高考数学二轮专题复习——等差数列课件PPT

这是一份高考数学二轮专题复习——等差数列课件PPT，共60页。PPT课件主要包含了落实主干知识，n－md，a1＋n－1d，探究核心题型，a1＋a2＋，课时精练，n2－2n等内容，欢迎下载使用。
1.理解等差数列的概念.2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式.3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题.4.了解等差数列与一次函数、二次函数的关系.
1.等差数列的有关概念(1)等差数列的定义 ，我们称这样的数列为等差数列，称这个常数为等差数列的 ，通常用字母____表示．(2)等差中项如果在a与b中间插入一个数A，使a，A，b成等差数列，那么A叫作a与b的等差中项．
从第2项起，每一项与前一项的差是同一个常数
2.等差数列的有关公式(1)通项公式：an＝ .(2)前n项和公式：Sn＝ 或Sn＝ .3.等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：an＝am＋ (n，m∈N+).(2)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N+)，则 .(3)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N+)是公差为 的等差数列.
ak＋al＝am＋an
(4)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列.(5)S2n－1＝(2n－1)an.(6) 为等差数列.
1.已知数列{an}的通项公式是an＝pn＋q(其中p，q为常数)，则数列{an}一定是等差数列，且公差为p.2.在等差数列{an}中，若a1＞0，d＜0，则Sn存在最大值；若a1＜0，d＞0，则Sn存在最小值.3.等差数列{an}的单调性：当d＞0时，{an}是递增数列；当d＜0时，{an}是递减数列；当d＝0时，{an}是常数列.4.数列{an}是等差数列⇔Sn＝An2＋Bn(A，B为常数).这里公差d＝2A.
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列.(　　)(2)数列{an}为等差数列的充要条件是对任意n∈N+，都有2an＋1＝an＋an＋2.(　　)(3)在等差数列{an}中，若am＋an＝ap＋aq，则m＋n＝p＋q.(　　)(4)若无穷等差数列{an}的公差d>0，则其前n项和Sn不存在最大值.(　　)
1.在等差数列{an}中，已知a5＝11，a8＝5，则a10等于A.－2 B.－1 C.1 D.2
∴an＝－2n＋21.∴a10＝－2×10＋21＝1.
2.设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S4＝8，S8＝20，则a9＋a10＋a11＋a12等于A.12 B.8 C.20 D.16
等差数列{an}中，S4 ，S8 －S4 ，S12 －S8仍为等差数列，即8,20－8，a9＋a10＋a11＋a12为等差数列，所以a9＋a10＋a11＋a12＝16.
3.设等差数列{an}的前n项和为Sn.若a1＝10，S4＝28，则Sn的最大值为___.
由a1＝10，S4＝4a1＋6d＝28，解得d＝－2，所以Sn＝na1＋ d＝－n2＋11n.当n＝5或6时，Sn最大，最大值为30.
例1　(1)(2023·开封模拟)已知公差为1的等差数列{an}中， ＝a3a6，若该数列的前n项和Sn＝0，则n等于A.10 B.11 C.12 D.13
(2)(2020·全国Ⅱ)北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层.上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块.下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)A.3 699块 B.3 474块C.3 402块 D.3 339块
设每一层有n环，由题意可知从内到外每环之间构成d＝9，a1＝9的等差数列.由等差数列的性质知Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等差数列，且(S3n－S2n)－(S2n－Sn)＝n2d，则9n2＝729，得n＝9，则三层共有扇面形石板S3n＝S27＝27×9＋ ×9＝3 402(块).
(1)等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1，n，d，an，Sn，知道其中三个就能求出另外两个(简称“知三求二”).(2)确定等差数列的关键是求出两个最基本的量，即首项a1和公差d.
跟踪训练1　(1)《周髀算经》有这样一个问题：从冬至日起，依次为小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸，冬至、立春、春分日影长之和为三丈一尺五寸，前九个节气日影长之和为八丈五尺五寸，问芒种日影长为(一丈＝十尺＝一百寸)A.一尺五寸 B.二尺五寸C.三尺五寸 D.四尺五寸
由题意知，从冬至日起，依次为小寒、大寒等十二个节气日影长构成一个等差数列{an}，设公差为d，∵冬至、立春、春分日影长之和为三丈一尺五寸，前九个节气日影长之和为八丈五尺五寸，
∴芒种日影长为a12＝a1＋11d＝135－11×10＝25(寸)＝2尺5寸.
例2　(2021·全国甲卷)已知数列{an}的各项均为正数，记Sn为{an}的前n项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立.①数列{an}是等差数列；②数列{ }是等差数列；③a2＝3a1.注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.
①③⇒②.已知{an}是等差数列，a2＝3a1.设数列{an}的公差为d，则a2＝3a1＝a1＋d，得d＝2a1，
因为数列{an}的各项均为正数，
①②⇒③.已知{an}是等差数列，{ }是等差数列.设数列{an}的公差为d，
②③⇒①.已知数列{ }是等差数列，a2＝3a1，所以S1＝a1，S2＝a1＋a2＝4a1.
