第六章 6.4.3《第3课时 余弦定理、正弦定理应用举例》课后课时精练-人教A版高中数学必修第二册

这是一份第六章 6.4.3《第3课时 余弦定理、正弦定理应用举例》课后课时精练-人教A版高中数学必修第二册，共6页。

A级：“四基”巩固训练一、选择题1．如图所示为起重机装置示意图．支杆BC＝10 m，吊杆AC＝15 m，吊索AB＝5eq \r(19) m，起吊的货物与岸的距离AD为(　　)A．30 m B．eq \f(15\r(3),2) mC．15eq \r(3) m D．45 m答案　B解析　在△ABC中，AC＝15 m，AB＝5eq \r(19) m，BC＝10 m，由余弦定理，得cos∠ACB＝eq \f(AC2＋BC2－AB2,2AC×BC)＝eq \f(152＋102－5\r(19)2,2×15×10)＝－eq \f(1,2)，∴sin∠ACB＝eq \f(\r(3),2).又∠ACB＋∠ACD＝180°，∴sin∠ACD＝sin∠ACB＝eq \f(\r(3),2).在Rt△ADC中，AD＝ACsin∠ACD＝15×eq \f(\r(3),2)＝eq \f(15\r(3),2) (m)．故选B．2．已知A，B两地的距离为10 km，B，C两地的距离为20 km，现测得∠ABC＝120°，则A，C两地的距离为(　　)A．10 km B．eq \r(3) km C．10eq \r(5) km D．10eq \r(7) km答案　D解析　在△ABC中，AB＝10，BC＝20，∠ABC＝120°，则由余弦定理，得AC2＝AB2＋BC2－2AB×BCcos∠ABC＝100＋400－2×10×20cos120°＝100＋400－2×10×20×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝700，∴AC＝10eq \r(7)，即A，C两地的距离为10eq \r(7) km.3．某公司要测量一水塔CD的高度，测量人员在该水塔所在的东西方向水平线上选A，B两个观测点，在A处测得该水塔顶端D的仰角为α，在B处测得该水塔顶端D的仰角为β，已知AB＝a,0<β<α<eq \f(π,2)，则水塔CD的高度为(　　)A．eq \f(asinα－βsinβ,sinα) B．eq \f(asinαsinβ,sinα－β)C．eq \f(asinα－βsinα,sinβ) D．eq \f(asinα,sinα－βsinβ)答案　B解析　如图，在△ABD中，∠ADB＝α－β，由正弦定理，得eq \f(AD,sinβ)＝eq \f(AB,sin∠ADB)，即AD＝eq \f(asinβ,sinα－β)，在Rt△ACD中，CD＝ADsinα＝eq \f(asinαsinβ,sinα－β).4．若甲船在B岛的正南方A处，AB＝10 km，甲船以4 km/h的速度向正北航行，同时，乙船自B岛出发以6 km/h的速度向北偏东60°的方向驶去，当甲、乙两船相距最近时，它们的航行时间是(　　)A．eq \f(150,7) min B．eq \f(15,7) hC．21.5 min D．2.15 h答案　A解析　当时间t<2.5 h时，如图． ∠CBD＝120°，BD＝10－4t，BC＝6t.在△BCD中，利用余弦定理，得CD2＝(10－4t)2＋(6t)2－2×(10－4t)×6t×cos120°＝28t2－20t＋100.当t＝eq \f(20,2×28)＝eq \f(5,14)(h)，即eq \f(150,7) min时，CD2最小，即CD最小为 eq \r(\f(675,7)).当t＝2.5 h时，CF＝15×eq \f(\r(3),2)，CF2＝eq \f(675,4)，当t>2.5 h时，甲、乙两船之间的距离总大于eq \f(675,4).故距离最近时，t<2.5 h，即t＝eq \f(150,7) min.二、填空题5．一船以24 km/h的速度向正北方向航行，在点A处望见灯塔S在船的北偏东30°方向上，15 min后到点B处望见灯塔在船的北偏东65°方向上，则船在点B时与灯塔S的距离是________ km(精确到0.1 km)．答案　5.2解析　作出示意图如图．由题意，知AB＝24×eq \f(15,60)＝6，∠ASB＝35°，由正弦定理，得eq \f(6,sin35°)＝eq \f(BS,sin30°)，解得BS≈5.2(km)．6．学校里有一棵树，甲同学在A地测得树尖的仰角为45°，乙同学在B地测得树尖的仰角为30°，量得AB＝AC＝10 m，树根部为C(A，B，C在同一水平面上)，则∠ACB＝________.答案　30°解析　如图，AC＝10，∠DAC＝45°，∴DC＝10，∵∠DBC＝30°，∴BC＝10eq \r(3).由余弦定理，得cos∠ACB＝eq \f(102＋10\r(3)2－102,2×10×10\r(3))＝eq \f(\r(3),2)，∴∠ACB＝30°.7．