山东省实验中学2023-2024学年高三上学期第一次诊断考试数学试题及答案

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山东省实验中学2024届高三第一次诊断考试

数学试题  2023.10

注意事项：

1．答卷前，先将自己的考生号等信息填写在试卷和答题纸上，并在答题纸规定位置贴条形码．

2．本试卷满分150分，分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷为第1页至第2页，第Ⅱ卷为第3页至第4页．

3．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．

4．非选择题的作答：用0.5mm黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．

第Ⅰ卷

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 已知集合，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

2. 已知复数满足，其中为虚数单位，则为（    ）

A.  B.  C.  D.

3. “”是“，成立”的（    ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

4. 设随机变量，满足：，，则（    ）

A. 4 B. 5 C. 6 D. 7

5. 设数列为等比数列，若，，则数列的前项和为（    ）

A  B.  C.  D.

6. 已知函数满足对任意，都有成立，则a的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

7. 已知函数为R上奇函数，为偶函数，则（    ）

A.  B.

C.  D.

8. 已知，，均为单位向量，满足，，，，则的最小值为（    ）

A.  B.  C.  D. -1

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9. 下列说法正确的是（    ）

A. 在研究成对数据的相关关系时，线性相关关系越强，相关系数越接近于1

B. 样本数据：27，30，37，39，40，50的第30百分位数与第50百分位数之和为68

C. 已知随机变量，若，则

D. 将总体划分为2层，通过分层随机抽样，得到两层的样本平均数和样本方差分别为和，，若，则总体方差

10. 若，则（    ）

A.  B.  C.  D.

11. 已知函数，则（    ）

A. 的图象关于原点对称 B. 的最小正周期为

C. 的图象关于直线对称 D. 的值域为R

12. 在平面直角坐标系xOy中，将函数的图象绕坐标原点逆时针旋转后，所得曲线仍然是某个函数的图象，则称为“旋转函数”，则（    ）

A. 存在“90°旋转函数”

B. “70°旋转函数”一定是“80°旋转函数”

C. 若为“45°旋转函数”，则

D. 若为“45°旋转函数”，则

第Ⅱ卷

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13. 若，则______．

14. 已知平面向量，为单位向量，且，若，则______．

15. 二项式展开式的各项系数之和被7除所得余数为______．

16. 若函数在区间恰有2个零点，则的取值范围是______．

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17. 在中，内角A，B，C对边分别为a，b，c，已知，，．

（1）求；

（2）若D为BC上一点，且，求的面积．

18. 已知数列前n项和为，且．

（1）求的通项公式；

（2）若数列满足，求数列的前2n项和．

19. 如图，某公园拟在长为8（百米）的道路OP的一侧修建一条运动跑道，跑道的前一部分为曲线段OSM，该曲线段为函数，的图象，且图象的最高点为，跑道的后一部分为折线段MNP．为保证跑步人员的安全，限定．

（1）求A，；

（2）求折线段跑道MNP长度的最大值．

20. 已知、分别为定义域为的偶函数和奇函数，且.

（1）求的单调区间；

（2）对任意实数均有成立，求实数的取值范围.

21. 某品牌女装专卖店设计摸球抽奖促销活动，每位顾客只用一个会员号登陆，每次消费都有一次随机摸球的机会．已知顾客第一次摸球抽中奖品的概率为；从第二次摸球开始，若前一次没抽中奖品，则这次抽中的概率为，若前一次抽中奖品，则这次抽中的概率为．记该顾客第n次摸球抽中奖品的概率为．

（1）求值，并探究数列的通项公式；

（2）求该顾客第几次摸球抽中奖品的概率最大，请给出证明过程．

22. 已知函数的最小值为1．

（1）求a；

（2）若数列满足，且，证明：．