(2019)高中数学必修第二册第六章6.4.1《平面几何中的向量方法》学案-人教A版

这是一份(2019)高中数学必修第二册第六章6.4.1《平面几何中的向量方法》学案-人教A版，共8页。
6.4.1　平面几何中的向量方法知识点一　　　向量在几何中的应用(1)平面几何图形的许多性质，如全等、相似、长度、夹角等都可以由eq \o(□,\s\up4(01))向量的线性运算及数量积表示出来．(2)用向量方法解决平面几何问题的“三部曲”①建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将eq \o(□,\s\up4(02))平面几何问题转化为向量问题；②通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；③把运算结果“翻译”成几何关系．知识点二　　　向量在平面几何中常见的应用(1)证明线段平行或点共线问题，以及相似问题，常用平行向量基本定理：eq \o(□,\s\up4(01))a∥b⇔a＝λb(λ∈R，b≠0)⇔x1y2－x2y1＝0(a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2))．(2)证明线段垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形，判断两直线(或线段)是否垂直等，常用向量垂直的条件：eq \o(□,\s\up4(02))a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0(a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2))．(3)求角问题，利用公式：cos〈a，b〉＝eq \o(□,\s\up4(03))eq \f(a·b,|a||b|)＝eq \f(x1x2＋y1y2,\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1)) \r(x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2)))(a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2))．(4)求线段的长度或说明线段相等，常用公式：|a|＝eq \o(□,\s\up4(04))eq \r(a2)＝eq \r(x2＋y2)(a＝(x，y))或AB＝eq \o(□,\s\up4(05))|eq \o(AB,\s\up6(→))|＝eq \r(x1－x22＋y1－y22)(A(x1，y1)，B(x2，y2))．向量在几何中的应用(1)利用向量方法可以解决平面几何中的平行、垂直、夹角、距离等问题．利用向量解决平面几何问题时，有两种思路：一种思路是选择一个基底(而选择的基底的长度和夹角应该是已知的，这样方便计算)，利用基向量表示涉及的向量；一种思路是建立坐标系，求出题目中涉及到的向量的坐标．这两种思路都是通过向量的计算获得几何命题的证明．(2)向量解决几何问题就是把点、线、面等几何要素直接归纳为向量，对这些向量借助于它们之间的运算进行讨论，然后把这些计算的结果翻译成关于点、线、面的相应结果，可以简单表述为“形到向量→向量的运算→向量和数到形”．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若△ABC是直角三角形，则有eq \o(AB,\s\up6(→))·eq \o(BC,\s\up6(→))＝0.(　　)(2)若eq \o(AB,\s\up6(→))∥eq \o(CD,\s\up6(→))，则直线AB与CD平行．(　　)(3)向量eq \o(AB,\s\up6(→))，eq \o(CD,\s\up6(→))的夹角就是直线AB，CD的夹角．(　　)答案　(1)×　(2)×　(3)×2．做一做(1)在四边形ABCD中，eq \o(AB,\s\up6(→))·eq \o(BC,\s\up6(→))＝0，eq \o(BC,\s\up6(→))＝eq \o(AD,\s\up6(→))，则四边形ABCD是(　　)A．直角梯形 B．菱形C．矩形 D．正方形(2)设O是△ABC内部一点，且eq \o(OA,\s\up6(→))＋eq \o(OC,\s\up6(→))＝－2eq \o(OB,\s\up6(→))，则△AOB与△AOC的面积之比为________．答案　(1)C　(2)1∶2题型一 向量在平面几何证明问题中的应用例1　在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠CDA＝∠DAB＝90°，CD＝DA＝eq \f(1,2)AB，求证：AC⊥BC．