2024年数学高考大一轮复习第二章 §2.12 函数模型的应用（附答单独案解析）
展开§2.12 函数模型的应用
考试要求 1.了解指数函数、对数函数与一次函数增长速度的差异.2.理解“指数爆炸”“对数增长”“直线上升”等术语的含义.3.能选择合适的函数模型刻画现实问题的变化规律，了解函数模型在社会生活中的广泛应用．
知识梳理
1．三种函数模型的性质
函数 性质 | y＝ax(a>1) | y＝logax(a>1) | y＝xn(n>0) |
在(0，＋∞)上的增减性 | 单调递增 | 单调递增 | 单调递增 |
增长速度 | 越来越快 | 越来越慢 | 相对平稳 |
图象的变化 | 随x的增大逐渐表现为与____平行 | 随x的增大逐渐表现为与____平行 | 随n值的变化而各有不同 |
2.常见的函数模型
函数模型 | 函数解析式 |
一次函数模型 | f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0) |
二次函数模型 | f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0) |
反比例函数模型 | f(x)＝＋b(k，b为常数，k≠0) |
指数函数模型 | f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0) |
对数函数模型 | f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0) |
幂函数模型 | f(x)＝axα＋b(a，b，α为常数，a≠0，α≠0) |
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)函数y＝2x的函数值比y＝x2的函数值大．( )
(2)某商品进价为每件100元，按进价增加10%出售，后因库存积压降价，若九折出售，则每件还能获利．( )
(3)在(0，＋∞)上，随着x的增大，y＝ax(a>1)的增长速度会超过并远远大于y＝xa(a>0)和y＝logax(a>1)的增长速度．( )
(4)在选择函数模型解决实际问题时，必须使所有的数据完全符合该函数模型．( )
教材改编题
1．当x越来越大时，下列函数中增长速度最快的是( )
A．y＝5x B．y＝log5x
C．y＝x5 D．y＝5x
2．在某个物理实验中，测量得到变量x和变量y的几组数据，如下表：
x | 0.50 | 0.99 | 2.01 | 3.98 |
y | －0.99 | －0.01 | 0.98 | 2.00 |
则对x，y最适合的函数模型是( )
A．y＝2x B．y＝x2－1
C．y＝2x－2 D．y＝log2x
3．某超市的某种商品的日利润y(单位：元)与该商品的当日售价x(单位：元)之间的关系为y＝－＋12x－210，那么该商品的日利润最大时，当日售价为________元．
题型一 用函数图象刻画变化过程
例1 (1)血药浓度是指药物吸收后在血浆内的总浓度．药物在人体内发挥治疗作用时，该药物的血药浓度应介于最低有效浓度和最低中毒浓度之间．已知成人单次服用1单位某药物后，体内血药浓度及相关信息如图所示：
根据图中提供的信息，下列关于成人使用该药物的说法中，不正确的是( )
A．首次服用该药物1单位约10分钟后，药物发挥治疗作用
B．每次服用该药物1单位，两次服药间隔小于2小时，一定会产生药物中毒
C．每间隔5.5小时服用该药物1单位，可使药物持续发挥治疗作用
D．首次服用该药物1单位3小时后，再次服用该药物1单位，不会发生药物中毒
听课记录：___________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
(2)根据一组试验数据画出的散点图如图所示．
现有如下5个函数模型：①y＝0.6x－0.12；②y＝2x－2.02；③y＝2x－5.4x＋6；④y＝log2x；⑤y＝x＋1.84.请从中选择一个函数模型，使它能近似地反映这些数据的规律，应选________．(填序号)
听课记录：___________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
思维升华 判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的两种方法
(1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选择函数图象．
(2)验证法：根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合函数图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案．
跟踪训练1 如图所示，△OAB是边长为2的等边三角形，直线x＝t截这个三角形位于此直线左方的图形面积为y(见图中阴影部分)，则函数y＝f(x)的大致图形为( )
题型二 已知函数模型的实际问题
例2 (1)(2021·全国甲卷)青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满足L＝5＋lg V．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据约为(≈1.259)( )
A．1.5 B．1.2 C．0.8 D．0.6
