2024年数学高考大一轮复习第六章 培优课 §6.4　数列中的构造问题

§6.4　数列中的构造问题

数列中的构造问题是历年高考的一个热点内容，主、客观题均可出现，一般通过构造新的数列求数列的通项公式．

题型一　形如an＋1＝pan＋f(n)型

命题点1　an＋1＝pan＋q(p≠0，1，q≠0)

例1 (1)数列{an}满足an＝4an－1＋3(n≥2)且a1＝0，则a2 024等于(　　)

A．22 023－1   B．42 023－1

C．22 023＋1   D．42 023＋1

听课记录：______________________________________________________________

________________________________________________________________________

(2)已知数列{an}的首项a1＝1，且＝＋2，则数列{an}的通项公式为__________．

听课记录：______________________________________________________________

________________________________________________________________________

命题点2　an＋1＝pan＋qn＋c(p≠0，1，q≠0)

例2 已知数列{an}满足an＋1＝2an－n＋1(n∈N*)，a1＝3，求数列{an}的通项公式．

________________________________________________________________________

________________________________________________________________________

________________________________________________________________________

________________________________________________________________________

________________________________________________________________________

________________________________________________________________________

________________________________________________________________________

________________________________________________________________________

________________________________________________________________________

命题点3　an＋1＝pan＋qn(p≠0，1，q≠0，1)

例3 (1)已知数列{an}中，a1＝3，an＋1＝3an＋2·3n＋1，n∈N*.则数列{an}的通项公式为(　　)

A．an＝(2n＋1)·3n   B．an＝(n－1)·2n

C．an＝(2n－1)·3n   D．an＝(n＋1)·2n

听课记录：______________________________________________________________

________________________________________________________________________

(2)在数列{an}中，a1＝1，且满足an＋1＝6an＋3n，则an＝________.

听课记录：________________________________________________________________

________________________________________________________________________

思维升华

跟踪训练1 (1)在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋2n.则数列{an}的通项公式an等于(　　)

A．n·2n－1   B．n·2n

C．(n－1)·2n   D．(n＋1)·2n

(2)(2023·黄山模拟)已知数列{an}满足a1＝1，(2＋an)·(1－an＋1)＝2，设的前n项和为Sn，则a2 023(S2 023＋2 023)的值为(　　)

A．22 023－2   B．22 023－1

C．2   D．1

(3)已知数列{an}满足an＋1＝2an＋n，a1＝2，则an＝________.

题型二　相邻项的差为特殊数列(形如an＋1＝pan＋qan－1)

例4 (1)已知数列{an}满足：a1＝a2＝2，an＝3an－1＋4an－2(n≥3)，则a9＋a10等于(　　)

A．47   B．48

C．49   D．410

听课记录：______________________________________________________________

________________________________________________________________________

________________________________________________________________________

________________________________________________________________________

(2)已知数列{an}满足a1＝1，a2＝2，且an＋1＝2an＋3an－1 (n≥2，n∈N*)．则数列{an}的通项公式为an＝________.

听课记录：______________________________________________________________

________________________________________________________________________

________________________________________________________________________

思维升华 可以化为an＋1－x1an＝x2(an－x1an－1)，其中x1，x2是方程x2－px－q＝0的两个根，若1是方程的根，则直接构造数列{an－an－1}，若1不是方程的根，则需要构造两个数列，采取消元的方法求数列{an}．

跟踪训练2 若x＝1是函数f(x)＝an＋1x4－anx3－an＋2x＋1(n∈N*)的极值点，数列{an}满足a1＝1，a2＝3，则数列{an}的通项公式an＝________.

题型三　倒数为特殊数列

例5 (1)已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝(n∈N*)，则满足an>的n的最大取值为(　　)

A．7  B．8  C．9  D．10

听课记录：______________________________________________________________

________________________________________________________________________

(2)数列{an}满足an＋1＝(n∈N*)，a1＝1，则下列结论不正确的是(　　)

A.＝＋   B.是等比数列

C．(2n－1)an＝1   D．3a5a17＝a49

听课记录：______________________________________________________________

________________________________________________________________________

思维升华 两边同时取倒数转化为＝·＋的形式，化归为bn＋1＝pbn＋q型，求出的表达式，再求an.

跟踪训练3 已知函数f(x)＝，数列{an}满足a1＝1，an＋1＝f(an)(n∈N*)，则数列{an}的通项公式为____________．