安徽省县中联盟2023-2024学年高二数学上学期10月联考试题（Word版附解析）

2023~2024学年安徽县中联盟高二10月联考

数学试题

考生注意：

1.满分150分，考试时间120分钟.

2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效.

3.本卷命题范围：人教版必修第一册､第二册，选择性必修第一册2.2结束.

一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知是虚数单位，，则（    ）

A.  B.  C. 2 D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据题意，利用复数相等列出方程组，求得的值，结合复数模的计算公式，即可求解.

【详解】由，可得，解得，则.

故选：D.

2. 已知直线的一个方向向量为，则直线的倾斜角（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据直线的方向向量得到直线的斜率，进而求出倾斜角.

【详解】因为直线的一个方向向量为，

所以直线的斜率，

又因为，所以，

故选：C.

3. 在棱长为2的正方体中，分别为的中点，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】应用向量加法法则得到，再应用向量数量积的运算律求模.

【详解】由题设，易知是边长为的正三角形，

所以

.

故选：A

4. 已知直线与轴交于点，将绕点逆时针旋转后与轴交于点，要使直线平移后经过点，则应将直线（    ）

A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度

C. 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度

【答案】D

【解析】

【分析】求得旋转后直线的斜率、方程以及点的坐标，再根据直线平移即可求得结果.

【详解】设直线的倾斜角为，则，

旋转后的直线斜率为，

又点坐标为，所以旋转后的直线方程为，

因为直线过点，所以把直线向右平移个单位长度后经过点，

故选：D.

5. 已知向量，若共面，则在上的投影向量的模为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】利用共面的条件求出，再利用投影向量及模的定义计算即得.

【详解】因为共面，则存在实数，使得，即，

于是，

所以在上的投影向量的模为.

故选：B

6. 光线通过点，在直线上反射，反射光线经过点，则反射光线所在直线方程为（    ）

A  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】先求出关于直线的对称点，从而得到反射光线所在直线经过点和对称点，从而得到反射光线所在直线方程.

【详解】设点关于直线的对称点为，则，

解得，故.

由于反射光线所在直线经过点和，

所以反射光线所在直线的方程为，即.

故选：C.

7. 已知向量，集合，其中，则（    ）

A.

B.

C. 若，则为钝角

D. 若，则

【答案】D

【解析】

【分析】根据题意，令，求得，得到，可判定A、B错误；由，得到为锐角，可判定C错误；求得，可判定D正确.

【详解】由向量，

可得，

令，可得，解得，

此时，所以，所以A、B错误；

又由，可得，所以为锐角，所以C错误；

由向量，可得，所以D正确.

故选：D.

8. 已知，则（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】采用放缩法和中间值比较大小，得到.

【详解】因为，

，故，

，

所以.

故选：A.

二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9. 定义域为的奇函数满足，且在上单调递减，则（    ）

A.

B.

C. 为偶函数

D. 不等式的解集为

【答案】AD

【解析】

【分析】根据题意，结合函数的单调性与奇偶性，可得判定A正确，B错误；结合函数的图象变换，可判定C错误；结合题意，分和，两种情况，结合函数的单调性，求得不等式的解集，可判定D正确.

【详解】对于A中，由，且在上单调递减，可得，所以A正确；

对于B中，由函数为奇函数，且在上单调递减，

可函数的图象关于原点对称可知在上单调递减，且，

则，所以，所以B错误；

对于C中，函数向左平移2个单位，可得为非奇非偶函数，所以C错误；

对于D中，由函数是的奇函数，满足，且在上单调递减，可得，且在上单调递减，

又由不等式，可得当时，，解得；

当时，，解得，

所以不等式的解集为，所以D正确.

故选：AD.

10. 如图，两两垂直，且，以点为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，则（    ）

A. 点关于直线的对称点的坐标为

B. 点关于点的对称点的坐标为

C. 夹角的余弦值为

D. 平面的一个法向量的坐标为

【答案】AD

【解析】

【分析】对A：由以及对称点构成正方形，即可求得对称点坐标；对B：由中点坐标公式，即可判断；对C：利用余弦定理求得，即可判断；对D：写出平面中两个不共线的向量坐标，求平面法向量即可.

【详解】对A：设点关于直线的对称点为，

则四边形为正方形，所以坐标为，A正确；

对B：设点关于点的对称点为，则中点为，

由得，B错误；

对C：由，

得，

所以夹角的余弦值为，C错误；

对D，因为，

设平面的一个法向量的坐标为,，则，

取得平面的一个法向量的坐标为，D正确；

故选：AD.

