2024年数学高考大一轮复习第二章 §2.3　函数的奇偶性、周期性（附答单独案解析）

§2.3　函数的奇偶性、周期性

考试要求　1.了解函数奇偶性的含义，了解函数的周期性及其几何意义.2.会依据函数的性质进行简单的应用．

知识梳理

1．函数的奇偶性

2.周期性

(1)周期函数：对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有________________，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期．

(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个________的正数，那么这个________________就叫做f(x)的最小正周期．

常用结论

1．奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性．

2．函数周期性常用结论

对f(x)定义域内任一自变量的值x：

(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0)．

(2)若f(x＋a)＝，则T＝2a(a>0)．

思考辨析

判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)若函数f(x)为奇函数，则f(0)＝0.(　　)

(2)不存在既是奇函数，又是偶函数的函数．(　　)

(3)对于函数y＝f(x)，若存在x，使f(－x)＝－f(x)，则函数y＝f(x)一定是奇函数．(　　)

(4)若T是函数f(x)的一个周期，则kT(k∈N*)也是函数的一个周期．(　　)

教材改编题

1．若偶函数f(x)在区间[－2，－1]上单调递减，则函数f(x)在区间[1,2]上(　　)

A．单调递增，且有最小值f(1)

B．单调递增，且有最大值f(1)

C．单调递减，且有最小值f(2)

D．单调递减，且有最大值f(2)

2．已知函数y＝f(x)是奇函数，且当x>0时，有f(x)＝x＋2x，则f(－2)＝________.

3．已知函数f(x)是定义在R上的周期为4的奇函数，若f(1)＝1，则f(2 023)＝________.

题型一　函数奇偶性的判断

例1 下列函数是奇函数的是________．(填序号)

①f(x)＝tan x；②f(x)＝x2＋x；③f(x)＝；④f(x)＝ln|1＋x|.

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思维升华 判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件

(1)定义域关于原点对称，否则即为非奇非偶函数．

(2)判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数))是否成立．

跟踪训练1 下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是(　　)

A．y＝ln(－x)   B．y＝

C．y＝2x＋   D．y＝

题型二　函数奇偶性的应用

命题点1　利用奇偶性求值(解析式)

例2 (1)(2022·十堰模拟)已知y＝f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)＝x2＋ax＋a＋1，则f(－2)等于(　　)

A．－2  B．2  C．－6  D．6

(2)(2023·吕梁模拟)已知函数f(x)为定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)＝2x＋x－1，则当x<0时，f(x)等于(　　)

A．2－x－x－1   B．2－x＋x＋1

C．－2－x－x－1  D．－2－x＋x＋1

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命题点2　利用奇偶性解不等式

例3 函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，且为奇函数，若f(2)＝1，则满足－1≤f(x－1)≤1的x的取值范围是(　　)

A．[－2,2]   B．[－1,3]

C．[0,2]   D．[1,3]

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思维升华 (1)利用函数的奇偶性可求函数值或求参数的取值，求解的关键在于借助奇偶性转化为求已知区间上的函数或得到参数的恒等式，利用方程思想求参数的值．

(2)利用函数的奇偶性可画出函数在其对称区间上的图象，结合几何直观求解相关问题．

跟踪训练2 (1)已知函数f(x)＝sin x＋x3＋＋3，若f(a)＝1，则f(－a)等于(　　)

A．1  B．3  C．4  D．5

(2) (2023·青岛模拟)已知f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝2x－2，则不等式f(x)≤2的解集是________．

(3)(2021·新高考全国Ⅰ)已知函数f(x)＝x3(a·2x－2－x)是偶函数，则a＝________.

题型三　函数的周期性

例4 (1)已知定义域为R的函数f(x)满足f(x＋4)＝f(x)，且f(x)－f(－x)＝0，当－2≤x≤0时，f(x)＝2x，则 f(2 022)等于(　　)

A.  B.  C．2  D．4

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(2)函数f(x)的定义域为R，对任意实数x满足f(x)f(x＋2)＝1且f(1)＝2，则f(2 023)＝________.

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思维升华 (1)求解与函数的周期有关的问题，应根据题目特征及周期定义，求出函数的周期．

(2)利用函数的周期性，可将其他区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题，转化到已知区间上，进而解决问题．

跟踪训练3 已知定义在R上的偶函数f(x)，其周期为4，当x∈[0,2]时，f(x)＝2x－2，则下列结论不正确的是(　　)

A．f(2 023)＝0

B．f(x)的值域为[－1,2]

C．f(x)在[4,6]上单调递增

D．f(x)在[－6,6]上有8个零点