2024年数学高考大一轮复习第四章 §4.10　解三角形及其应用举例（附答单独案解析）

1．一艘游船从海岛A出发，沿南偏东20°的方向航行8海里后到达海岛B，然后再从海岛B出发，沿北偏东40°的方向航行16海里后到达海岛C，若游船从海岛A出发沿直线到达海岛C，则航行的路程为(　　)

A．12海里   B．8 海里

C．8 海里   D．8 海里

2.(2023·泸州模拟)如图，航空测量的飞机航线和山顶在同一铅直平面内，已知飞机飞行的海拔高度为10 000m，速度为50 m/s.某一时刻飞机看山顶的俯角为15°，经过420 s后看山顶的俯角为45°，则山顶的海拔高度大约为(≈1.4，≈1.7)(　　)

A．7 350 m   B．2 650 m

C．3 650 m   D．4 650 m

3．(2023·福州模拟)我国无人机技术处于世界领先水平，并广泛用于抢险救灾、视频拍摄、环保监测等领域．如图，有一个从地面A处垂直上升的无人机P，对地面B，C两受灾点的视角为∠BPC，且tan∠BPC＝.已知地面上三处受灾点B，C，D共线，且∠ADB＝90°，BC＝CD＝DA＝1 km，则无人机P到地面受灾点D处的遥测距离PD的长度是(　　)

A. km   B．2 km

C. km   D．4 km

4．△ABC的外接圆半径R＝2，C＝，则△ABC面积的最大值为(　　)

A.   B．2

C．4   D．4

5．(2023·德阳模拟)已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.且b＝2asin B, 则cos B＋sin C的取值范围为(　　)

A．(0，]   B．(1，]

C.   D.

6．(2023·成都模拟)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，(acos C＋ccos A)＝2bsin B，且∠CAB＝，若点D是△ABC外一点，DC＝1，AD＝3，则下列结论错误的是(　　)

A．△ABC的内角B＝

B．△ABC的内角C＝

C．△ACD的面积为

D．四边形ABCD面积的最大值为＋3

7．(2023·西宁模拟)2022年4月16日，搭载着3名航天员的神舟十三号载人飞船返回舱成功着陆于东风着陆场，标志着神舟十三号返回任务取得圆满成功．假设返回舱D垂直下落于点C，某时刻地面上点A，B观测点观测到点D的仰角分别为45°，75°，若A，B间距离为10千米(其中向量与同向)，试估算该时刻返回舱距离地面的距离CD约为________千米(结果保留整数，参考数据：≈1.732)．

8．在△ABC中，AB＝2，若·＝，则A的最大值是________．

9．(2023·益阳模拟)在①＋＋1＝；②(a＋2b)cos C＋ccos A＝0；③asin＝csin A，这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答下列问题．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且________．

(1)求角C的大小；

(2)若c＝4，求AB的中线CD长度的最小值．

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

10．(2023·西安模拟)已知在锐角△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，若sin Asin Bsin C＝(sin2A＋sin2B－sin2C)．

(1)求sin C；

(2)若c＝，求△ABC周长的取值范围．

11．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，角A，B，C成等差数列，则的取值范围是(　　)

A．(1,2]   B．(1,3]

C．[3,2]   D．[2,2)

12.(2023·包头模拟)数学必修第二册介绍了海伦－秦九韶公式：我国南宋时期著名的数学家秦九韶在其著作《数书九章》中，提出了已知三角形三边长求三角形的面积的公式，与著名的海伦公式完全等价，由此可以看出我国古代已具有很高的数学水平，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上．以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实．一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即S＝，其中a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边．若＝，b＝2，则△ABC面积S的最大值为(　　)

A.  B.  C．2  D.

13．(2022·烟台模拟)我国地处北半球，房屋的窗户大部分朝南．冬至正午太阳高度最小，在寒冷的冬天，需要温暖的阳光射入；在夏天，夏至正午太阳高度最大，则要避免炙热的阳光射入．这两点正是安装遮阳篷需要考虑的．如图，AB是窗户的高度，BC是遮阳篷的安装高度，CD是遮阳篷的安装长度，设冬至正午时太阳光线与地面的夹

角为α，夏至正午时太阳光线与地面的夹角为β，窗户高度AB＝h.为保证冬至正午太阳光刚好全部射入室内，夏至正午太阳光刚好不射入室内，则遮阳篷的安装高度BC＝________.

14．(2023·遵义模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bsin ＝

asin B，a＝，则△ABC周长的最大值为________．

15．在平面内，四边形ABCD的∠ABC与∠ADC互补，DC＝1，BC＝，∠DAC＝30°，则四边形ABCD面积的最大值等于(　　)

A.  B.＋1  C.＋1  D．2

16.拿破仑·波拿巴，十九世纪法国伟大的军事家、政治家，对数学很有兴趣，他发现并证明了著名的拿破仑定理：“以任意三角形的三条边为边向外构造三个等边三角形，则这三个三角形的中心恰为另一个等边三角形的顶点”．如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，以AB，BC，AC为边向外作三个等边三角形，其中心依次为D，E，F，若DF＝2，则＝________，AB＋AC的最大值为________．