2024年数学高考大一轮复习第四章 §4.9　解三角形及其应用举例

§4.9　解三角形及其应用举例

考试要求　1.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.2.能利用正弦定理、余弦定理解决三角形中的最值和范围问题.3.通过解决实际问题，培养学生的数学建模、直观想象和数学运算素养．

知识梳理

测量中的几个有关术语

思考辨析

判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)东南方向与南偏东45°方向相同．(　　)

(2)若△ABC为锐角三角形且A＝，则角B的取值范围是.(　　)

(3)从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为α＋β＝180°.(　　)

(4)俯角是铅垂线与目标视线所成的角，其范围为.(　　)

教材改编题

1.为了在一条河上建一座桥，工人施工前在河两岸打上两个桥位桩A，B(如图)，要测量A，B两点间的距离，测量人员在岸边定出基线BC，测得BC＝50 m，∠ABC＝105°，∠ACB＝45°.就可以计算出A，B两点间的距离为(　　)

A．20 m   B．30 m

C．40 m   D．50 m

2.如图所示，为测量某树的高度，在地面上选取A，B两点，从A，B两点分别测得树尖的仰角为30°，45°，且A，B两点之间的距离为60 m，则树的高度为(　　)

A．(30＋30)m   B．(15＋30)m

C．(30＋15)m   D．(15＋15)m

3．在某次海军演习中，已知甲驱逐舰在航母的南偏东15°方向且与航母的距离为12海里，乙护卫舰在甲驱逐舰的正西方向，若测得乙护卫舰在航母的南偏西45°方向，则甲驱逐舰与乙护卫舰的距离为________海里．

题型一　解三角形的应用举例

命题点1　测量距离问题

例1 (1)(2023·重庆模拟)一个骑行爱好者从A地出发，向西骑行了2 km到达B地，然后再由B地向北偏西60°骑行2 km到达C地，再从C地向南偏西30°骑行了5 km到达D地，则A地到D地的直线距离是(　　)

A．8 km  B．3 km  C．3 km  D．5 km

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(2)(2022·东北师大附中模拟)为加快推进“5G＋光网”双千兆城市建设，如图，在某市地面有四个5G基站A，B，C，D.已知基站C，D建在某江的南岸，距离为10 km；基站A，B在江的北岸，测得∠ACB＝75°，∠ACD＝120°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°，则基站A，B的距离为(　　)

A．10 km   B．30(－1)km

C．30(－1)km   D．10 km

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命题点2　测量高度问题

例2 (1)(2023·青岛模拟)如图甲，首钢滑雪大跳台是冬奥历史上第一座与工业遗产再利用直接结合的竞赛场馆，大跳台的设计中融入了世界文化遗产敦煌壁画中“飞天”的元素．如图乙，某研究性学习小组为了估算赛道造型最高点A距离地面的高度AB(AB与地面垂直)，在赛道一侧找到一座建筑物CD，测得CD的高度为h，并从C点测得A点的仰角为30°；在赛道与建筑物CD之间的地面上的点E处测得A点，C点的仰角分别为75°和30°(其中B，E，D三点共线)．该学习小组利用这些数据估算得AB约为60米，则CD的高h约为(参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.45)(　　)

A．11米  B．20.8米  C．25.4米  D．31.8米

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(2)大型城雕“商”字坐落在商丘市睢阳区神火大道与南京路交汇处，“商”字城雕有着厚重悠久的历史和文化，它时刻撬动着人们认识商丘、走进商丘的欲望．吴斌同学在今年国庆期间到商丘去旅游，经过“商”字城雕时，他想利用解三角形的知识测量一下该雕塑的高度(即图中线段AB的长度)．他在该雕塑塔的正东C处沿着南偏西60°的方向前进7米后到达D处(A，C，D三点在同一个水平面内)，测得图中线段AB在东北方向，且测得点B的仰角为71.565°，则该雕塑的高度大约是(参考数据：tan 71.565°≈3)(　　)

A．19米  B．20米  C．21米  D．22米

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命题点3　测量角度问题

例3 (1)(2023·南通模拟)图1是南北方向水平放置的圭表(一种度量日影长的天文仪器，由“圭”和“表”两个部件组成)的示意图，其中表高为h，日影长为l.图2是地球轴截面的示意图，虚线表示点A处的水平面．已知某测绘兴趣小组在冬至日正午时刻(太阳直射点的纬度为南纬23°26′)，在某地利用一表高为2 dm的圭表按图1方式放置后，测得日影长为2.98 dm，则该地的纬度约为北纬(参考数据：tan 34°≈0.67，tan 56°≈1.48)(　　)

A．23°26′   B．32°34′

C．34°   D．56°

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(2)(2023·无锡模拟)《后汉书·张衡传》：“阳嘉元年，复造候风地动仪．以精铜铸成，员径八尺，合盖隆起，形似酒尊，饰以篆文山龟鸟兽之形．中有都柱，傍行八道，施关发机．外有八龙，首衔铜丸，下有蟾蜍，张口承之．其牙机巧制，皆隐在尊中，覆盖周密无际．如有地动，尊则振龙，机发吐丸，而蟾蜍衔之．振声激扬，伺者因此觉知．虽一龙发机，而七首不动，寻其方面，乃知震之所在．验之以事，合契若神．”如图为张衡地动仪的结构图，现要在相距200 km的A，B两地各放置一个地动仪，B在A的东偏北60°方向，若A地地动仪正东方向的铜丸落下，B地东南方向的铜丸落下，则地震的位置在A地正东______km.

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思维升华 解三角形的应用问题的要点

(1)从实际问题抽象出已知的角度、距离、高度等条件，作为某个三角形的元素．

(2)利用正弦、余弦定理解三角形，得实际问题的解．

跟踪训练1 (1)某货轮在A处测得灯塔B在北偏东75°方向上，距离为12 n mile，测得灯塔C在北偏西30°方向上，距离为8 n mile.货轮由A处向正北航行到D处时，测得灯塔B在南偏东60°方向上，则下列说法正确的是(　　)

A．A处与D处之间的距离是8 n mile

B．灯塔C与D处之间的距离是16 n mile

C．灯塔C在D处的南偏西30°方向上

D．D在灯塔B的北偏西30°方向上

(2)落霞与孤鹜齐飞，秋水共长天一色，滕王阁，江南三大名楼之一，因初唐诗人王勃所作《滕王阁序》而名传千古，如图所示，在滕王阁旁的水平地面上共线的三点A，B，C处测得其顶点P的仰角分别为30°，60°，45°，且AB＝BC＝75米，则滕王阁的高度OP＝______米．

(3)如图所示，工程师为了了解深水港码头海域海底的构造，在海平面内一条直线上的A，B，C三点进行测量．已知AB＝60 m，BC＝120 m，于A处测得水深AD＝120 m，于B处测得水深BE＝200 m，于C处测得水深CF＝150 m，则cos∠DEF＝________.

题型二　解三角形中的最值和范围问题

例4 (2023·九江模拟)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知(a2＋c2－b2)＝－2absin C.

(1)求角B；

(2)若D为AC的中点，且BD＝2，求△ABC面积的最大值．

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思维升华 解三角形中最值(范围)问题的解题策略

利用正弦、余弦定理以及面积公式化简整理，构造关于某一个角或某一条边的函数或不等式，利用函数的单调性或基本不等式等求最值(范围)．

跟踪训练2 (2023·南京模拟)在①bcos＝ccos B；②2S△ABC＝·，这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并进行解答．

问题：在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且________．

(1)求角B；

(2)在△ABC中，b＝2，求△ABC周长的最大值．

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

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