2024年数学高考大一轮复习第九章 §9.3　圆的方程（附答单独案解析）

§9.3　圆的方程

考试要求　1.理解确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，掌握圆的标准方程与一般方程.

2.能根据圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题．

知识梳理

1．圆的定义和圆的方程

2.点与圆的位置关系

平面上的一点M(x0，y0)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2之间存在着下列关系：

(1)|MC|>r⇔M在________，即(x0－a)2＋(y0－b)2>r2⇔M在圆外；

(2)|MC|＝r⇔M在________，即(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2⇔M在圆上；

(3)|MC|<r⇔M在________，即(x0－a)2＋(y0－b)2<r2⇔M在圆内．

常用结论

1．以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径端点的圆的方程为(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.

2．圆心在过切点且与切线垂直的直线上．

3．圆心在任一弦的垂直平分线上．

思考辨析

判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)确定圆的几何要素是圆心与半径．(　　)

(2)(x－2)2＋(y＋1)2＝a2(a≠0)表示以(2,1)为圆心，a为半径的圆．(　　)

(3)方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是A＝C≠0，B＝0，D2＋E2－4AF>0.(　　)

(4)若点M(x0，y0)在圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外，则x＋y＋Dx0＋Ey0＋F>0.(　　)

教材改编题

1．圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是(　　)

A．(x－1)2＋(y－1)2＝1

B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝1

C．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2

D．(x－1)2＋(y－1)2＝2

2．若曲线C：x2＋y2＋2ax－4ay－10a＝0表示圆，则实数a的取值范围为(　　)

A．(－2,0)

B．(－∞，－2)∪(0，＋∞)

C．[－2,0]

D．(－∞，－2]∪[0，＋∞)

3．下列各点中，在圆(x－1)2＋(y＋2)2＝25的内部的是(　　)

A．(0,3)   B．(3,3)

C．(－2,2)   D．(4,1)

题型一　圆的方程

例1 (1)(2022·全国乙卷)过四点(0,0)，(4,0)，(－1,1)，(4,2)中的三点的一个圆的方程为_______________________________________________________________________________

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(2)(2022·全国甲卷)设点M在直线2x＋y－1＝0上，点(3,0)和(0,1)均在⊙M上，则⊙M的方程为________________________．

听课记录：_____________________________________________________________________

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思维升华 求圆的方程的常用方法

(1)直接法：直接求出圆心坐标和半径，写出方程．

(2)待定系数法

①若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，求出a，b，r的值；

②选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值．

跟踪训练1 (1)圆心在y轴上，半径长为1，且过点A(1,2)的圆的方程是(　　)

A．x2＋(y－2)2＝1   B．x2＋(y＋2)2＝1

C．(x－1)2＋(y－3)2＝1   D．x2＋(y－3)2＝4

(2)若圆C经过坐标原点，且圆心在直线y＝－2x＋3上运动，当半径最小时，圆的方程为________．

题型二　与圆有关的轨迹问题

例2 已知Rt△ABC的斜边为AB，且A(－1,0)，B(3,0)．求：

(1)直角顶点C的轨迹方程；

(2)直角边BC的中点M的轨迹方程．

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思维升华 求与圆有关的轨迹问题的常用方法

(1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程．

(2)定义法：根据圆、直线等定义列方程．

(3)相关点代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式．

跟踪训练2 (2023·宜昌模拟)已知定点M(1,0)，N(2,0)，动点P满足|PN|＝|PM|.

(1)求动点P的轨迹C的方程；

(2)已知点B(6,0)，点A在轨迹C上运动，求线段AB上靠近点B的三等分点Q的轨迹方程．

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题型三　与圆有关的最值问题

命题点1　利用几何性质求最值

例3 (2022·泉州模拟)已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0.求：

(1)的最大值和最小值；

(2)y－x的最小值；

(3)x2＋y2的最大值和最小值．

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命题点2　利用函数求最值

例4 (2023·湘潭质检)设点P(x，y)是圆x2＋(y－3)2＝1上的动点，定点A(2,0)，B(－2,0)．则·的最大值为________．

延伸探究 若将本例改为“设点P(x，y)是圆(x－3)2＋y2＝4上的动点，定点A(0,2)，B(0，－2)”，则|＋|的最大值为________．

思维升华 与圆有关的最值问题的求解方法

(1)借助几何性质求最值：形如μ＝，t＝ax＋by，(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题．

(2)建立函数关系式求最值：列出关于所求目标式子的函数关系式，然后根据关系式的特征选用配方法、判别式法、基本不等式法等求最值．

(3)求解形如|PM|＋|PN|(其中M，N均为动点)且与圆C有关的折线段的最值问题的基本思路：①“动化定”，把与圆上动点的距离转化为与圆心的距离；②“曲化直”，即将折线段之和转化为同一直线上的两线段之和，一般要通过对称性解决．

跟踪训练3 (1)设P(x，y)是圆(x－2)2＋y2＝1上的任意一点，则(x－5)2＋(y＋4)2的最大值是(　　)

A．6  B．25  C．26  D．36

(2)若点P(x，y)在圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0上，则的最大值为________．