[证明]　证法一：∵∠CDA＝∠DAB＝90°，AB∥CD，CD＝DA＝eq \f(1,2)AB，故可设eq \o(AD,\s\up6(→))＝e1，eq \o(DC,\s\up6(→))＝e2，|e1|＝|e2|，则eq \o(AB,\s\up6(→))＝2e2.∴eq \o(AC,\s\up6(→))＝eq \o(AD,\s\up6(→))＋eq \o(DC,\s\up6(→))＝e1＋e2，eq \o(BC,\s\up6(→))＝eq \o(AC,\s\up6(→))－eq \o(AB,\s\up6(→))＝(e1＋e2)－2e2＝e1－e2.而eq \o(AC,\s\up6(→))·eq \o(BC,\s\up6(→))＝(e1＋e2)·(e1－e2)＝eeq \o\al(2,1)－eeq \o\al(2,2)＝|e1|2－|e2|2＝0，∴eq \o(AC,\s\up6(→))⊥eq \o(BC,\s\up6(→))，即AC⊥BC．证法二：如图，建立直角坐标系，设CD＝1，则A(0,0)，B(2,0)，C(1,1)，D(0,1)．∴eq \o(BC,\s\up6(→))＝(－1,1)，eq \o(AC,\s\up6(→))＝(1,1)．∴eq \o(BC,\s\up6(→))·eq \o(AC,\s\up6(→))＝(－1,1)·(1,1)＝－1＋1＝0.∴AC⊥BC．　用向量证明平面几何问题的两种基本思路(1)向量的线性运算法的四个步骤①选取基底；②用基底表示相关向量；③利用向量的线性运算或数量积找相应关系；④把几何问题向量化．(2)向量的坐标运算法的四个步骤①建立适当的平面直角坐标系；②把相关向量坐标化；③用向量的坐标运算找相应关系；④把几何问题向量化．已知在平行四边形ABCD中，E，F是对角线AC上的两点，且AE＝FC＝eq \f(1,4)AC，试用向量方法证明四边形DEBF也是平行四边形．证明　设eq \o(AD,\s\up6(→))＝a，eq \o(AB,\s\up6(→))＝b，则eq \o(DE,\s\up6(→))＝eq \o(AE,\s\up6(→))－eq \o(AD,\s\up6(→))＝eq \f(1,4)eq \o(AC,\s\up6(→))－a＝eq \f(1,4)(a＋b)－a＝eq \f(1,4)b－eq \f(3,4)a，eq \o(FB,\s\up6(→))＝eq \o(AB,\s\up6(→))－eq \o(AF,\s\up6(→))＝b－eq \f(3,4)eq \o(AC,\s\up6(→))＝eq \f(1,4)b－eq \f(3,4)a，所以eq \o(DE,\s\up6(→))＝eq \o(FB,\s\up6(→))，且D，E，F，B四点不共线，所以四边形DEBF是平行四边形．　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　题型二 向量在平面几何计算问题中的应用例2　已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，设AC＝m，BC＝n.(1)若D为斜边AB的中点，求证：CD＝eq \f(1,2)AB；(2)若E为CD的中点，连接AE并延长交BC于点F，求AF的长度(用m，n表示)． [解]　(1)证明：以C为坐标原点，以边CB，CA所在的直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系，如图所示，A(0，m)，B(n,0)．∵D为AB的中点，∴Deq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(n,2)，\f(m,2))).∴|eq \o(CD,\s\up6(→))|＝eq \f(1,2) eq \r(n2＋m2)，|eq \o(AB,\s\up6(→))|＝eq \r(m2＋n2)，∴|eq \o(CD,\s\up6(→))|＝eq \f(1,2)|eq \o(AB,\s\up6(→))|，即CD＝eq \f(1,2)AB．(2)∵E为CD的中点，∴Eeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(n,4)，\f(m,4)))，设F(x,0)，则eq \o(AE,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(n,4)，－\f(3,4)m))，eq \o(AF,\s\up6(→))＝(x，－m)．∵A，E，F三点共线，∴eq \o(AF,\s\up6(→))＝λeq \o(AE,\s\up6(→))，即(x，－m)＝λeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(n,4)，－\f(3,4)m)).