人教部编版七年级上册数学专题12线段中的四种动点问题与四种数学思想专项讲练含解析答案

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专题12�线段中的四种动点问题与四种数学思想 专项讲练
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

评卷人
得分



一、单选题
1．已知，点C在直线 AB 上， AC=a ， BC=b ，且 a≠b ，点 M是线段 AB 的中点，则线段 MC的长为（    ）
A． B． C．或 D．或
2．把根绳子对折成一条线段，在线段取一点，使，从处把绳子剪断，若剪断后的三段绳子中最长的一段为，则绳子的原长为（    ）
A． B． C．或 D．或
3．如图，有一种电子游戏，电子屏幕上有一条直线，在直线上有A，B，C，D四点，且AB＝BC＝CD，点P沿直线l从左向右移动，当出现点P与A，B，C，D四点中的至少两个点距离相等时，就会发出警报，则直线l上会发出警报的点P有（　　）

A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
4．如图线段，点在射线上从点开始，以每秒的速度沿着射线的方向匀速运动，则时，运动时间为（    ）

A．秒 B．3秒 C．秒或秒 D．3秒或6秒

评卷人
得分



二、填空题
5．如图，数轴上有两点，点C从原点O出发，以每秒的速度在线段上运动，点D从点B出发，以每秒的速度在线段上运动．在运动过程中满足，若点M为直线上一点，且，则的值为 ．

6．如图直线l上有AB两点，，点O是线段AB上的一点，，若点C是射线AB上一点，且满足，则OC＝ cm．

7．一条直线上有，，三点，，，点，分别是，的中点，则 ．

评卷人
得分



三、解答题
8．如图，已知数轴上点表示的数为8，是数轴上一点，且，动点从点出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒：

（1）写出数轴上点表示的数为______，点表示的数为______ （用含的代数式表示）；
（2）动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点、同时出发，问点运动多少秒时追上点？
（3）若为的中点，为的中点，点在运动的过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请你画出图形，并求出线段的长．
9．如图①，已知线段，点C为线段AB上的一点，点D，E分别是AC和BC的中点．

（1）若，则DE的长为_____________；
（2）若，求DE的长；
（3）如图②，动点P，Q分别从A，B两点同时出发，相向而行，点P以每秒3个单位长度的速度沿线段AB向右匀速运动，点Q以点P速度的两倍沿线段AB向左匀速运动，设运动时间为t秒，问当t为多少时，P，Q之间的距离为6？
10．已知点在线段上，，点、在直线上，点在点的左侧．若，，线段在线段上移动．

(1)如图1，当为中点时，求的长；
(2)点（异于，，点）在线段上，，，求的长．
11．如图，点，在数轴上所对应的数分别为－5，7（单位长度为），是，间一点，，两点分别从点，出发，以，的速度沿直线向左运动（点在线段上，点在线段上），运动的时间为．

（1）______．
（2）若点，运动到任一时刻时，总有，请求出的长．
（3）在（2）的条件下，是数轴上一点，且，求的长．
12．如图，在直线AB上，线段，动点P从A出发，以每秒2个单位长度的速度在直线AB上运动．M为AP的中点，N为BP的中点，设点P的运动时间为t秒．

(1)若点P在线段AB上的运动，当时， ；
(2)若点P在射线AB上的运动，当时，求点P的运动时间t的值；
(3)当点P在线段AB的反向延长线上运动时，线段AB、PM、PN有怎样的数量关系？请写出你的结论，并说明你的理由．
13．已知线段AB＝m，CD＝n，线段CD在直线AB上运动（A在B的左侧，C在D的左侧），且m，n满足|m－12|＋（n－4）2＝0.
（1）m＝ 　，n＝ 　；
（2）点D与点B重合时，线段CD以2个单位长度/秒的速度向左运动．
①如图1，点C在线段AB上，若M是线段AC的中点，N是线段BD的中点，求线段MN的长；
②P是直线AB上A点左侧一点，线段CD运动的同时，点F从点P出发以3个单位/秒的向右运动，点E是线段BC的中点，若点F与点C相遇1秒后与点E相遇．试探索整个运动过程中，FC－5DE是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．

