2024年数学高考大一轮复习第一章 §1.2　命题及其关系、充分条件与必要条件（附答单独案解析）

§1.2　命题及其关系、充分条件与必要条件

考试要求　1.理解命题的概念.2.了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系.3.理解必要条件、充分条件与充要条件的含义．

知识梳理

1．命题

用语言、符号或式子表达的，可以____________的陈述句叫做命题，其中________________的语句叫做真命题，________________的语句叫做假命题．

2．四种命题及其相互关系

(1)四种命题间的相互关系

(2)四种命题的真假关系

①两个命题互为逆否命题，它们具有________的真假性．

②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性________________．

3．充分条件、必要条件与充要条件的概念

常用结论

充分、必要条件与对应集合之间的关系

设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}．

①若p是q的充分条件，则A⊆B；

②若p是q的充分不必要条件，则AB；

③若p是q的必要不充分条件，则BA；

④若p是q的充要条件，则A＝B.

思考辨析

判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)“x2－2x－3>0”是命题．(　　)

(2)已知集合A，B，A∩B＝A∪B的充要条件是A＝B.(　　)

(3)若原命题为真，则这个命题的否命题、逆命题、逆否命题中至少有一个为真．(　　)

(4)p是q的充分不必要条件等价于q是p的必要不充分条件．(　　)

教材改编题

1．“x2－x<0”是“x<1”的(　　)

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

2．命题“同位角相等，两直线平行”的逆否命题是____________________________．

3．若“x>3”是“x>m”的必要不充分条件，则m的取值范围是________．

题型一　命题及其关系

例1 (1)(2022·赤峰模拟)下列四个命题为真命题的个数是(　　)

①命题“若x>1，则x2>1”的否命题；

②命题“梯形不是平行四边形”的逆否命题；

③命题“全等三角形面积相等”的否命题；

④命题“若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线”的逆命题．

A．1  B．2  C．3  D．4

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(2)(2022·西安模拟)函数f(x)的图象在区间(0,2)上连续不断，能说明“若f(x)在区间(0,2)上存在零点，则f(0)·f(2)<0”为假命题的一个函数f(x)的解析式可以为f(x)＝________.

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思维升华 判断命题真假的策略

(1)判断一个命题为真命题，需要推理证明；判断一个命题是假命题，只需举出反例即可．

(2)根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假．

跟踪训练1 (1)(2022·拉萨模拟)命题“若x，y都是奇数，则x＋y是偶数”的逆否命题是(　　)

A．若x，y都是偶数，则x＋y是奇数

B．若x，y都不是奇数，则x＋y不是偶数

C．若x＋y不是偶数，则x，y都不是奇数

D．若x＋y不是偶数，则x，y不都是奇数

(2)命题p：若m≤a－2，则m<－1.若p的逆否命题为真命题，则a的取值范围是________．

题型二　充分、必要条件的判定

例2 (1)(2023·淮北模拟) “a>b>0”是“>1”的(　　)

A．充要条件

B．充分不必要条件

C．必要不充分条件

D．既不充分也不必要条件

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(2)(2023·南京模拟)在等比数列{an}中，公比为q.已知a1＝1，则0<q<1是数列{an}是递减数列的(　　)

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

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思维升华 充分条件、必要条件的两种判定方法

(1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断，适用于定义、定理判断性问题．

(2)集合法：根据p，q对应的集合之间的包含关系进行判断，多适用于条件中涉及参数范围的推断问题．

跟踪训练2 (1)(2022·长春模拟) “a·b＝|a||b|”是“a与b共线”的(　　)

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

(2)(2022·聊城模拟)使|x＋1|>2成立的一个必要不充分条件是(　　)

A．x<－3   B．x>0

C．x<－3或x>1   D．x<－3或x>0

题型三　充分、必要条件的应用

例3 在①A∪B＝B；②“x∈A”是“x∈B”的充分条件；③“x∈∁RA”是“x∈∁RB”的必要条件这三个条件中任选一个，补充到本题第(2)问的横线处，求解下列问题．

问题：已知集合A＝{x|a≤x≤a＋2}，B＝{x|(x＋1)(x－3)<0}．

(1)当a＝2时，求A∩B；

(2)若________，求实数a的取值范围．

注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．

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思维升华 求参数问题的解题策略

(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解．

(2)要注意区间端点值的检验．

跟踪训练3 若集合A＝{x|x>2}，B＝{x|bx>1}，其中b为实数．

(1)若A是B的充要条件，则b＝________；

(2)若A是B的充分不必要条件，则b的取值范围是________．

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