2024天津滨海新区大港一中高三上学期第一次月考试题数学含解析

大港一中2024届高三年级第一次形成性检测

数学试卷

一､选择题：本卷共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将所选答案填入答题纸中的答题栏内.

1. 已知全集，集合，则集合（    ）

A.  B.  C.  D.

2. 有一组样本数据如下：56，62，63，63，65，66，68，70，71，74，则其75%分位数为（    ）

A. 68 B. 69 C. 70 D. 71

3. 是函数在单调递减的（    ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要

4. 函数的图像大致为（    ）

A.    B.  

C.    D.  

5. 已知随机变量服从正态分布，若，则等于（    ）

A 0.484 B. 0.439 C. 0.878 D. 0.939

6. 已知，则的大小关系为（    ）

A.  B.

C.  D.

7. 为研究高中生爱好某项运动是否与性别有关，某校研究性学习小组采取简单随机抽样的方法调查了200名高中生，依据独立性检验，经计算得到，参照下表，得到的正确结论是（    ）

A. 有99%的高中生爱好该项运动

B. 有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”

C. 在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”

D. 在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”

8. 在三个地区暴发了流感，这三个地区分别有的人患了流感．假设这三个地区的人口数的比为，现从这三个地区中任意选取一人，则这个人患流感的概率为（    ）

A.  B.  C.  D.

9. 设函数，其中向量，，，则下列选项错误的是（    ）

A. 直线是函数的一条对称轴

B. 点是函数的一个对称中心

C. 在区间上单调递增

D. 图象上所有点的横坐标向左平移个单位长度得到的函数是偶函数

10. 设实数满足，则的最小值为（    ）

A.  B.  C.  D.

11. 已知函数有最大值，则实数取值范围为（    ）

A.  B.  C.  D.

12. 已知函数（其中a∈R），若的四个零点从小到大依次为，则的值是（    ）

A. 16 B. 13 C. 12 D. 10

二､填空题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.

13. 是虚数单位，计算__________.

14. 的展开式中，的系数为__________．

15 __________.

16. 小明上学途中共有4个红绿灯，且小明遇到每个红灯的概率均为，记某次小明上学途中遇到红灯的次数为，则小明上学途中恰好遇到两个红灯的概率为__________，__________.

17. 新冠肺炎疫情发生以来，中医药全面参与疫情防控救治，做出了重要贡献.某中医药企业根据市场调研与模拟，得到研发投入（亿元）与产品收益（亿元）的数据统计如下表：

用最小二乘法求得关于的经验回归直线方程是，当研发投入亿元时，相应的产品收益估计值为__________.

18. 某校高三1班第一小组有男生4人，女生2人，为提高中学生对劳动教育重要性的认识，现需从中抽取2人参加学校开展的劳动技能学习，恰有一名女生参加劳动学习的概率则为__________；在至少有一名女生参加劳动学习的条件下，都是女生参加劳动学习的概率______________．

19. 设函数（A，，是常数，，）．若在区间上具有单调性，且，则______．

20. 如图，在平行四边形中，，点分别在边上，且，若点为的中点，且满足，则________；当点在线段上运动时，的取值范围为________．

三､解答题：本大题共4小题，共50分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

21. 已知.

（1）求值；

（2）求的值；

（3）当是第四象限角时，求的值.

22. 在中，角的对边分别为，已知.

（1）求的值；

（2）若，且，求边长及的面积.

（3）若，求的值.

23. 已知函数（其中）.

（1）若，求在处的切线方程；

（2）讨论函数的单调性；

（3）若恒成立，求实数的取值范围.

24. 已知函数，.

（1）证明：对任意，；

（2）若函数在区间上单调递减，求实数的取值范围；

（3）是的导函数，若函数，证明：，.

大港一中2024届高三年级第一次形成性检测

数学试卷

一､选择题：本卷共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将所选答案填入答题纸中的答题栏内.

1. 已知全集，集合，则集合（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】由题意，根据补集的概念和运算可得，结合交集的概念和运算即可求解.

【详解】由，得或，

所以.

故选：C

2. 有一组样本数据如下：56，62，63，63，65，66，68，70，71，74，则其75%分位数为（    ）

A. 68 B. 69 C. 70 D. 71

【答案】C

【解析】

【分析】根据百分位数的定义计算即可.

【详解】已知数据是按照从小到大的顺序排列，

因为，

所以75%分位数为第个数据，即为.

故选：C.

3. 是函数在单调递减的（    ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要

【答案】A

【解析】

【分析】先化简函数，可得函数的单调递减区间为，进而结合充分条件、必要条件的定义判断即可.

【详解】，

显然函数的单调递减区间为，

所以时，函数在单调递减；

若函数单调递减，则，

所以是函数在单调递减的充分不必要条件.