在某点B处测得建筑物AE的顶端A的仰角为θ，沿BE方向前进30 m至点C处测得顶端A的仰角为2θ，再继续前进10eq \r(3) m至D点，测得顶端A的仰角为4θ，则θ等于________．答案　15°解析　如图，由题意知CA＝BC＝30，DA＝CD＝10eq \r(3)，设AE＝h，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(h＝30sin2θ，,h＝10\r(3)sin4θ，))所以30sin2θ＝10eq \r(3)sin4θ＝20eq \r(3)sin2θcos2θ，所以2cos2θ＝eq \r(3)，cos2θ＝eq \f(\r(3),2)，所以2θ＝30°，θ＝15°.三、解答题8．如图，A，B两点在河的同侧，且A，B两点均不可到达，为测出A，B的距离，其方法为测量者可以在河岸边选定两点C，D，测得CD＝a，同时在C，D两点分别测得∠BCA＝α，∠ACD＝β，∠CDB＝γ，∠BDA＝δ.在△ADC和△BDC中，由正弦定理分别计算出AC和BC，再在△ABC中，应用余弦定理计算出AB．若测得CD＝eq \f(\r(3),2) km，∠ADB＝∠CDB＝30°，∠ACD＝60°，∠ACB＝45°，求A，B两点间的距离．解　∵∠ADC＝∠ADB＋∠CDB＝60°，∠ACD＝60°，∴∠DAC＝60°，∴AC＝DC＝eq \f(\r(3),2).在△BCD中，∠DBC＝45°，由正弦定理，得BC＝eq \f(DC,sin∠DBC)·sin∠BDC＝eq \f(\f(\r(3),2),sin45°)·sin30°＝eq \f(\r(6),4).在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC×BCcos45°＝eq \f(3,4)＋eq \f(3,8)－2×eq \f(\r(3),2)×eq \f(\r(6),4)×eq \f(\r(2),2)＝eq \f(3,8).∴AB＝eq \f(\r(6),4)(km)．∴A，B两点间的距离为eq \f(\r(6),4) km.9．一艘船以32.2 n mile/h的速度向正北航行．在A处看灯塔S在船的北偏东20°的方向，30 min后航行到B处，在B处看灯塔在船的北偏东65°的方向，已知距离此灯塔6.5 n mile以外的海区为航行安全区域，这艘船可以继续沿正北方向航行吗？解　在△ASB中，∠SBA＝115°，∠S＝45°.由正弦定理，得SB＝eq \f(ABsin20°,sin45°)＝eq \f(16.1sin20°,sin45°)≈7.787(n mile)．设点S到直线AB的距离为h，则h＝SBsin65°≈7.06(n mile)．∵h>6.5 n mile，∴此船可以继续沿正北方向航行．B级：“四能”提升训练1．海上一观测站测得方位角240°的方向上有一艘停止航行待修的商船，在商船的正东方有一艘海盗船正向它靠近，速度为每小时90 n mile.此时海盗船距观测站10eq \r(7) n mile,20 min后测得海盗船距观测站20 n mlie，再过________min，海盗船到达商船．答案　eq \f(40,3)解析　如图，设开始时观测站、商船、海盗船分别位于A，B，C处，20 min后，海盗船到达D处，在△ADC中，AC＝10eq \r(7)，AD＝20，CD＝30，由余弦定理，得cos∠ADC＝eq \f(AD2＋CD2－AC2,2AD×CD)＝eq \f(400＋900－700,2×20×30)＝eq \f(1,2).∴∠ADC＝60°.在△ABD中，由已知得∠ABD＝30°，∴∠BAD＝60°－30°＝30°，∴BD＝AD＝20，eq \f(20,90)×60＝eq \f(40,3)(min)．2．据气象台预报，在S岛正东距S岛300 km的A处有一台风中心形成，并以每小时30 km的速度向北偏西30°的方向移动，在距台风中心270 km以内的地区将受到台风的影响．问：S岛是否受其影响？若受到影响，从现在起经过多少小时S岛开始受到台风的影响？持续时间多久？说明理由．解　如图，设台风中心经过t h到达B点，由题意，∠SAB＝90°－30°＝60°，在△SAB中，SA＝300，AB＝30t，∠SAB＝60°，由余弦定理，得SB2＝SA2＋AB2－2SA×ABcos∠SAB＝3002＋(30t)2－2×300×30tcos60°.若S岛受到台风影响，则应满足条件|SB|≤270，即SB2≤2702，化简整理，得t2－10t＋19≤0，解得5－eq \r(6)≤t≤5＋eq \r(6).所以从现在起，经过(5－eq \r(6)) h，S岛开始受到影响，(5＋eq \r(6)) h后影响结束，持续时间：(5＋eq \r(6))－(5－eq \r(6))＝2eq \r(6)(h)．