听课记录：___________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
(2)(2022·莆田质检)某工厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物数量P(单位：mg/L)与时间t(单位：h)间的关系为P＝P0·e－kt，其中P0，k是正的常数．如果2 h后还剩下90%的污染物，5 h后还剩下30%的污染物，那么8 h后还剩下______%的污染物．
听课记录：___________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
思维升华 已知函数模型解决实际问题的关键
(1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数．
(2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数．
(3)利用该函数模型，借助函数的性质、导数等求解实际问题，并进行检验．
跟踪训练2 (1)在流行病学中，基本传染数是指每名感染者平均可传染的人数．假设某种传染病的基本传染数为R0,1个感染者在每个传染期会接触到N个新人，这N个人中有V个人接种过疫苗，那么1个感染者传染人数为(N－V)．已知某种传染病在某地的基本传染数R0＝4，为了使1个感染者传染人数不超过1，则该地疫苗的接种率最小为( )
A．45% B．55% C．65% D．75%
(2)牛顿曾经提出了在常温环境下的温度冷却模型θ＝θ0＋(θ1－θ0)e－kt(t为时间，单位：分钟，θ0为环境温度，θ1为物体初始温度，θ为冷却后温度)，假设一杯开水温度θ1＝100 ℃，环境温度θ0＝20 ℃，常数k＝0.2，大约经过_______分钟水温降为40 ℃(参考数据：ln 2≈0.7)( )
A．10 B．9 C．8 D．7
题型三 构造函数模型的实际问题
例3 智能辅助驾驶已开始得到初步应用，其自动刹车的工作原理是用雷达测出车辆与障碍物之间的距离，并结合车速转化为所需时间，当此距离等于报警距离时就开始报警，等于危险距离时就自动刹车．若将报警时间划分为4段，分别为准备时间t0与人的反应时间t1，系统反应时间t2，制动时间t3，相应的距离分别为d0，d1，d2，d3，如图所示．当车速为v(米/秒)，且0<v≤33.3时，通过大数据统计分析得到下表给出的数据(其中系数k随地面湿滑程度等路面情况而变化，且1≤k≤2)．
阶段 | 准备 | 人的反应 | 系统反应 | 制动 |
时间 | t0 | t1＝0.8秒 | t2＝0.2秒 | t3 |
距离 | d0＝10米 | d1 | d2 | d3＝米 |
(1)请写出报警距离d(米)与车速v(米/秒)之间的函数关系式，并求当k＝2时，当汽车达到报警距离时，若人和系统均未采取任何制动措施，仍以此速度行驶的情况下，汽车撞上固定障碍物的最短时间；
(2)若要求汽车在k＝1的路面上行驶时报警距离均小于50米，则汽车的行驶速度应限制在多少以下(单位：米/秒)?
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
思维升华 构建函数模型解决实际问题的步骤
(1)建模：抽象出实际问题的数学模型；
(2)推理、演算：对数学模型进行逻辑推理或数学运算，得到问题在数学意义上的解；
(3)评价、解释：对求得的数学结果进行深入讨论，作出评价、解释，然后返回到原来的实际问题中去，得到实际问题的解．
跟踪训练3 (1)2020年12月17日凌晨，嫦娥五号返回器携带月球样品在内蒙古四子王旗预定区域安全着陆．嫦娥五号返回舱之所以能达到如此高的再入精度，主要是因为它采用弹跳式返回弹道，实现了减速和再入阶段弹道调整，这与“打水漂”原理类似(如图所示)．现将石片扔向水面，假设石片第一次接触水面的速率为100 m/s，这是第一次“打水漂”，然后石片在水面上多次“打水漂”，每次“打水漂”的速率为上一次的90%，若要使石片的速率低于60 m/s，则至少需要“打水漂”的次数为(参考数据：取ln 0.6≈－0.511，ln 0.9≈－0.105)( )
A．4 B．5 C．6 D．7
(2)网店和实体店各有利弊，两者的结合将在未来一段时期内成为商业的一个主要发展方向．某品牌行车记录仪支架销售公司从2022年1月起开展网络销售与实体店体验安装结合的销售模式．根据几个月运营发现，产品的月销量x(单位：万件)与投入实体店体验安装的费用t(单位：万元)之间满足函数关系式x＝3－.已知网店每月固定的各种费用支出为3万元，产品每1万件的进货价格为32万元，若每件产品的售价定为“进货价的150%”与“平均每件产品的实体店体验安装费用的一半”之和，则该公司的最大月利润是________万元．
2024年数学高考大一轮复习第二章 培优课 §2.5 函数性质的综合应用（附答单独案解析）： 这是一份2024年数学高考大一轮复习第二章 培优课 §2.5 函数性质的综合应用（附答单独案解析），共2页。
2024年数学高考大一轮复习第二章 §2.12 函数模型的应用（附答单独案解析）： 这是一份2024年数学高考大一轮复习第二章 §2.12 函数模型的应用（附答单独案解析），共4页。试卷主要包含了有一组实验数据如下表所示等内容，欢迎下载使用。
2024年数学高考大一轮复习第二章 §2.10 函数的图象（附答单独案解析）： 这是一份2024年数学高考大一轮复习第二章 §2.10 函数的图象（附答单独案解析），共4页。
