2024年数学高考大一轮复习第三章 §3.3　导数与函数的极值、最值（附答单独案解析）

§3.3　导数与函数的极值、最值

考试要求　1.借助函数图象，了解函数在某点取得极值的必要和充分条件.2.会用导数求函数的极大值、极小值.3.掌握利用导数研究函数最值的方法.4.会用导数研究生活中的最优化问题．

知识梳理

1．函数的极值

2.函数的最大(小)值

(1)函数f(x)在区间[a，b]上有最值的条件：

如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条________________的曲线，那么它必有最大值和最小值．

(2)求函数y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值的步骤：

①求函数y＝f(x)在(a，b)内的________；

②将函数y＝f(x)的各极值与________________________________________比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．

常用结论

对于可导函数f(x)，“f′(x0)＝0”是“函数f(x)在x＝x0处有极值”的必要不充分条件．

思考辨析

判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)函数的极值可能不止一个，也可能没有．(　　)

(2)函数的极小值一定小于函数的极大值．(　　)

(3)函数的极小值一定是函数的最小值．(　　)

(4)函数的极大值一定不是函数的最小值．(　　)

教材改编题

1．如图是f(x)的导函数f′(x)的图象，则f(x)的极小值点的个数为(　　)

A．1  B．2  C．3  D．4

2．函数f(x)＝x3－ax2＋2x－1有极值，则实数a的取值范围是________________．

3．若函数f(x)＝x3－4x＋m在[0,3]上的最大值为4，则m＝________.

题型一　利用导数求解函数的极值问题

命题点1　根据函数图象判断极值

例1　如图是函数y＝f(x)的导函数的图象，下列结论中正确的是(　　)

A．f(x)在(－2，－1)上单调递增

B．当x＝3时，f(x)取得最小值

C．当x＝－1时，f(x)取得极大值

D．f(x)在(－1,2)上单调递增，在(2,4)上单调递减

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命题点2　求已知函数的极值

例2 已知函数f(x)＝ax3－3x2＋1－(a≠0)，求函数f(x)的极大值与极小值．

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命题点3　已知极值(点)求参数

例3 (1)若函数f(x)＝x(x－c)2在x＝2处有极大值，则常数c的值为(　　)

A．4   B．2或6

C．2   D．6

(2)(2023·芜湖模拟)函数f(x)＝ln x＋x2－ax(x>0)有极值，则实数a的取值范围是________．

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思维升华 根据函数的极值(点)求参数的两个要领

(1)列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解；

(2)验证：求解后验证根的合理性．

跟踪训练1 (1)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx－a2－7a在x＝1处取得极大值10，则a＋b的值为(　　)

A．－1或3   B．1或－3

C．3   D．－1

(2)(2023·肇庆质检)已知x＝1是函数f(x)＝[x2－(a＋3)x＋2a＋3]ex的极小值点，则实数a的取值范围是(　　)

A．(1，＋∞)   B．(－1，＋∞)

C．(－∞，－1)   D．(－∞，1)

题型二　利用导数求函数最值

命题点1　不含参函数的最值

例4 (2022·全国乙卷)函数f(x)＝cos x＋(x＋1)sin x＋1在区间[0,2π]的最小值、最大值分别为(　　)

A．－，   B．－，

C．－，＋2   D．－，＋2

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命题点2　含参函数的最值

例5 已知函数f(x)＝－ln x(a∈R)，

(1)讨论f(x)的单调性；

(2)求f(x)在上的最大值g(a)．

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思维升华 求含有参数的函数的最值，需先求函数的定义域、导函数，通过对参数分类讨论，判断函数的单调性，从而得到函数f(x)的最值．

跟踪训练2 (1)(2021·新高考全国Ⅰ)函数f(x)＝|2x－1|－2ln x的最小值为________．

(2)已知函数f(x)＝aln x＋x－3的最小值为－2，求a的值．

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