2024湖南省雅礼中学高三上学期月考（二）数学含解析

大联考雅礼中学2024届高三月考试卷（二）

数学

命题人：卿科    审题人：陈朝阳  匡鈾龄

得分：___________

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共8页．时量120分钟，满分150分．

第Ⅰ卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 若，则（    ）

A.  B.  C.  D.

2. 全集，集合，，则阴影部分表示的集合是（    ）

A.  B.  C.  D.

3. 函数部分图象大致是（    ）

A.  B.

C.  D.

4. 在边长为3的正方形ABCD中，点E满足，则（     ）

A. 3 B.  C.  D. 4

5. 某校科技社利用3D打印技术制作实心模型．如图，该模型的上部分是半球，下部分是圆台．其中半球的体积为，圆台的上底面半径及高均是下底面半径的一半．打印所用原料密度为，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量约为（    ）（）

A.  B.  C.  D.

6. 已知数列为等比数列，其前n项和为，，则“公比”是“对于任意，”的（    ）

A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

7. 若存在实数a，对任意的x∈[0，m]，都有(sin x－a)·(cos x－a)≤0恒成立，则实数m的最大值为(    )

A.  B.

C.  D.

8. 已知函数定义域为R，，且在上递增，则的解集为（    ）

A.  B.

C.  D.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9. 对于实数，，，下列选项正确的是（    ）

A. 若，则 B. 若，则

C. 若，则， D. 若，，则

10. 已知函数，则下列说法正确的是（    ）

A

B. 函数的最小正周期为

C. 函数的对称轴方程为

D. 函数的图象可由的图象向右平移个单位长度得到

11. 设是公差为（）的无穷等差数列的前项和，则下列命题正确的是（    ）

A. 若，则是数列的最大项

B. 若数列有最小项，则

C. 若数列是递减数列，则对任意的：，均有

D. 若对任意的，均有，则数列是递增数列

12. 如图所示，在棱长为2的正方体中，点，分别为棱，上的动点（包含端点），则下列说法正确的是（    ）

A. 四面体的体积为定值

B. 当，分别为棱，的中点时，则在正方体中存在棱与平面平行

C. 直线与平面所成角的正切值的最小值为

D. 当，分别为棱，的中点时，则过，，三点作正方体的截面，所得截面为五边形

第Ⅱ卷

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13. 若函数的图象在处的切线斜率为3，则__________．

14. 在平面直角坐标系中，圆与轴正半轴交于点，点，在圆上，若射线平分，，则点的坐标为__________．

15. 已知函数的定义域为，是偶函数，是奇函数，则的最小值为_____________．

16. 已知菱形中，对角线，将沿着折叠，使得二面角为120°， ，则三棱锥的外接球的表面积为________.

四、解答题：本题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17. 已知正项数列的前项和为，且满足.

（1）求数列的通项公式；

（2）设，数列的前项和为，证明：.

18. 在中，角、、所对的边分别为、、，已知.

（1）求；

（2）若，的内切圆半径为，求的周长.

19. 如图，在三棱柱中，，，，，且平面．

（1）求证：；

（2）求二面角的正弦值．

20. 如图，已知椭圆上一点，右焦点为，直线交椭圆于点，且满足， ．

（1）求椭圆的方程；

（2）若直线与椭圆相交于两点，求四边形面积的最大值．

21. 如图所示，是圆锥的一部分(A为圆锥的顶点)，是底面圆的圆心，，是弧上一动点（不与、重合），满足．是的中点，．

（1）若平面，求的值；

（2）若四棱锥体积大于，求三棱锥体积的取值范围．

22. 混管病毒检测是应对单管病毒检测效率低下的问题，出现的一个创新病毒检测策略，混管检测结果为阴性，则参与该混管检测的所有人均为阴性，混管检测结果为阳性，则参与该混管检测的人中至少有一人为阳性．假设一组样本有N个人，每个人患病毒的概率相互独立且均为．目前，我们采用K人混管病毒检测，定义成本函数，这里X指该组样本N个人中患病毒的人数．

（1）证明：；

（2）若，．证明：某混管检测结果为阳性，则参与该混管检测的人中大概率恰有一人为阳性．