2024年数学高考大一轮复习第三章 §3.2　导数与函数的单调性

§3.2　导数与函数的单调性

考试要求　1.结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系.2.能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次).3.会利用函数的单调性判断大小、求参数的取值范围等．

知识梳理

1．函数的单调性与导数的关系

2.利用导数判断函数单调性的步骤

第1步，确定函数的________；

第2步，求出导数f′(x)的________；

第3步，用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各区间上的正负，由此得出函数y＝f(x)在定义域内的单调性．

常用结论

1．若函数f(x)在(a，b)上单调递增，则当x∈(a，b)时，f′(x)≥0恒成立；若函数f(x)在(a，b)上单调递减，则当x∈(a，b)时，f′(x)≤0恒成立．

2．若函数f(x)在(a，b)上存在单调递增区间，则当x∈(a，b)时，f′(x)>0有解；若函数f(x)在(a，b)上存在单调递减区间，则当x∈(a，b)时，f′(x)<0有解．

思考辨析

判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)如果函数f(x)在某个区间内恒有f′(x)＝0，则f(x)在此区间内没有单调性．(　　)

(2)在(a，b)内f′(x)≤0且f′(x)＝0的根有有限个，则f(x)在(a，b)内单调递减．(　　)

(3)若函数f(x)在定义域上都有f′(x)>0，则f(x)在定义域上一定单调递增．(　　)

(4)函数f(x)＝x－sin x在R上是增函数．(　　)

教材改编题

1．f′(x)是f(x)的导函数，若f′(x)的图象如图所示，则f(x)的图象可能是(　　)

2．函数f(x)＝x2－2ln x的单调递减区间是(　　)

A．(0,1)   B．(1，＋∞)

C．(－∞，1)   D．(－1,1)

3．已知函数f(x)＝xsin x，x∈R，则f ，f(1)，f 的大小关系为________________．(用“<”连接)

题型一　不含参函数的单调性

例1 (1)函数f(x)＝xln x－3x＋2的单调递减区间为________．

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(2)函数f(x)＝e－xcos x，x∈(0，π)的单调递增区间为(　　)

A.   B.

C.   D.

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思维升华 确定不含参数的函数的单调性，按照判断函数单调性的步骤即可，但应注意两点，一是不能漏掉求函数的定义域，二是函数的单调区间不能用并集，要用“逗号”或“和”隔开．

跟踪训练1 已知函数f(x)＝x－ln x－.判断函数f(x)的单调性．

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题型二　含参数的函数的单调性

例2 已知函数f(x)＝(2－a)x－ln x－1，a∈R.

(1)当a＝1时，求函数y＝f(x)的单调递增区间；

(2)若a<0，设g(x)＝f(x)＋ax2，求函数g(x)的单调区间．

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思维升华 (1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论．

(2)划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为零的点和函数的间断点．

跟踪训练2 已知函数g(x)＝(x－a－1)ex－(x－a)2，讨论函数g(x)的单调性．

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题型三　函数单调性的应用

命题点1　比较大小或解不等式

例3 (1)已知a＝2πln 5，b＝5πln 2，c＝10ln π，则下列结论正确的是(　　)

A．b＞c＞a   B．a＞b＞c

C．b＞a＞c   D．c＞b＞a

(2)已知函数f(x)＝cos x＋ex＋e－x－x2，则关于x的不等式f(2x－1)<f(3＋x)的解集为(　　)

A．(－1,2)

B.

C．(－∞，－1)∪(2，＋∞)

D.∪(4，＋∞)

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命题点2　根据函数的单调性求参数

例4 已知函数f(x)＝ln x－ax2－2x(a≠0)．

(1)若f(x)在[1,4]上单调递减，求实数a的取值范围；

(2)若f(x)在[1,4]上存在单调递减区间，求实数a的取值范围．

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思维升华 由函数的单调性求参数的取值范围的方法

(1)函数在区间(a，b)上单调，实际上就是在该区间上f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立．

(2)函数在区间(a，b)上存在单调区间，实际上就是f′(x)>0 (或f′(x)<0)在该区间上存在解集．

跟踪训练3 (1)已知函数f(x)＝－ex＋2x－x3，若f(3a2)＋f(2a－1)≥0，则实数a的取值范围是________．

(2)已知函数f(x)＝－x2－3x＋4ln x在(t，t＋2)上不单调，则实数t的取值范围是________．