11. 已知，点及直线，则（    ）

A. 直线恒过的定点在直线上

B. 若直线在两坐标轴上的截距相等，则

C. 若直线过第二、四象限，则

D. 若直线及与两坐标轴围成的四边形有外接圆，则

【答案】CD

【解析】

【分析】A选项，考虑直线斜率不存在和斜率存在两种情况，得到所过定点，得到答案；B选项，分析出直线过原点或直线不过原点且斜率为-1两种情况，求出的值；C选项，根据直线的斜率小于0，得到；D选项，根据题意得到只有时满足题意，求出.

【详解】对于，直线斜率不存在时，，得，直线方程为，

直线斜率存在时，其方程为，得其过定点，

综上，直线过点，其不在直线上，错误；

对于，直线在两坐标轴上的截距相等，则直线过原点或直线不过原点且斜率为-1，

当直线过原点时，解得，

直线不过原点且斜率为-1时，解得，错误；

对于，直线过第二、四象限，则直线斜率，解得，正确；

对于D，若直线及与两坐标轴围成的四边形有外接圆，则该四边形对角互补，

又直线过定点，经分析知只有时满足题意，

此时直线的斜率为，D正确.

故选：CD.

12. 已知函数，则下列结论正确的是（    ）

A. 都是周期函数，且有相同的最小正周期

B. 若在上有2个不同实根，则的取值范围是

C. 若方程在上有6个不同实根，则的值可以是

D. 若方程在上有5个不同实根，则的取值范围是

【答案】ABD

【解析】

【分析】求出周期可判断A；利用在上的单调性可判断B；根据都是最小正周期为2的周期函数，结合图象可判断C；结合图象可判断D.

【详解】对于A，周期为，的周期为，

所以都是周期函数，且最小正周期都是2，A正确；

对于B，时，在上单调递减，

在上单调递增，且，所以，

因为时，所以，所以的取值范围是，

B正确；

对于C，都是最小正周期为2的周期函数，

，

，在上两函数图象有1个交点，

，在每个周期上两函数图象有2个交点，

所以方程在上有5个实根，C错误；

对于D，方程在上有5不同实根，

，所以的取值范围是，D正确.

故选：ABD.

【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是结合函数的图象得到答案.

三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 已知是随机事件，则“”是“与互斥而不对立”的__________条件.（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”）

【答案】必要不充分

【解析】

【分析】根据互斥事件和对立事件的定义即可结合必要不充分条件求解.

【详解】由不能得到与互斥而不对立，

若与互斥而不对立，则，

所以“”是“与互斥而不对立”的必要不充分条件，

故答案为：必要不充分

14. 已知平面的一个法向量，点，且，则__________.

【答案】##5.25

【解析】

【分析】根据题意得到，从而得到，即可得到答案.

【详解】因为，所以，因为，所以，

所以，所以.

故答案为：

15. 已知点分别在直线上移动，若为原点，，则直线斜率的取值范围是__________.

【答案】

【解析】

【分析】根据斜率公式，求得斜率，结合的范围，即可求得结果.

【详解】因为点分别在直线上移动，

所以0，

两式相减得，

所以直线的斜率，

因为，所以，

所以，

即直线斜率的取值范围是.

故答案为：.

16. 截角四面体是一种半正八面体，可由四面体经过适当的截角，即截去四面体的四个顶点所产生的多面体.如图所示，将棱长为6的正四面体沿棱的三等分点作平行于底面的截面得到所有棱长均为2的截角四面体，则该截角四面体的外接球表面积为__________.

【答案】

【解析】

【分析】根据截角四面体的定义，还原为正四面体，然后利用正四面体的相关性质即可求解.

【详解】因为棱长为的正四面体的高为，所以截角四面体上下底面距离为，

设其外接球的半径为，等边三角形的中心为，正六边形的中心为，易知外接球球心在线段上，且垂直于平面与平面，则，

所以，解得，

所以该截角四面体的外接球的表面积为.

故答案为：.

四､解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程和解题步骤.

17. 已知直线.

（1）若，求的值；

（2）若，求过原点与点的直线的方程.

【答案】（1）3或-1   

（2）.

【解析】

【分析】（1）根据直线平行得到关于a的方程，求出a，检验后得到答案；

（2）根据直线垂直得到关于a的方程，求出，进而得到直线的方程.

小问1详解】

因为，所以，

化简得，解得或，

当或时，与均不重合，

所以的值为3或-1.