14．如图一，点在线段上，图中有三条线段、和，若其中一条线段的长度是另外一条线段长度的倍，则称点是线段的“巧点”．
（1）填空：线段的中点 这条线段的巧点（填“是”或“不是”或“不确定是”）
【问题解决】
（2）如图二，点和在数轴上表示的数分别是和，点是线段的巧点，求点在数轴上表示的数。
【应用拓展】
（3）在（2）的条件下，动点从点处，以每秒个单位的速度沿向点匀速运动，同时动点从点出发，以每秒个单位的速度沿向点匀速运动，当其中一点到达中点时，两个点运动同时停止，当、、三点中，其中一点恰好是另外两点为端点的线段的巧点时，直接写出运动时间的所有可能值．

15．（1）如图1，请利用无刻度的直尺和圆规，连接，在线段上求作线段，使；

（2）如图2，点是的中点，、分别是线段、上的点，且，．若，求线段的长．
16．线段AB＝16，C，D是线段AB上的两个动点（点C在点D的左侧），且CD＝2，E为BC的中点．

(1)如图1，当AC＝4时，求DE的长．
(2)如图2，F为AD的中点．点C，D在线段AB上移动的过程中，线段EF的长度是否会发生变化，若会，请说明理由；若不会，请求出EF的长．
17．如图，点B在线段AC的延长线上，M、N分别是线段AC、CB的中点．

(1)若，，求线段MN的长；
(2)若，，求线段MN的长．
18．如图所示．点A，B，C是数轴上的三个点，且A，B两点表示的数互为相反数，，．

(1)点A表示的数是______；
(2)若点P从点B出发沿着数轴以每秒2个单位的速度向左运动，则经过______秒时，点C恰好是BP的中点；
(3)若点Q从点A出发沿着数轴以每秒1个单位的速度向右运动，线段QB的中点为M，当时，则点Q运动了多少秒？请说明理由．
19．如图，点C是线段AB上的一点，线段AC＝8m，．机器狗P从点A出发，以6m/s的速度向右运动，到达点B后立即以原来的速度返回；机械猫Q从点C出发，以2m/s的速度向右运动，设它们同时出发，运动时间为xs．当机器狗P与机械猫Q第二次相遇时，机器狗和机械猫同时停止运动．

(1)BC＝______m，AB＝______m；
(2)试通过计算说明：当x为何值时，机器狗P在点A与机械猫Q的中点处？
(3)当x为何值时，机器狗和机械猫之间的距离PQ＝2m？请直接写出x的值．
20．如图，已知，C为线段上一点，D为的中点，E为的中点，F为的中点

(1)如图1，若，，求的长；
(2)若，求的值；
(3)若，，取的中点G，的中点H，的中点P，求的长(用含a的式子表示)．
21．如图1，已知B、C在线段AD上．

(1)图中共有 条线段；
(2)若AB＝CD．
①比较线段的大小：AC BD（填：“＞”、“＝”或“＜”）；
②如图2，若AD＝20，BC＝12，M是AB的中点，N是CD的中点，求MN的长度．
22．已知线段上有两点C、D，使得，M是线段的中点，点N是线段上的点，且满足，，求的长．

23．如图，点C在线段AB上，M、N分别是线段AC、BC的中点，

(1)若AC=7cm,BC=5cm,求线段MN的长；
(2)若AB=a,点C为线段AB上任意一点，你能用含a的代数式表示MN的长度吗？若能，请写出结果与过程，若不能，请说明理由；
(3)若将(2)中“点C为线段AB上任意一点”改为“点C为直线AB上任意一点”，其余条件不变，（2）中的结论是否仍然成立？请画图并写出说明过程．
24．已知线段，点在线段上，且．