设数列{ }的公差为d，d>0，
所以Sn＝n2d2，所以an＝Sn－Sn－1＝n2d2－(n－1)2d2＝2d2n－d2(n≥2)，是关于n的一次函数，且a1＝d2满足上式，所以数列{an}是等差数列.
判断数列{an}是等差数列的常用方法(1)定义法.(2)等差中项法.(3)通项公式法.(4)前n项和公式法.
跟踪训练2　已知数列{an}的各项都是正数，n∈N+.(1)若{an}是等差数列，公差为d，且bn是an和an＋1的等比中项，设cn＝ ，n∈N+，求证：数列{cn}是等差数列；
因此cn＋1－cn＝2d(an＋2－an＋1)＝2d2(常数)，∴{cn}是等差数列.
(2)若 ，Sn为数列{an}的前n项和，求数列{an}的通项公式.
∵an＋an－1>0，∴an－an－1＝1，∴数列{an}是首项为1，公差为1的等差数列，可得an＝n.
命题点1　等差数列项的性质
例3　(1)已知在等差数列{an}中，若a8＝8且 ＝22，则S13等于A.40 B.65 C.80 D.40＋lg25
＋a11 ＝11a6＝22，所以a6＝2，则S13＝ ＝65.
(2)已知数列{an}，{bn}都是等差数列，且a1＝2，b1＝－3，a7－b7＝17，则a2 024－b2 024的值为________.
令cn＝an－bn，因为{an}，{bn}都是等差数列，所以{cn}也是等差数列.设数列{cn}的公差为d，由已知，得c1＝a1－b1＝5，c7＝17，则5＋6d＝17，解得d＝2.故a2 024－b2 024＝c2 024＝5＋2 023×2＝4 051.
等差数列项的性质的关注点(1)在等差数列题目中，只要出现项的和问题，一般先考虑应用项的性质.(2)项的性质常与等差数列的前n项和公式Sn＝ 相结合.
跟踪训练3　(1)若等差数列{an}的前15项和S15＝30，则2a5－a6－a10＋a14等于A.2 B.3 C.4 D.5
∵S15＝30，∴ (a1＋a15)＝30，∴a1＋a15＝4，∴2a8＝4，∴a8＝2.∴2a5－a6－a10＋a14＝a4＋a6－a6－a10＋a14＝a4－a10＋a14＝a10＋a8－a10＝a8＝2.
(2)(2023·保定模拟)已知等差数列{an}满足 ＝－2，则下列结论一定成立的是
由 ＝－2得a5≠0,2a5＋a8＝a4＋a6＋a8＝3a6＝0，所以a6＝0，a3＋a9＝2a6＝0，因为a5≠0，a6＝0，所以a3≠0， ＝－1.
命题点2　等差数列前n项和的性质
例4　(1)设等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，若对任意的n∈N+，都有 的值为
由题意可知b3＋b13＝b5＋b11＝b1＋b15＝2b8，
(2)已知等差数列{an}共有(2n＋1)项，其中奇数项之和为290，偶数项之和为261，则an＋1的值为A.30 B.29C.28 D.27
∴(n＋1)an＋1＝290.
∴an＋1＝290－261＝29.
等差数列前n项和的常用的性质是：在等差数列{an}中，数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列，且有S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1)；S2n－1＝(2n－1)an.
跟踪训练4　(1)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S4＝20，S5＝30，am＝40，则m等于A.6 B.10 C.20 D.40
由S4＝20，S5＝30，得a5＝ S5 －S4＝10，由等差数列的性质，得S5＝30＝5a3，故a3＝6，而a5－a3＝10－6＝4＝2d，故d＝2，am＝40＝a5＋2(m－5)，解得m＝20.
(2)已知Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1＝－2 020， ＝6，则S2 023等于A.2 023 B.－2 023C.4 046 D.－4 046
∴S2 023＝2 023×2＝4 046，故选C.
1.首项为－21的等差数列从第8项起为正数，则公差d的取值范围是
an＝－21＋(n－1)d，因为从第8项起为正数，所以a7＝－21＋6d≤0，a8＝－21＋7d>0，解得30.则使Sn0，则3(a1＋4d)＝7(a1＋10d)，
若Sn0，又由n∈N+，则n>30，故使Sn5时，an0 B.S10最小C.S7＝S12 D.S20＝0
根据题意，得数列{an}是等差数列，由a1＋5a3＝S8，即a1＋5a1＋10d＝8a1＋28d，变形可得a1＝－9d.又由an＝a1＋(n－1)d＝(n－10)d，得a10＝0，故A不正确；不能确定a1和d的符号，所以不能确定S10最小，故B不正确；
得S7＝S12，故C正确；
因为d≠0，所以S20≠0，故D不正确.
12.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且 等于
13.将数列{2n－1}与{3n－2}的公共项从小到大排列得到数列{an}，则{an}的前n项和为________.
将数列{2n－1}与{3n－2}的公共项从小到大排列得到数列{an}，则{an}是以1为首项，以6为公差的等差数列，故它的前n项和为Sn＝n×1＋ ×6＝3n2－2n.
14.设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S6>S7>S5，则满足SnSn＋1S7>S5，得S7＝S6＋a7S5，所以a70，所以S13＝ ＝13a70，所以S12S13