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2024年数学高考大一轮复习第八章 §8.8 空间距离及立体几何中的探索性问题[培优课]
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1.(2022·佛山模拟)如图,已知长方体ABCD-A1B1C1D1,AB=6,AA1=3,∠ADB=60°,E为BD上一点且满足BE=3ED,M为C1D1上一点且满足D1M=5MC1,F为A1B1的中点.(1)证明:A,E,F,M四点共面;(2)求点A到平面BDF的距离. 2.(2023·北京模拟)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥平面ABC,AB⊥AC,AB=AC=AA1=1,M为线段A1C1上一点.(1)求证:BM⊥AB1;(2)若直线AB1与平面BCM所成的角为,求点A1到平面BCM的距离. 3.(2022·沭阳模拟)如图,在三棱锥A-BCD中,平面ABD⊥平面BCD, AB=AD,O为BD的中点.(1)证明:OA⊥CD;(2)已知△OCD是边长为1的等边三角形,且三棱锥A-BCD的体积为,若点E在棱AD上,且点D到平面BCE的距离为,求. 4.如图所示,在三棱锥P-ABC中,底面是边长为4的正三角形,PA=2,PA⊥底面ABC,点E,F分别为AC,PC的中点.(1)求证:平面BEF⊥平面PAC;(2)在线段PB上是否存在点G,使得直线AG与平面PBC所成角的正弦值为?若存在,确定点G的位置;若不存在,请说明理由. 5.(2022·北京模拟)如图,在四棱锥P-ABCD中,平面PBC⊥平面ABCD.△PBC是等腰三角形,且PB=PC=3.在梯形ABCD中,AB∥DC,AD⊥DC,AB=5,AD=4,DC=3. (1)求证:AB∥平面PCD;(2)求二面角A-PB-C的余弦值;(3)棱BC上是否存在点Q到平面PBA的距离为,若存在,求出的值;若不存在,说明理由. 6.(2023·盐城模拟)如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,E,F分别为BD和BB1的中点,P为棱C1D1上的动点.(1)是否存在点P,使得PE⊥平面EFC?若存在,求出满足条件时C1P的长度并证明;若不存在,请说明理由;(2)当C1P为何值时,平面BCC1B1与平面PEF夹角的正弦值最小.
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