则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝\f(n,4)λ，,－m＝－\f(3,4)mλ，))故λ＝eq \f(4,3)，x＝eq \f(n,3)，∴Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(n,3)，0))，∴|eq \o(AF,\s\up6(→))|＝eq \f(1,3) eq \r(n2＋9m2)，即AF＝eq \f(1,3) eq \r(n2＋9m2).用向量法求平面几何中的长度问题，即向量的模的求解，一是利用图形特点选择基底，向向量的数量积转化，利用公式|a|2＝a2求解；二是建立平面直角坐标系，确定相应向量的坐标，代入公式求解，即若a＝(x，y)，则|a|＝eq \r(x2＋y2).如图，平行四边形ABCD中，已知AD＝1，AB＝2，对角线BD＝2，求对角线AC的长．解　设eq \o(AD,\s\up6(→))＝a，eq \o(AB,\s\up6(→))＝b，则eq \o(BD,\s\up6(→))＝a－b，eq \o(AC,\s\up6(→))＝a＋b，而|eq \o(BD,\s\up6(→))|＝|a－b|＝eq \r(a2－2a·b＋b2)＝eq \r(1＋4－2a·b)＝eq \r(5－2a·b)＝2，∴5－2a·b＝4，∴a·b＝eq \f(1,2).又|eq \o(AC,\s\up6(→))|2＝|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝1＋4＋2a·b＝6，∴|eq \o(AC,\s\up6(→))|＝eq \r(6)，即AC＝eq \r(6).1．已知|a|＝2eq \r(3)，|b|＝2，向量a，b的夹角为30°，则以向量a，b为邻边的平行四边形的一条对角线的长度为(　　)A．10 B．eq \r(10) C．2 D．22答案　C解析　以向量a，b为邻边的平行四边形的对角线为a＋b与a－b.|a＋b|＝ eq \r(a＋b2)＝ eq \r(a2＋2a·b＋b2)＝ eq \r(12＋2×2\r(3)×2×\f(\r(3),2)＋4)＝eq \r(28)＝2eq \r(7)，|a－b|＝eq \r(a－b2)＝eq \r(a2－2a·b＋b2)＝ eq \r(12－2×2\r(3)×2×\f(\r(3),2)＋4)＝2.2．已知A，B，C，D四点的坐标分别是(1,0)，(4,3)，(2,4)，(0,2)，则此四边形为(　　)A．梯形 B．菱形C．矩形 D．正方形答案　A解析　由题意得eq \o(AB,\s\up6(→))＝(3,3)，eq \o(DC,\s\up6(→))＝(2,2)，∴eq \o(AB,\s\up6(→))∥eq \o(DC,\s\up6(→))，|eq \o(AB,\s\up6(→))|≠|eq \o(DC,\s\up6(→))|.故选A．3．平面上有三个点A(－2，y)，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(y,2)))，C(x，y)(x≠0)，若eq \o(AB,\s\up6(→))⊥eq \o(BC,\s\up6(→))，则满足条件的x，y的关系式是________．答案　y2＝8x(x≠0)解析　∵eq \o(AB,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(y,2)－y))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，－\f(y,2)))，eq \o(BC,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x，y－\f(y,2)))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x，\f(y,2)))，∴eq \o(AB,\s\up6(→))·eq \o(BC,\s\up6(→))＝2x－eq \f(y2,4)＝0，∴y2＝8x(x≠0)．4．在矩形ABCD中，边AB，AD的长分别为2,1.若M，N分别是边BC，CD上的点，且满足eq \f(|\o(BM,\s\up6(→))|,|\o(BC,\s\up6(→))|)＝eq \f(|\o(CN,\s\up6(→))|,|\o(CD,\s\up6(→))|)，则eq \o(AM,\s\up6(→))·eq \o(AN,\s\up6(→))的取值范围是________．