(1)求线段，的长；
(2)点是线段上的动点且不与点，，重合，线段的中点为，设
①请用含有的代数式表示线段，的长；
②若三个点，，中恰有一点是其它两点所连线段的中点，则称，，三点为“共谐点”，请直接写出使得，，三点为“共谐点”的的值．
25．如图，已知点C在线段上，M是的中点，点N在线段上，且．

(1)若，求线段的长；
(2)若，则________（直接写出结果）；
(3)若已点知C在线段的延长线上，M是的中点，点N在线段上，，求的长．
26．已知A，B，C，D四点在同一条直线上，点C是线段AB的中点．
(1)点D在线段AB上，且AB=6，，求线段CD的长度；
(2)若点E是线段AB上一点，且AE=2BE，当时，线段CD与CE具有怎样的数量关系，请说明理由．
27．点O为数轴的原点，点A、B在数轴上的位置如图所示，点A表示的数为5，线段AB的长为线段OA长的1.2倍．点C在数轴上，M为线段OC的中点．

（1）点B表示的数为________；
（2）若线段，则线段OM的长为________；
（3）若线段（），求线段BM的长（用含a的式子表示）．
28．如图，B是线段AD上一动点，沿A→D→A以2cm/s的速度往返运动1次，C是线段BD的中点，，设点B运动时间为t秒（）．

（1）当时，①________cm，
②此时线段CD的长度=_______cm；
（2）用含有t的代数式表示运动过程中AB的长；
（3）在运动过程中，若AB中点为E，则EC的长度是否变化？若不变，求出EC的长；若变化，请说明理由．
29．如图，在数轴上点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，是最大的负整数，且，满足．点从点出发以每秒3个单位长度的速度向左运动，到达点后立刻返回到点，到达点后再返回到点并停止．

（1）________，________，________．
（2）点从点离开后，在点第二次到达点的过程中，经过秒钟，，求的值．
（3）点从点出发的同时，数轴上的动点，分别从点和点同时出发，相向而行，速度分别为每秒4个单位长度和每秒5个单位长度，假设秒钟时，、、三点中恰好有一个点是另外两个点的中点，请直接写出所有满足条件的的值．
30．如图，数轴上的点，表示的数分别为-10和20，动点从点出发，以2个单位秒的速度沿数轴的正方向运动，点为的中点．
（1）点出发多少秒时，；
（2）当点在线段上运动时，求的值；
（3）若点为的中点，请直接写出的长．

31．如图，P是线段AB上一点，AB=12cm，C、D两点分别从P、B出发以1cm/s、2cm/s的速度沿直线AB向左运动（C在线段AP上，D在线段BP上），运动的时间为t.

（1）当t=1时，PD=2AC，请求出AP的长；
（2）当t=2时，PD=2AC，请求出AP的长；
（3）若C、D运动到任一时刻时，总有PD=2AC，请求出AP的长；
（4）在（3）的条件下，Q是直线AB上一点，且AQ﹣BQ=PQ，求PQ的长.
32．（理解新知）
如图①，点M在线段AB上，图中共有三条线段AB、AM和BM，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点M是线段AB的“奇妙点”，

（1）线段的中点 这条线段的“奇妙点”（填“是”或“不是”）
（2）（初步应用）
如图②，若，点N是线段CD的“奇妙点”，则 ；
（3）（解决问题）
如图③，已知，动点P从点A出发，以速度沿AB向点B匀速移动，点从点B出发，以的速度沿BA向点A匀速移动，点P、同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止．设移动的时间为 t，请求出 为何值时，A、P、三点中其中一点恰好是另外两点为端点的线段的“奇妙点”．

参考答案：
1．D
【分析】由于点B的位置以及a、b的大小没有确定，故应分四种情况进行讨论，即可得到答案．
【详解】由于点B的位置不能确定，故应分四种情况讨论：
①当a＞b且点C在线段AB上时，如图1．

∵AC=a，BC=b，∴AB=AC+BC=a+b．
∵点M是AB的中点，∴AMAB=，
∴MC=AC﹣AM==．
②当a＞b且点C在线段AB的延长线上时，如图2．