【小问2详解】

因为，所以，解得，

所以直线的斜率为，

所以直线的方程为，即.

18. 如图，在四棱锥中，底面是边长为3的菱形，.

（1）利用空间向量证明；

（2）求的长.

【答案】（1）证明见解析   

（2）.

【解析】

【分析】（1）以为基底，表达出，计算出，证明出结论；

（2）在（1）基础上，表达出，平方后得到，开方后得到答案.

【小问1详解】

证明：设，则构成空间的一个基底，

，

，

所以

，

所以.

【小问2详解】

由（1）知，

所以

.

所以.

19. 2023年初ChatGPT引发人工智能热潮，中国的数字人技术厂商积极推动数字人技术的广泛应用和持续创新，下表为2023年中国AI数字人企业实力榜前8名：

（1）求这8家企业综合得分的极差及数字人丰富度的第45百分位数；

（2）求这8家企业数字人应用潜力的平均数与方差（精确到0.1）；

（3）把这8家企业的数字人传播声量按照从大到小排列，从前5个数据中任选2个数据，记事件“两数之和大于171.0”，事件“两数之差的绝对值”，判断事件A与事件是否相互独立.

【答案】（1）4.4，77.2   

（2）平均数82.3，方差4.6   

（3）事件A与事件相互独立.

【解析】

【分析】（1）利用极差的定义和百分数的定义进行计算；

（2）先计算出平均数，进而求出方差；

（3）列举法求古典概型的概率，得到事件，事件和事件的概率，进而得到事件A与事件相互独立.

【小问1详解】

这8家企业综合得分的极差为，

因为，所以把数字人丰富度的8个数据按照从小到大排列，

则第45百分位数为第4个数据77.2.

【小问2详解】

，

，

【小问3详解】

把这8家企业的数字人传播声量按照从大到小排列，前5个数据依次为：

，从中任取2个不同数据，结果有：

，共有10种，

，

，

，

，

，

，

，即事件A与事件相互独立.

20. 已知为坐标原点，，过点且斜率为的直线与轴负半轴及轴正半轴分别交于点.

（1）求的最小值；

（2）若的面积为，且对于每一个的值满足条件的值只有2个，求的取值范围.

【答案】（1）4    （2）.

【解析】

【分析】（1）设的倾斜角为，根据题意求得，得到，结合三角函数的性质，即可求解；

（2）设的方程为，求得，得到，转化为方程有2个不同的正根，结合二次函数的性质，即可求解.

【小问1详解】

解：因为过点且斜率为的直线与轴负半轴及轴正半轴分别交于点，

如图所示，可得斜率，设直线的倾斜角为，

则，所以，

可得，

所以当时，即时，取得最小值.

【小问2详解】

接：根据题意，设直线的方程为，即，

可得，所以，

整理得，

因为对于每一个的值满足条件的值只有2个，所以该方程有2个不同的正根，

则满足，解得，所以的取值范围是.

21. 已知中，内角所对的边分别为，且.

（1）若的平分线与边交于点，求的值；

（2）若，点分别在边上，的周长为5，求的最小值.

【答案】（1）   

（2）.

【解析】

【分析】（1）联立所给等量可得，进而根据余弦定理即可求解，根据角平分线结合三角形面积公式可得，结合即可求解，

（2）根据余弦定理，结合基本不等式即可求解.

【小问1详解】

可得，

解得，

设，则，

由余弦定理得，

所以.

因为为的平分线，

所以，

又，则.

【小问2详解】

因为，由（1）得，

设，

由余弦定理得，

所以，

因为，

所以，当时取等号，

所以，

所以，当时取等号，

所以的最小值为.

22. 如图，在四棱柱中，四棱锥是正四棱锥，.

（1）求与平面所成角的正弦值；

（2）若四棱柱的体积为16，点在棱上，且，求点到平面的距离.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法即可求解线面角大小，

（2）求解法向量，根据点面距离的向量法即可求解.

【小问1详解】

因为四棱锥正四棱锥，连接交于点，则，

连接，则平面，所以两两垂直.

如图所示，以点为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，

设，因为，,则，

设与交于点，则为的中点，

所以，

，

所以，,

设平面的一个法向量为，则有，得，

取，得，

直线的一个方向向量为，

设与平面所成角为，

则，

所以直线与平面所成角的正弦值为.

【小问2详解】

因为四棱柱的体积为，所以，

由（1）知，，

.

因为，则，

所以，

，

设平面的一个法向量为，则有，得，

取，得，

所以点到平面的距离为.