答案　[1,4]解析　解法一：设eq \f(|\o(BM,\s\up6(→))|,|\o(BC,\s\up6(→))|)＝eq \f(|\o(CN,\s\up6(→))|,|\o(CD,\s\up6(→))|)＝λ(0≤λ≤1)，则eq \o(BM,\s\up6(→))＝λeq \o(BC,\s\up6(→))＝λeq \o(AD,\s\up6(→))，eq \o(DN,\s\up6(→))＝(1－λ)eq \o(DC,\s\up6(→))＝(1－λ)eq \o(AB,\s\up6(→))，则eq \o(AM,\s\up6(→))·eq \o(AN,\s\up6(→))＝(eq \o(AB,\s\up6(→))＋eq \o(BM,\s\up6(→)))·(eq \o(AD,\s\up6(→))＋eq \o(DN,\s\up6(→)))＝(eq \o(AB,\s\up6(→))＋λeq \o(AD,\s\up6(→)))·[eq \o(AD,\s\up6(→))＋(1－λ)eq \o(AB,\s\up6(→))]＝eq \o(AB,\s\up6(→))·eq \o(AD,\s\up6(→))＋(1－λ)eq \o(AB,\s\up6(→))2＋λeq \o(AD,\s\up6(→))2＋λ(1－λ)·eq \o(AB,\s\up6(→))·eq \o(AD,\s\up6(→)).∵eq \o(AB,\s\up6(→))·eq \o(AD,\s\up6(→))＝0，∴eq \o(AM,\s\up6(→))·eq \o(AN,\s\up6(→))＝4－3λ.∵0≤λ≤1，∴1≤eq \o(AM,\s\up6(→))·eq \o(AN,\s\up6(→))≤4，即eq \o(AM,\s\up6(→))·eq \o(AN,\s\up6(→))的取值范围是[1,4]．解法二：如图所示，以点A为坐标原点，以边AB所在直线为x轴，边AD所在直线为y轴，建立平面直角坐标系．因为AB＝2，AD＝1，所以A(0,0)，B(2，0)，D(0,1)，C(2，1)．设eq \f(|\o(BM,\s\up6(→))|,|\o(BC,\s\up6(→))|)＝eq \f(|\o(CN,\s\up6(→))|,|\o(CD,\s\up6(→))|)＝t∈[0,1]，则|eq \o(BM,\s\up6(→))|＝t，|eq \o(CN,\s\up6(→))|＝2t.则M(2，t)，N(2－2t,1)，故eq \o(AM,\s\up6(→))·eq \o(AN,\s\up6(→))＝4－4t＋t＝4－3t，又t∈[0,1]，所以(eq \o(AM,\s\up6(→))·eq \o(AN,\s\up6(→)))max＝4－3×0＝4，(eq \o(AM,\s\up6(→))·eq \o(AN,\s\up6(→)))min＝4－3×1＝1.故eq \o(AM,\s\up6(→))·eq \o(AN,\s\up6(→))的取值范围是[1,4]．5．如图，在▱OACB中，BD＝eq \f(1,3)BC，OD与BA相交于点E.求证：BE＝eq \f(1,4)BA．证明　∵O，E，D三点共线，∴向量eq \o(OE,\s\up6(→))与向量eq \o(OD,\s\up6(→))共线．则存在实数λ1，使得eq \o(OE,\s\up6(→))＝λ1eq \o(OD,\s\up6(→)).而eq \o(OD,\s\up6(→))＝eq \o(OB,\s\up6(→))＋eq \o(BD,\s\up6(→))＝eq \o(OB,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \o(OA,\s\up6(→))，则eq \o(OE,\s\up6(→))＝λ1eq \o(OB,\s\up6(→))＋eq \f(λ1,3)eq \o(OA,\s\up6(→)).又∵A，E，B三点共线，∴eq \o(BE,\s\up6(→))与eq \o(BA,\s\up6(→))共线，则存在实数λ2，使eq \o(BE,\s\up6(→))＝λ2eq \o(BA,\s\up6(→))＝λ2(eq \o(OA,\s\up6(→))－eq \o(OB,\s\up6(→)))．∴eq \o(BE,\s\up6(→))＝λ2eq \o(OA,\s\up6(→))－λ2eq \o(OB,\s\up6(→)).而eq \o(OB,\s\up6(→))＋eq \o(BE,\s\up6(→))＝eq \o(OE,\s\up6(→))，∴eq \o(OB,\s\up6(→))＋λ2eq \o(OA,\s\up6(→))－λ2eq \o(OB,\s\up6(→))＝λ1eq \o(OB,\s\up6(→))＋eq \f(λ1,3)eq \o(OA,\s\up6(→)).即(1－λ2)eq \o(OB,\s\up6(→))＋λ2eq \o(OA,\s\up6(→))＝λ1eq \o(OB,\s\up6(→))＋eq \f(λ1,3)eq \o(OA,\s\up6(→)).∵eq \o(OA,\s\up6(→))与eq \o(OB,\s\up6(→))不共线，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(1－λ2＝λ1，,λ2＝\f(λ1,3)，))∴λ2＝eq \f(1,4).∴eq \o(BE,\s\up6(→))＝eq \f(1,4)eq \o(BA,\s\up6(→))，即BE＝eq \f(1,4)BA．