋2b与a－2b互相垂直，则eq \f(|a|,|b|)＝(　　)A.eq \f(1,4) B．4 C.eq \f(1,2) D．2答案　D解析　∵(a＋2b)·(a－2b)＝a2－4b2＝0，∴|a|＝2|b|，∴eq \f(|a|,|b|)＝2.2．在△ABC中，若eq \o(AB,\s\up16(→))·eq \o(BC,\s\up16(→))＋eq \o(AB,\s\up16(→))2＝0，则eq \o(BC,\s\up16(→))在eq \o(BA,\s\up16(→))上的投影向量为(　　)A.eq \o(BA,\s\up16(→)) B.eq \f(1,2)eq \o(AB,\s\up16(→)) C.eq \o(AC,\s\up16(→)) D.eq \f(1,2)eq \o(CA,\s\up16(→))答案　A解析　∵0＝eq \o(AB,\s\up16(→))·eq \o(BC,\s\up16(→))＋eq \o(AB,\s\up16(→))2＝eq \o(AB,\s\up16(→))·(eq \o(BC,\s\up16(→))＋eq \o(AB,\s\up16(→)))＝eq \o(AB,\s\up16(→))·eq \o(AC,\s\up16(→))，∴eq \o(AB,\s\up16(→))⊥eq \o(AC,\s\up16(→))，又eq \o(BC,\s\up16(→))与eq \o(BA,\s\up16(→))的夹角为锐角，∴eq \o(BC,\s\up16(→))在eq \o(BA,\s\up16(→))上的投影向量为eq \o(BA,\s\up16(→)).故选A.3．已知向量a，b满足|a|＝2，|b|＝1，(a－b)·b＝0，那么向量a与b的夹角为(　　)A．30° B．45° C．60° D．90°答案　C解析　由题意可得a·b－b2＝0，设a与b的夹角为θ，则2cosθ＝1，cosθ＝eq \f(1,2)，又∵θ∈[0，π]，∴θ为60°.4．已知△ABC是边长为eq \r(2)的等边三角形，则eq \o(BC,\s\up16(→))·eq \o(CA,\s\up16(→))＋eq \o(AB,\s\up16(→))·eq \o(BC,\s\up16(→))＝________.答案　－2解析　注意到eq \o(BC,\s\up16(→))与eq \o(CA,\s\up16(→))，eq \o(AB,\s\up16(→))与eq \o(BC,\s\up16(→))所成的角都是等边三角形的外角，为120°，故eq \o(BC,\s\up16(→))·eq \o(CA,\s\up16(→))＋eq \o(AB,\s\up16(→))·eq \o(BC,\s\up16(→))＝2×(eq \r(2)×eq \r(2)×cos120°)＝－2.5．已知|a|＝1，a·b＝eq \f(1,4)，(a＋b)·(a－b)＝eq \f(1,2).(1)求|b|的值；(2)求向量a－b与a＋b夹角的余弦值．解　(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝eq \f(1,2).∵|a|＝1，∴1－|b|2＝eq \f(1,2)，∴|b|＝eq \f(\r(2),2).(2)∵|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝1＋2×eq \f(1,4)＋eq \f(1,2)＝2，|a－b|2＝a2－2a·b＋b2＝1－2×eq \f(1,4)＋eq \f(1,2)＝1，∴|a＋b|＝eq \r(2)，|a－b|＝1.令a＋b与a－b的夹角为θ，则cosθ＝eq \f(a＋b·a－b,|a＋b||a－b|)＝eq \f(\f(1,2),\r(2)×1)＝eq \f(\r(2),4)，即向量a－b与a＋b夹角的余弦值是eq \f(\r(2),4).