2024年数学高考大一轮复习第十一章 §11.1　随机事件的概率（附答单独案解析）

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考试要求 1.了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义以及频率与概率的区别.2.理解事件间的关系与运算．
知识梳理
1．事件的相关概念
2．频数、频率和概率
(1)频数、频率：在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的________，称事件A出现的比例fn(A)＝eq \f(nA,n)为事件A出现的________．
(2)概率：对于给定的随机事件A，如果随着试验次数的增加，事件A发生的频率fn(A)稳定在区间[0,1]中的某个常数上，把这个常数记作P(A)，称为事件A的概率．
3．事件的关系与运算
4.概率的几个基本性质
(1)概率的取值范围：________________.
(2)必然事件的概率：P(A)＝________.
(3)不可能事件的概率：P(A)＝________.
(4)概率的加法公式：若事件A与事件B互斥，则P(A∪B)＝________________.
(5)对立事件的概率：若事件A与事件B互为对立事件，则A∪B为必然事件．P(A∪B)＝________，P(A)＝________________.
常用结论
1．当随机事件A，B互斥时，不一定对立；当随机事件A，B对立时，一定互斥，即两事件互斥是对立的必要不充分条件．
2．若事件A1，A2，…，An两两互斥，则P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)．
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)必然事件一定发生．( )
(2)事件发生的频率与概率是相同的．( )
(3)两个事件的和事件发生是指这两个事件至少有一个发生．( )
(4)若A∪B是必然事件，则A与B是对立事件．( )
教材改编题
1．在10件同类产品中，有2件次品，从中任取3件产品，其中不可能事件为( )
A．3件都是正品 B．至少有1件次品
C．3件都是次品 D．至少有1件正品
2．一个人打靶时连续射击两次，事件“至多有一次中靶”的互斥事件是( )
A．至少有一次中靶 B．两次都中靶
C．只有一次中靶 D．两次都不中靶
3．从某班学生中任意找出一人，如果该同学的身高小于160 cm的概率为0.2，该同学的身高在[160,175](单位：cm)内的概率为0.5，那么该同学的身高超过175 cm的概率为( )
A．0.2 B．0.3 C．0.7 D．0.8
题型一 随机事件间的关系
例1 (1)抛掷一枚骰子，“向上的点数是1或2”为事件A，“向上的点数是2或3”为事件B，则( )
A．A⊆B
B．A＝B
C．A∪B表示向上的点数是1或2或3
D．A∩B表示向上的点数是1或2或3
听课记录：_______________________________________________________________________
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(2)从某班级中任意选出三名学生，设A＝{三名学生都是女生}，B＝{三名学生都不是女生}，C＝{三名学生不都是女生}，则下列结论不正确的是( )
A．A与C为互斥事件
B．A与B互为对立事件
C．B与C存在包含关系
D．B与C不是对立事件
听课记录：_______________________________________________________________________
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思维升华 互斥、对立事件的判别方法
(1)在一次试验中，不可能同时发生的两个事件为互斥事件．
(2)两个互斥事件，若有且仅有一个发生，则这两个事件为对立事件．
跟踪训练1 (1)某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名参加演讲比赛，设A＝{2名全是男生}，B＝{2名全是女生}，C＝{恰有一名男生}，D＝{至少有一名男生}，则下列关系不正确的是( )
A．A⊆D B．B∩D＝∅
C．A∪C＝D D．A∪B＝B∪D
(2)新高考实行“3＋1＋2”模式，即语文、数学、外语必选，物理、历史二选一，政治、地理、化学、生物四选二，共有12种选课模式．某同学已选了物理，记事件A＝{他选择政治和地理}，事件B＝{他选择化学和地理}，则事件A与事件B( )
A．是互斥事件，不是对立事件
B．既是互斥事件，也是对立事件
C．既不是对立事件，也不是互斥事件
D．无法判断
题型二 随机事件的频率与概率
例2 某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20,25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：
以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率．
(1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；
(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位：元)，当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y的所有可能值，并估计Y大于零的概率．
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思维升华 概率和频率的关系
概率可看成频率在理论上的稳定值，它从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小，它是频率的科学抽象，当试验次数越来越多时频率向概率靠近，只要次数足够多，所得频率就近似地当作随机事件的概率．
跟踪训练2 下面是英文字母和空格使用频率的一份统计表：
根据上表回答：
(1)若使用了1 000次键盘的按键，字母M键约使用了多少次？
(2)若字母Y键使用了6次，那么键盘的按键约使用了多少次？
(3)使用空格键的概率是多少？
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题型三 互斥事件、对立事件的概率
例3 在某商场有奖销售中，购满100元商品得1张奖券，多购多得.1 000 张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个．其中1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A，B，C，求：
(1)P(A)，P(B)，P(C)；
(2)1张奖券的中奖概率；
(3)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率．
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思维升华 复杂的互斥事件的概率的两种求法
(1)直接法：第一步，根据题意将所求事件分解为一些彼此互斥的事件的和；第二步，运用互斥事件的概率求和公式计算概率．
(2)间接法：第一步，求事件的对立事件的概率；第二步，运用公式P(A)＝1－P(eq \x\t(A))求解．特别是含有“至多”“至少”的题目，用间接法就显得比较简便．
跟踪训练3 一盒中装有12个球，其中5个红球，4个黑球，2个白球，1个绿球．从中随机取出1球，求：
(1)取出1球是红球或黑球的概率；
(2)取出1球是红球或黑球或白球的概率．
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________________________________________________________________________名称
条件
结论
符号表示
包含关系
A发生⇒B发生
事件B包含事件A(事件A包含于事件B)
B⊇A(或A⊆B)
相等关系
若B⊇A且A⊇B
事件A与事件B________
A＝B
并(和)事件
A发生或B发生
事件A与事件B的________(或和事件)
A∪B(或A＋B)
交(积)事件
A发生且B发生
事件A与事件B的________(或积事件)
A∩B(或AB)
互斥事件
A∩B为不可能事件
事件A与事件B________
A∩B＝∅
对立事件
A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件
事件A与事件B互为________________
A∩B＝∅，P(A∪B)＝1
最高气温
[10，15)
[15，20)
[20，25)
[25，30)
[30，35)
[35，40]
天数
2
16
36
25
7
4
字母
频率
字母
频率
字母
频率
空格
0.2
H
0.047
W
0.012
E
0.105
D
0.035
G
0.011
T
0.071
L
0.029
B
0.0105
O
0.0644
C
0.023
V
0.008
A
0.063
F
0.0221
K
0.003
N
0.059
U
0.0225
X
0.002
I
0.054
M
0.021
J
0.001
R
0.053
P
0.0175
Q
0.001
S
0.052
Y
0.012
Z
0.001