(2019)高中数学必修第二册第六章6.4.2《向量在物理中的应用举例》学案-人教A版

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6.4.2　向量在物理中的应用举例知识点　　　　向量在物理中的应用(1)物理问题中常见的向量有eq \o(□,\s\up4(01))力、速度、位移等．(2)向量的加减法运算体现在一些物理量的eq \o(□,\s\up4(02))合成和分解中．(3)动量mv是向量的eq \o(□,\s\up4(03))数乘运算．(4)功是eq \o(□,\s\up4(04))力F与位移s的数量积．向量是在物理的背景下建立起来的，物理中的一些量，如位移、力、速度(加速度)、功等都与向量有着密切的联系，因此可以利用向量来解决物理中的问题．具体操作时，要注意将物理问题转化为向量关系式，通过向量的运算来解决，最后用来解释物理现象．1．力学问题的向量处理方法向量是既有大小又有方向的量，它们可以有共同的作用点，也可以没有共同的作用点，但力却是既有大小，又有方向且作用于同一作用点的量．用向量知识解决力的问题，往往是把向量平移到同一作用点上．2．速度、位移问题的向量处理方法(1)解决速度、位移问题常用的合成、分解其实就是向量的加减法，运动的叠加亦用到向量的合成．(2)速度、加速度与位移的合成和分解，实质就是向量的加减法运算，而运动的叠加也用到向量的合成．①向量在速度、加速度上的应用，实质是通过向量的线性运算解决向量问题，最后再获得物理结果．②用向量解决速度、加速度和位移等问题，用的知识主要是向量的加法、减法以及向量的数乘，有时也可借助坐标来求解．3．向量与功、动量物理上力做功的实质是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积，它的实质是向量的数量积．(1)力的做功涉及两个向量及这两个向量的夹角，即W＝|F||s|cos〈F，s〉．功是一个实数，它可正、可负，也可为零．(2)动量涉及物体的质量m，物体运动的速度v，因此动量的计算是向量的数乘运算．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)力是既有大小，又有方向且作用于同一作用点的量．(　　)(2)动量mv的计算是向量的数乘运算．(　　)(3)物理上力做功的实质是力F与位移s的数量积．(　　)答案　(1)√　(2)√　(3)√2．做一做(1)若向量eq \o(OF1,\s\up6(→))＝(2,2)，eq \o(OF2,\s\up6(→))＝(－2,3)分别表示两个力F1，F2，则|F1＋F2|为(　　)A．(0,5) B．(4，－1)C．2eq \r(2) D．5(2)力F＝(－1，－2)作用于质点P，使P产生的位移为s＝(3,4)，则力F对质点P做的功是________．(3)已知三个力F1＝(3,4)，F2＝(2，－5)，F3＝(x，y)和合力F1＋F2＋F3＝0，则F3的坐标为________．答案　(1)D　(2)－11　(3)(－5,1)题型一 向量在力学中的应用例1　一个物体受到同一平面内三个力F1，F2，F3的作用，沿北偏东45°的方向移动了8 m，其中|F1|＝2 N，方向为北偏东30°；|F2|＝4 N，方向为北偏东60°；|F3|＝6 N，方向为北偏西30°，求合力F所做的功．[解]　如图建立坐标系，则F1＝(1，eq \r(3))，F2＝(2eq \r(3)，2)，F3＝(－3，3eq \r(3))，则F＝F1＋F2＋F3＝(2eq \r(3)－2，2＋4eq \r(3))．又位移s＝(4eq \r(2)，4eq \r(2))，故合力F所做的功为W＝F·s＝(2eq \r(3)－2)×4eq \r(2)＋(2＋4eq \r(3))×4eq \r(2)＝4eq \r(2)×6eq \r(3)＝24eq \r(6)(J)，所以合力F所做的功为24eq \r(6) J.(1)力、速度、位移的合成与分解，实质上就是向量的加法、减法运算．因此，用向量解决力、速度、位移等问题，常用到向量的加法、减法、数乘运算．(2)力做的功是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积，实质是力和位移两个向量的数量积，即W＝F·s＝|F||s|cosθ(θ为F和s的夹角)．(3)动量mv(m是物体的质量，v是物体运动的速度)实际上是向量的数乘运算．如图，一物体受到两个大小均为60 N的力的作用，两力的夹角为60°，且有一力方向水平，求合力的大小及方向．解　以eq \o(OA,\s\up6(→))，eq \o(OB,\s\up6(→))为邻边作平行四边形OACB，则eq \o(OC,\s\up6(→))即为合力．由已知可得△OAC为等腰三角形，且∠COA＝30°，过A作AD⊥OC于点D，则在Rt△OAD中，|eq \o(OD,\s\up6(→))|＝|eq \o(OA,\s\up6(→))|cos30°＝60×eq \f(\r(3),2)＝30eq \r(3)，故|eq \o(OC,\s\up6(→))|＝2|eq \o(OD,\s\up6(→))|＝60eq \r(3)，即合力的大小为60eq \r(3) N，方向与水平方向成30°角.题型二 向量在运动学中的应用例2　在风速为75(eq \r(6)－eq \r(2)) km/h的西风中，飞机以150 km/h的航速向西北方向飞行，求没有风时飞机的航速和航向． [解]　设w＝风速，va＝有风时飞机的航行速度，vb＝无风时飞机的航行速度，vb＝va－w.如右图所示．∴vb，va，w构成三角形．设|eq \o(AB,\s\up6(→))|＝|va|，|eq \o(CB,\s\up6(→))|＝|w|，|eq \o(AC,\s\up6(→))|＝|vb|，作AD∥BC，CD⊥AD于点D，BE⊥AD于点E，则∠BAD＝45°.