∵AC=a，BC=b，∴AB=AC-BC=a-b．
∵点M是AB的中点，∴AMAB=，
∴MC=AC﹣AM==．
③当a＜b且点C在线段AB上时，如图3．

∵AC=a，BC=b，∴AB=AC+BC=a+b．
∵点M是AB的中点，∴AMAB=，
∴MC=AM﹣AC==．
④当a＜b且点C在线段AB的方向延长线上时，如图4．

∵AC=a，BC=b，∴AB=BC-AC=b-a．
∵点M是AB的中点，∴AMAB=，
∴MC=AC+AM==．
综上所述：MC的长为或（a＞b）或（a＜b），即MC的长为或．
故选D．
【点睛】本题考查了中点的定义，线段之间的和差关系，两点间的距离，掌握线段间的和差关系与分类讨论的数学思想是解题的关键．
2．C
【分析】由于题目中的对折没有明确对折点，所以要分A为对折点与B为对折点两种情况讨论，讨论中抓住最长线段即可解决问题．
【详解】解：如图

∵，
∴2AP=＜PB
①若绳子是关于A点对折，
∵2AP＜PB
∴剪断后的三段绳子中最长的一段为PB=30cm，
∴绳子全长=2PB+2AP=24×2+×24=64cm；
②若绳子是关于B点对折，
∵AP＜2PB
∴剪断后的三段绳子中最长的一段为2PB=24cm
∴PB=12 cm
∴AP=12×cm
∴绳子全长=2PB+2AP=12×2+4×2=32 cm；
故选：C．
【点睛】本题考查的是线段的对折与长度比较，解题中渗透了分类讨论的思想，体现思维的严密性，在今后解决类似的问题时，要防止漏解．
3．C
【分析】点P与A，B，C，D四点中的至少两个点距离相等时，也就是点P恰好是其中一条线段中点，而图中共有六条线段，由此可以得到出现报警的最多次数．
【详解】解：根据题意可知：
当点P经过任意一条线段中点时会发出报警，
∵图中共有线段AB、AC、AD、BC、BD、CD，
∵AD和BC的中点是同一个，
∴直线l上会发出警报的点P有5个．
故选：C．
【点睛】本题考查了两点间的距离，利用总体思想去思考线段的总条数是解决问题最巧妙的办法，可以减去不必要的讨论与分类．
4．C
【分析】根据题意可知，当PB=AB时，点P可以位于点B两侧，则通过分类讨论问题可解．
【详解】解：由已知当PB=AB时，PB=，
设点P运动时间为t秒，则AP=2t
当点P在B点左侧时
2t+=8
解得t=，
当点P在B点左侧时
2t-=8
解得t=
所以t=或t=．
故选：C．
【点睛】本题考查了一元一次方程以及分类讨论的数学思想，解答时注意根据已知的线段数量关系构造方程．
5．1或
【分析】设点A在数轴上表示的数为a，点B在数轴上表示的数为b，设运动的时间为t秒，由OD=4AC得a与b的关系，再根据点M在直线AB的不同的位置分4种情况进行解答，①若点M在点B的右侧时，②若点M在线段BO上时，③若点M在线段OA上时，④若点M在点A的左侧时，分别表示出AM、BM、OM，由AM-BM=OM得到t、a、b之间的关系，再计算的值即可．
【详解】设运动的时间为t秒，点M表示的数为m
则OC=t，BD=4t，即点C在数轴上表示的数为-t，点D在数轴上表示的数为b-4t，
∴AC=-t-a，OD=b-4t，
由OD=4AC得，b-4t=4（-t-a），
即：b=-4a，
①若点M在点B的右侧时，如图1所示：

