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    2024年数学高考大一轮复习第八章8.6 空间向量与立体几何 试卷

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    2024年数学高考大一轮复习第八章 §8.6 空间向量与立体几何

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    这是一份2024年数学高考大一轮复习第八章 §8.6 空间向量与立体几何,共8页。试卷主要包含了空间向量的有关定理,空间位置关系的向量表示等内容,欢迎下载使用。
    §8.6 空间向量与立体几何考试要求 1.了解空间向量的概念,了解空间向量的基本定理及其意义,掌握空间向量的正交分解及其坐标表示.2.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示,掌握空间向量的数量积及其坐标表示,能用向量的数量积判断向量的共线和垂直.3.理解直线的方向向量及平面的法向量,能用向量方法证明立体几何中有关线面位置关系的一些简单定理.知识梳理1.空间向量的有关概念名称定义空间向量在空间中,具有________的量相等向量方向____且模____的向量相反向量方向____且模____的向量共线向量(或平行向量)表示空间向量的有向线段所在的直线互相________的向量共面向量平行于________的向量 2.空间向量的有关定理(1)共线向量定理:对空间任意两个向量ab(b0)ab的充要条件是存在实数λ,使________________(2)共面向量定理:如果两个向量ab不共线,那么向量p与向量ab共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(xy),使p________________________.(3)空间向量基本定理如果三个向量abc不共面,那么对空间任一向量p,存在有序实数组{xyz},使得p__________________________{abc}叫做空间的一个基底.3.空间向量的数量积及运算律(1)数量积非零向量ab的数量积a·b________________________________.(2)空间向量的坐标表示及其应用a(a1a2a3)b(b1b2b3) 向量表示坐标表示数量积a·b 共线aλb(b0λR) 垂直a·b0(a0b0) |a| 夹角余弦值cosab〉=(a0b0)cosab〉=____________ 4.空间位置关系的向量表示(1)直线的方向向量:如果表示非零向量a的有向线段所在直线与直线l平行或重合,则称此向量a为直线l的方向向量.(2)平面的法向量:直线lα,取直线l的方向向量a,则向量a为平面α的法向量.(3)空间位置关系的向量表示位置关系向量表示直线lm的方向向量分别为ablmabakb(kR)lmaba·b0直线l的方向向量为u,平面α的法向量为vlαlαuvu·v0lαuvukv(kR)平面αβ的法向量分别为uvαβuvukv(kR)αβuvu·v0 常用结论1.三点共线:在平面中ABC三点共线xy(其中xy1)O为平面内任意一点.2.四点共面:在空间中PABC四点共面xyz(其中xyz1)O为空间中任意一点.思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”“×”)(1)空间中任意两个非零向量ab共面.(  )(2)空间中模相等的两个向量方向相同或相反.(  )(3)ABCD是空间中任意四点,则有0.(  )(4)若直线a的方向向量和平面α的法向量平行,则aα.(  )教材改编题1.如图,在平行六面体ABCDA1B1C1D1中,ACBD的交点为点M,设abc,则下列向量中与相等的向量是(  ) A.-abc   B.abcC.-abc   D.-abc2.如图所示,在正方体ABCDA1B1C1D1中,棱长为aMN分别为A1BAC上的点,A1MAN,则MN与平面BB1C1C的位置关系是(  ) A.相交   B.平行C.垂直   D.不能确定3.设直线l1l2的方向向量分别为a(2,2,1)b(3,-2m),若l1l2,则m________.题型一 空间向量的线性运算1 (1)在空间四边形ABCD中,(3,5,2)(7,-1,-4),点EF分别为线段BCAD的中点,则的坐标为(  )A(2,3,3)   B(2,-3,-3)C(5,-2,1)   D(5,2,-1)听课记录:________________________________________________________________________________________________________________________________________________(2)(2023·北京日坛中学模拟)在三棱柱A1B1C1ABC中,D是四边形BB1C1C的中心,且abc,则等于(  ) A.abc   B.abcC.abc   D.-abc听课记录:________________________________________________________________________________________________________________________________________________思维升华 用已知向量表示某一向量的三个关键点(1)要结合图形,以图形为指导是解题的关键.(2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义.(3)在立体几何中,三角形法则、平行四边形法则仍然成立.跟踪训练1 (1)已知a(2,3,-4)b(4,-3,-2)bx2a,则x等于(  )A(0,3,-6)   B(0,6,-20)C(0,6,-6)   D(6,6,-6)(2)如图,在长方体ABCDA1B1C1D1中,OAC的中点.化简________表示,则________. 题型二 空间向量基本定理及其应用2 (1)下列命题正确的是(  )A.若ab共线,bc共线,则ac共线B.向量abc共面,即它们所在的直线共面C.若空间向量abc不共面,则abc都不为0D.若abc共面,则存在唯一的实数对(xy),使得axbyc听课记录:__________________________________________________________________________________________________________________________________________________(2)下列说法中正确的是(  )A|a||b||ab|ab共线的充要条件B.若共线,则ABCDCABC三点不共线,对空间任意一点O,若,则PABC四点共面D.若PABC为空间四点,且有λμ(不共线),则λμ1ABC三点共线的充要条件听课记录:__________________________________________________________________________________________________________________________________________________思维升华 应用共线()向量定理、证明点共线()的方法比较三点(PAB)共线空间四点(MPAB)共面λxy对空间任一点Ot对空间任一点Oxy对空间任一点Ox(1x)对空间任一点Oxy(1xy) 跟踪训练2 (1)已知空间中ABCD四点共面,且其中任意三点均不共线,设P为空间中任意一点,若64λ,则λ等于(  )A2  B.-2  C1  D.-1(2)(2023·金华模拟)已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1,且满足xy(1xy),则||的最小值是(  )A.  B.  C.  D. 题型三 空间向量数量积及其应用3 (1)(2022·长春模拟)已知a(1,3,1)b(2,0,-4)c(3,-2,3),则a·(bc)________.听课记录:________________________________________________________________________________________________________________________________________________(2)如图,已知平行六面体ABCDA1B1C1D1中,底面ABCD是边长为1的正方形,AA12A1ABA1AD120°. 求线段AC1的长;求异面直线AC1A1D所成角的余弦值;求证:AA1BD.________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________思维升华 空间向量的数量积运算有两条途径,一是根据数量积的定义,利用模与夹角直接计算;二是利用坐标运算.跟踪训练3 (1)(2023·益阳模拟)在正三棱锥PABC中,OABC的中心,PAAB2,则·等于(  )A.  B.  C.  D.(2)(2022·营口模拟)已知A(1,2,1)B(1,5,4)C(1,3,4)求〈〉;上的投影.________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 题型四 向量法证明平行、垂直4 如图所示,在长方体ABCD A1B1C1D1中,AA1AD1ECD的中点.(1)求证:B1EAD1(2)在棱AA1上是否存在一点P,使得DP平面B1AE?若存在,求AP的长;若不存在,说明理由.________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________思维升华 (1)利用向量法证明平行、垂直关系,关键是建立恰当的坐标系(尽可能利用垂直条件,准确写出相关点的坐标,进而用向量表示涉及到直线、平面的要素)(2)向量证明的核心是利用向量的数量积或数乘向量,但向量证明仍然离不开立体几何的有关定理.跟踪训练4 如图,在直三棱柱ABCA1B1C1中,ABC90°BC2CC14,点E在线段BB1上,且EB11DFG分别为CC1C1B1C1A1的中点.(1)求证:平面A1B1D平面ABD(2)求证:平面EGF平面ABD.________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

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