设|eq \o(AB,\s\up6(→))|＝150，则|eq \o(CB,\s\up6(→))|＝75(eq \r(6)－eq \r(2))．∴|eq \o(CD,\s\up6(→))|＝|eq \o(BE,\s\up6(→))|＝|eq \o(EA,\s\up6(→))|＝75eq \r(2)，|eq \o(DA,\s\up6(→))|＝75eq \r(6).从而|eq \o(AC,\s\up6(→))|＝150eq \r(2)，∠CAD＝30°.∴|vb|＝150eq \r(2) km/h，方向为北偏西60°.向量在物理学中的应用一般涉及力或速度的合成与分解，充分借助向量的平行四边形法则把物理问题抽象转化为数学问题，该题涉及解三角形，同时正确作图是前提．已知船速为5 m/s，且船速大于水速，河宽为20 m．如右图所示，船从O点到达B点所用的时间为5 s，求水流的速度．解　设船速为v1，水速为v2，船的实际速度为v3.建立如图所示的坐标系，则|v1|＝5 m/s，|v3|＝eq \f(20,5) m/s＝4 m/s.由v3＝v1＋v2，得v2＝v3－v1＝(0,4)－(－3,4)＝(3,0)．所以|v2|＝3 m/s.　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　1．一船从某河一岸驶向另一岸，船速为v1、水速为v2，已知船垂直到达对岸，则(　　)A．|v1||v2|C．|v1|≤|v2| D．|v1|≥|v2|答案　B解析　速度是向量，要使船垂直到达对岸，则向量v1在水流方向上的分量与向量v2大小相等，方向相反，由此即得|v1|>|v2|.2．已知三个力F1＝(－2，－1)，F2＝(－3,2)，F3＝(4，－3)同时作用于某物体上的一点，为使物体保持平衡，现加上一个力F4，则F4等于(　　)A．(－1，－2) B．(1，－2)C．(－1,2) D．(1,2)答案　D解析　F4＝－(F1＋F2＋F3)＝－[(－2，－1)＋(－3,2)＋(4，－3)]＝(1,2)．3．某人在静水中游泳时，速度为4eq \r(3) km/h.如果水流的速度为4 km/h，他沿着垂直于对岸的方向前进，那么他实际前进的方向与河岸的夹角为(　　)A．90° B．30° C．45° D．60°答案　D解析　如图，用eq \o(OA,\s\up6(→))表示水速，eq \o(OB,\s\up6(→))表示某人径直游向对岸的速度，则实际前进方向与河岸的夹角为∠AOC．于是tan∠AOC＝eq \f(|\o(AC,\s\up6(→))|,|\o(OA,\s\up6(→))|)＝eq \f(|\o(OB,\s\up6(→))|,|\o(OA,\s\up6(→))|)＝eq \f(|v静|,|v水|)＝eq \r(3).所以∠AOC＝60°.故选D．4．某物体做斜抛运动，初速度|v0|＝10 m/s，与水平方向成60°角，不计空气阻力，则该物体在水平方向上的速度是________ m/s.答案　5解析　设该物体在竖直方向上的速度为v1，水平方向上的速度为v2，如图，|v2|＝|v0|·cos60°＝10×eq \f(1,2)＝5(m/s)，所以该物体在水平方向上的速度是5 m/s.5．如图所示，用两根绳子把重10 N的物体W吊在水平杆子AB上，∠ACW＝150°，∠BCW＝120°，求A和B处所受力的大小(忽略绳子的质量)．解　由题意，知四边形CEWF是矩形，则有eq \o(CF,\s\up6(→))＋eq \o(CE,\s\up6(→))＝eq \o(CW,\s\up6(→))，eq \o(CF,\s\up6(→))⊥eq \o(CE,\s\up6(→))，|eq \o(CW,\s\up6(→))|＝10，∠FCW＝60°.∴eq \o(CF,\s\up6(→))·eq \o(CE,\s\up6(→))＝0.∴|eq \o(CW,\s\up6(→))|2＝(eq \o(CF,\s\up6(→))＋eq \o(CE,\s\up6(→)))2＝|eq \o(CF,\s\up6(→))|2＋2eq \o(CF,\s\up6(→))·eq \o(CE,\s\up6(→))＋|eq \o(CE,\s\up6(→))|2.∴|eq \o(CF,\s\up6(→))|2＋|eq \o(CE,\s\up6(→))|2＝100.又eq \o(CF,\s\up6(→))·eq \o(CE,\s\up6(→))＝0，〈eq \o(CF,\s\up6(→))，eq \o(CW,\s\up6(→))〉＝60°，∴eq \o(CF,\s\up6(→))·eq \o(CW,\s\up6(→))＝eq \o(CF,\s\up6(→))·(eq \o(CF,\s\up6(→))＋eq \o(CE,\s\up6(→)))＝eq \o(CF,\s\up6(→))2＋eq \o(CF,\s\up6(→))·eq \o(CE,\s\up6(→))＝eq \o(CF,\s\up6(→))2.∴cos〈eq \o(CF,\s\up6(→))，eq \o(CW,\s\up6(→))〉＝eq \f(\o(CF,\s\up6(→))·\o(CW,\s\up6(→)),|\o(CF,\s\up6(→))||\o(CW,\s\up6(→))|)＝eq \f(|\o(CF,\s\up6(→))|,|\o(CW,\s\up6(→))|)＝eq \f(1,2).∴|eq \o(CF,\s\up6(→))|＝eq \f(1,2)|eq \o(CW,\s\up6(→))|＝5，则|eq \o(CE,\s\up6(→))|＝5eq \r(3)，即A和B处所受力分别是5eq \r(3) N和5 N.