由AM-BM=OM得，m-a-（m-b）=m，即：m=b-a；
∴
②若点M在线段BO上时，如图2所示：

由AM-BM=OM得，m-a-（b-m）=m，即：m=a+b；
∴
③若点M在线段OA上时，如图3所示：

由AM-BM=OM得，m-a-（b-m）=-m，即：
∵此时m＜0，a＜0，
∴此种情况不符合题意舍去；
④若点M在点A的左侧时，如图4所示：

由AM-BM=OM得，a-m-（b-m）=-m，即：m=b-a=-5a；
而m＜0，b-a＞0，
因此，不符合题意舍去，
综上所述，的值为1或．
【点睛】考查数轴表示数的意义，掌握数轴上两点之间距离的计算方法是正确解答的关键，分类讨论和整体代入在解题中起到至关重要的作用．
6．或
【分析】根据题意可求出，．设，分类讨论①当点C在AO之间时；②当点C在OB之间时；③当点C在点B右侧时，利用x可分别表示出AC，CB的长，根据，即得出关于x的等式，解出x即可．
【详解】∵AB=12cm，点O是线段AB上的一点，OA=2OB，
∴，．
设，
分类讨论：①当点C在AO之间时，如图，

由图可知，，，
∵，
∴，
解得：．
故此时；
②当点C在OB之间时，如图，

由图可知，，．
∴此时不成立；
③当点C在点B右侧时，如图，

由图可知，，，
∵，
∴，
解得：．
故此时；
综上可知OC的长为或．
故答案为：或．
【点睛】本题考查线段n等分点的有关计算，与线段有关的动点问题的计算．利用数形结合和分类讨论的思想是解题的关键．
7．或
【分析】因为直线上三点A、B、C的位置不明确，所以要分B在A，C两点之间和A在C、B两点之间两种情况，分别结合图形并根据中点的定义即可求解．
【详解】解：根据题意由两种情况
若B在A，C两点之间，如图：

则,
，
(cm)；
若C在A，B两点之间，如图：

则
，
(cm)，
故答案为：13cm或5cm．
【点睛】本题主要考查了线段中点定义、线段的和差等知识点，根据题意正确画出符合题意的图形是解答本题的关键．
8．（1）-6，；（2）点运动7秒时追上点；（3）线段的长度不发生变化，其值为7
【分析】（1）根据点表示的数和AB的长度即可求解；
（2）根据题意列出方程，求解即可；
（3）分类讨论即可：①当点在点、两点之间运动时，②当点运动到点的左侧时，根据中点的定义即可求解．
【详解】（1）解：∵数轴上点表示的数为8，且，
∴点表示的数为，
点P表示的数为，
故答案为：-6，；
（2）设点、同时出发，点运动时间秒追上，依题意得，
，
解得，
∴点运动7秒时追上点；
（3）线段的长度没有发生变化都等于7；理由如下：
①当点在点、两点之间运动时：

，
②当点运动到点的左侧时：

，
∴线段的长度不发生变化，其值为7．
【点睛】本题考查数轴上的动点问题，掌握中点的定义、一元一次方程的应用是解题的关键．
9．（1）6；（2）6；（3）或2
【分析】(1)根据图形，由AB= 12，AC=4得出BC= 8再根据点D，E分别时AC和BC中点，得出DC，EC，再根据线段的和求出DE，
(2)根据图形，由AB= 12，BC=m得出AC=12-m 再根据点D，E分别时AC和BC中点，得出DC，EC，再根据线段的和求出DE，
(3)用含t的式子表示AP，BQ，再画出两种图形，根据线段的和等于AB，得到两个一元一次方程，即可求出．
【详解】解：如图

(1)∵AB= 12，AC=4
∴BC= 8
∵点D，E分别时AC和BC中点，
∴DC=2，BC=EC=4
∴DE=DC+CE=6
(2)∵AB= 12， BC= m
∴AC=12-m
∵点D， E分别时 AC和BC中点
∴DC=6-m，BC=EC=
∴DE=DC+CE=6
(3)由题意得，如图所示，
或
AP=3t，BQ= 6t
∴AP+PQ+BQ=12或AP+ BQ- PQ= 12
∴3t+6+ 6t= 12或3t + 6t- 6= 12
解得t=或t= 2
故当t=或t= 2时，P，Q之间的距离为6.
【点睛】本题考查了线段的中点，线段的和差倍分，解题的关键是根据题意画出图形，得出线段之间的关系式．
10．(1)7
(2)3或5

