2024年数学高考大一轮复习第七章 §7.2　一元二次不等式及其解法（附答单独案解析）

§7.2　一元二次不等式及其解法

考试要求　1.会从实际情景中抽象出一元二次不等式.2.结合二次函数图象，了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的关系.3.会解简单的一元二次不等式.4.了解简单的分式、绝对值不等式的解法．

知识梳理　

1．二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系

2.分式不等式与整式不等式

(1)>0(<0)⇔________________；

(2)≥0(≤0)⇔____________________.

3．简单的绝对值不等式

|x|>a(a>0)的解集为________________，|x|<a(a>0)的解集为________________．

思考辨析

判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)若方程ax2＋bx＋c＝0无实数根，则不等式ax2＋bx＋c>0的解集为R.(　　)

(2)若不等式ax2＋bx＋c>0的解集为(x1，x2)，则a<0.(　　)

(3)若ax2＋bx＋c>0恒成立，则a>0且Δ<0.(　　)

(4)不等式≥0等价于(x－a)(x－b)≥0.(　　)

教材改编题

1．不等式<0的解集为(　　)

A．∅

B．(2，3)

C．(－∞，2)∪(3，＋∞)

D．(－∞，＋∞)

2．已知2x2＋kx－m<0的解集为(t，－1)(t<－1)，则k＋m的值为(　　)

A．1  B．2  C．－1  D．－2

3．已知对任意x∈R，x2＋(a－2)x＋≥0恒成立，则实数a的取值范围是________．

题型一　一元二次不等式的解法

命题点1　不含参数的不等式

例1 (1)不等式(x＋1)2－x≥7的解集为(　　)

A．(－∞，－2]∪[3，＋∞)

B．[－2,3]

C．(－∞，－3]∪[2，＋∞)

D．[－3,2]

(2)已知p：|x－1|≤2，q：≤0，则p是q的(　　)

A．充要条件

B．充分不必要条件

C．必要不充分条件

D．既不充分也不必要条件

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命题点2　含参数的一元二次不等式

例2 已知不等式ax2－3x＋2>0的解集为{x|x<1或x>b}．

(1)求实数a，b的值；

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(2)求关于x的不等式ax2－(ac＋b)x＋bc>0(其中c为实数)的解集．

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思维升华 对含参的不等式，应对参数进行分类讨论，常见的分类有

(1)根据二次项系数为正、负及零进行分类．

(2)根据判别式Δ与0的关系判断根的个数．

(3)有两个根时，有时还需根据两根的大小进行讨论．

跟踪训练1 解关于x的不等式．

(1)>1；

(2)m>0时，mx2－mx－1<2x－3.

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题型二　一元二次不等式恒成立问题

命题点1　在R上恒成立问题

例3 若对任意实数x，不等式2kx2＋kx－3<0恒成立，则实数k的取值范围是________．

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命题点2　在给定区间上恒成立问题

例4 已知函数f(x)＝mx2－mx－1.若对于x∈[1，3]，f(x)<5－m恒成立，则实数m的取值范围为________．

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命题点3　在给定参数范围内的恒成立问题

例5 (2023·宿迁模拟)若不等式x2＋px>4x＋p－3，当0≤p≤4时恒成立，则x的取值范围是(　　)

A．[－1，3]

B．(－∞，－1]

C．[3，＋∞)

D．(－∞，－1)∪(3，＋∞)

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思维升华 恒成立问题求参数的范围的解题策略

(1)弄清楚自变量、参数．一般情况下，求谁的范围，谁就是参数．

(2)一元二次不等式在R上恒成立，可用判别式Δ；一元二次不等式在给定区间上恒成立，不能用判别式Δ，一般分离参数求最值或分类讨论．

跟踪训练2 (1)不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4≥0的解集为∅，则实数a的取值范围是(　　)

A．{a|a<－2或a≥2}   B．{a|－2<a<2}

C．{a|－2<a≤2}   D．{a|a<2}

(2)当1≤x≤2时，不等式x2－ax＋1≤0恒成立，则实数a的取值范围是(　　)

A．a≤2   B．a≥2

C．a≤   D．a≥