2024年数学高考大一轮复习第二章 §2.10　函数的图象

§2.10　函数的图象

考试要求　1.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.2.会画简单的函数图象.3.会运用函数图象研究函数的性质，解决方程解的个数与不等式解的问题．

知识梳理

1．利用描点法作函数图象的方法步骤：化简、________、________、________.

2．利用图象变换法作函数的图象

(1)平移变换

(2)伸缩变换

①y＝f(x)y＝________.

②y＝f(x)y＝________.

(3)对称变换

①y＝f(x)y＝________.

②y＝f(x)y＝________.

③y＝f(x)y＝________.

④y＝ax (a>0，且a≠1)y＝____________.

(4)翻折变换

①y＝f(x)y＝________.

②y＝f(x)y＝______.

常用结论

1．左右平移仅仅是相对x而言的，即发生变化的只是x本身，利用“左加右减”进行操作．如果x的系数不是1，需要把系数提出来，再进行变换．

2. 函数图象自身的对称关系

(1)若函数y＝f(x)的定义域为R，且有f(a＋x)＝f(b－x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝对称．

(2)函数y＝f(x)的图象关于点(a，b)成中心对称⇔f(a＋x)＝2b－f(a－x)⇔f(x)＝2b－f(2a－x)．

3．两个函数图象之间的对称关系

(1)函数y＝f(x)与y＝f(2a－x)的图象关于直线x＝a对称．

(2)函数y＝f(x)与y＝2b－f(2a－x)的图象关于点(a，b)对称．

思考辨析

判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)函数y＝|f(x)|为偶函数．(　　)

(2)函数y＝f(1－x)的图象，可由y＝f(－x)的图象向左平移1个单位长度得到．(　　)

(3)当x∈(0，＋∞)时，函数y＝|f(x)|与y＝f(|x|)的图象相同．(　　)

(4)函数y＝f(x)的图象关于y轴对称即函数y＝f(x)与y＝f(－x)的图象关于y轴对称．(　　)

教材改编题

1．函数y＝1－的图象是(　　)

2．函数f(x)＝ln(x＋1)的图象与函数g(x)＝x2－4x＋4的图象的交点个数为(　　)

A．0   B．1

C．2   D．3

3．函数y＝f(x)的图象与y＝ex的图象关于y轴对称，再把y＝f(x)的图象向右平移1个单位长度后得到函数y＝g(x)的图象，则g(x)＝________.

题型一　作函数图象

例1 作出下列各函数的图象：

(1)y＝|log2(x＋1)|；

(2)y＝；

(3)y＝x2－2|x|－1.

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思维升华 函数图象的常见画法及注意事项

(1)直接法：对于熟悉的基本函数，根据函数的特征描出图象的关键点，直接作图．

(2)转化法：含有绝对值符号的，去掉绝对值符号，转化为分段函数来画．

(3)图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、伸缩、翻折、对称得到，则可利用图象变换作图．

(4)画函数的图象一定要注意定义域．

跟踪训练1 作出下列各函数的图象：

(1)y＝x－|x－1|；(2)y＝|x|；(3)y＝|log2x－1|.

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题型二　函数图象的识别

例2 (1)(2023·许昌质检)函数f(x)＝y＝的图象大致为(　　)

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(2)(2022·全国乙卷)如图是下列四个函数中的某个函数在区间[－3,3]上的大致图象，则该函数是(　　)

A．y＝   B．y＝

C．y＝   D．y＝

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思维升华 识别函数的图象的主要方法

(1)利用函数的性质，如奇偶性、单调性、定义域等判断．

(2)利用函数的零点、极值点等判断．

(3)利用特殊函数值判断．

跟踪训练2 (1)(2022·吕梁模拟)函数f(x)＝的大致图象为(　　)

(2)(2023·泉州模拟)已知函数f(x)＝则函数y＝f(1－x)的图象大致为(　　)

题型三　函数图象的应用

命题点1　利用图象研究函数的性质

例3 已知函数f(x)＝，则下列结论正确的是(　　)

A．函数f(x)在定义域上单调递减

B．函数f(x)的图象关于直线x＝1对称

C．函数f(x)的图象关于点(1,2)成中心对称

D．函数f(x)的图象上至少存在两点A，B，使得直线AB∥x轴

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命题点2　利用图象解不等式

例4 (2023·商丘模拟)已知定义在R上的奇函数f(x)在[0，＋∞)上的图象如图所示，则不等式x2f(x)>2f(x)的解集为(　　)

A．(－，0)∪(，2)

B．(－∞，－2)∪(2，＋∞)

C．(－∞，－2)∪(－，0)∪(，2)

D．(－2，－)∪(0，)∪(2，＋∞)

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命题点3　利用图象求参数的取值范围

例5 已知函数f(x)＝若关于x的方程f(x)－m＝0恰有两个不同的实数解，则实数m的取值范围是(　　)

A．(0,1)   B．[0,1)

C．(1,3)∪{0}   D．[1,3)∪{0}

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思维升华 当不等式问题不能用代数法求解或用代数法求解比较困难，但其对应函数的图象可作出时，常将不等式问题转化为图象的位置关系问题，从而利用数形结合思想求解．

跟踪训练3 (1)把函数f(x)＝ln|x－a|的图象向左平移2个单位长度，所得函数在(0，＋∞)上单调递增，则a的最大值为(　　)

A．1  B．2  C．3  D．4

(2)已知函数f(x)＝|x－2|＋1，g(x)＝kx.若方程f(x)＝g(x)有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是________．