【分析】（1）根据，，可求得，，根据中点的定义求出BE，由线段的和差即可得到AD的长．
（2）点F（异于A，B，C点）在线段AB上，，，确定点F是BC的中点，即可求出AD的长．
【详解】（1），，
，，
如图1，

为中点，
，
，
∴，
∴，
（2）Ⅰ、当点在点的左侧，如图2，

或
∵，，
点是的中点，
∴，
∴，
∴，
∵，故图2（b）这种情况求不出；
Ⅱ、如图3，当点在点的右侧，

或
，，
∴，
∴，
．
∵，故图3（b）这种情况求不出；
综上所述：的长为3或5．
【点睛】本题考查了两点间的距离，熟知各线段之间的和、差及倍数关系是解答的关键．本题较难，需要想清楚各种情况是否存在．
11．（1）12；（2）4cm；（3）或
【分析】（1）由两点间的距离，即可求解；
（2）由线段的和差关系可求解；
（3）由题设画出图示，分两种情况根据：当点在线段上时，由AQ﹣BQ＝PQ求得AQ＝PQ+BQ；然后求得AP＝BQ，从而求得PQ与AB的关系，当点在的延长线上时，可得．
【详解】解：（1）∵A、B两点对应的数分别为-5，7，
∴线段AB的长度为：7-（-5）=12；
故答案为：12
（2）根据点，的运动速度知．
因为，所以，即，
所以．
（3）分两种情况：
如图，当点在线段上时，

因为，所以．
又因为，
所以，所以；
如图，当点在的延长线上时，
，
综上所述，的长为或．
【点睛】本题考查了数轴的运用和绝对值的运用，解题的关键是掌握数轴上两点之间距离的表示方法，灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系是十分关键的一点．
12．(1)
(2)8或24
(3)，见解析

【分析】（1）根据题中条件直接计算即可求解；
（2）分点在线段上运动和线段的延长线上运动进行讨论，从而求解；
（3）先将和表示出来，再求出线段、、之间的数量关系．
【详解】（1）解：∵ M为AP的中点，，
∴ ，
∵线段，N为BP的中点，
∴．
故答案是：2；
（2）解：①当点P在线段AB上，时，如图，

∵，，
∴，解得：．
②当点P在线段AB的延长线上，时，如图，

∵，，
∴，解得：．
综上所述，当时，点P的运动时间t的值为8或24．
（3）解：当点P在线段AB的反向延长线上时，，

∵，，
∴．
【点睛】本题主要考查了点的运动和线段之间的关系，熟练掌握几何的基础知识是解答本题的关键．
13．（1）m=12，n= 4； （2）① MN=8，②在整个运动的过程中，FC-5 DE的值为定值，且定值为0．
【分析】（1）由绝对值和平方的非负性，即可求出m、n的值；
（2）①由题意，则MN=CM+CD+DN，根据线段中点的定义，即可得到答案；
②设PA=a，则PC=8+a，PE=10+a，然后列出方程，求出a=2，然后分情况进行分析，求出每一种的值，即可得到答案．
【详解】解：（1）∵|m－12|＋（n－4）2＝0，
∴m－12=0，n－4=0，
∴m=12，n=4；
故答案为：12；4．
（2）由题意，①∵AB=12，CD=4，

∵M是线段AC的中点，N是线段BD的中点
∴AM=CM=AC ，DN=BN=BD
∴MN=CM+CD+DN
=AC +CD+BD
=AC +CD+BD+CD
=(AC +CD+BD)+CD
=(AB +CD)
=8；
②如图，设PA=a，则PC=8+a，PE=10+a，

依题意有：
解得：a=2
在整个运动的过程中：BD=2t，BC=4+2t，
∵E是线段BC的中点
∴CE= BE=BC=2+t；
Ⅰ．如图1，F，C相遇，即t=2时

F，C重合，D，E重合，则FC=0，DE=0
∴FC-5 DE =0；
Ⅱ．如图2，F，C相遇前，即t