故选：A.

4. 函数的图像大致为（    ）

A.    B.  

C.    D.  

【答案】C

【解析】

【分析】利用函数的定义域，奇偶性及其他性质判断即可.

【详解】的定义域为且，

因为，所以为奇函数，排除A，D，

当时，，B错误，

故选：C.

5. 已知随机变量服从正态分布，若，则等于（    ）

A. 0.484 B. 0.439 C. 0.878 D. 0.939

【答案】B

【解析】

【分析】先根据求解，再根据正态分布的对称性即可求解.

【详解】因为，

所以.

故选：B.

6. 已知，则的大小关系为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据对数函数的单调性和不等式的性质可得，进而得，结合对数的运算性质可得，即可求解.

【详解】由，得，

即，又，所以.

，

所以.

故选：A.

7. 为研究高中生爱好某项运动是否与性别有关，某校研究性学习小组采取简单随机抽样的方法调查了200名高中生，依据独立性检验，经计算得到，参照下表，得到的正确结论是（    ）

A. 有99%的高中生爱好该项运动

B. 有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”

C. 在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”

D. 在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”

【答案】C

【解析】

【分析】比较观测值与参照值大小，根据独立检验的基本思想确定结论即可.

【详解】由，即在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”.

故选：C

8. 在三个地区暴发了流感，这三个地区分别有的人患了流感．假设这三个地区的人口数的比为，现从这三个地区中任意选取一人，则这个人患流感的概率为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】考虑患流感的这个人可能来至于哪个地区，结合互斥事件的概率计算可得答案.

【详解】由题意得，从这三个地区中任意选取一人，则这个人可能来至于三个地区中患流感的人当中，

故这个人患流感的概率为，

故选：D

9. 设函数，其中向量，，，则下列选项错误的是（    ）

A. 直线是函数的一条对称轴

B. 点是函数的一个对称中心

C. 在区间上单调递增

D. 图象上所有点的横坐标向左平移个单位长度得到的函数是偶函数

【答案】C

【解析】

【分析】利用三角恒等变换化简函数的解析式，利用正弦型函数的对称性可判断AB选项；利用正弦型函数的单调性可判断C选项；利用三角函数图象变换可判断D选项.

【详解】由已知可得，

对于A选项，因为，

所以，直线是函数的一条对称轴，A对；

对于B选项，因为，故点是函数一个对称中心，B对；

对于C选项，当时，，

此时，函数在区间上不单调，C错；

对于D选项，图象上所有点的横坐标向左平移个单位长度得到的函数

的图象，该函数为偶函数，D对.

故选：C.

10. 设实数满足，则的最小值为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】由，结合基本不等式求解即可.

【详解】因为，

则，

当且仅当，即时取等，

所以的最小值为.

故选：B.

11. 已知函数有最大值，则实数的取值范围为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】由当时，，根据时，函数值的范围不超过列不等式求解即可.

【详解】因为当时，，

要使有最大值，则时，函数值的范围不超过

可得

解得.

故选：A.

12. 已知函数（其中a∈R），若的四个零点从小到大依次为，则的值是（    ）

A. 16 B. 13 C. 12 D. 10

【答案】C

【解析】

【分析】根据零点的定义，通过转化法、数形结合思想进行求解即可.

【详解】令，

设，图象如下图所示：

所以有，

且，

因此可得，

所以，

故选：C

二､填空题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.

13. 是虚数单位，计算__________.

【答案】
 

【解析】

【分析】根据复数的乘、除法运算可得，结合复数的几何意义即可求解.

【详解】，

.

故答案为：.

14. 的展开式中，的系数为__________．

【答案】

【解析】

【详解】,由 得,所以的系数为

点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略

(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第项，再由特定项的特点求出值即可.

(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第项，由特定项得出值，最后求出其参数.

15. __________.

【答案】

【解析】

【分析】由对数的运算性质求解即可.

【详解】原式

.

故答案为：.

16. 小明上学途中共有4个红绿灯，且小明遇到每个红灯的概率均为，记某次小明上学途中遇到红灯的次数为，则小明上学途中恰好遇到两个红灯的概率为__________，__________.

【答案】    ①.     ②.

【解析】

【分析】结合题设有，再应用二项分布的期望公式求.

【详解】由题设，小明上学途中恰好遇到两个红灯的概率为：，

又，由二项分布期望的求法可得.

故答案为：；.

17. 新冠肺炎疫情发生以来，中医药全面参与疫情防控救治，做出了重要贡献.某中医药企业根据市场调研与模拟，得到研发投入（亿元）与产品收益（亿元）的数据统计如下表：

用最小二乘法求得关于的经验回归直线方程是，当研发投入亿元时，相应的产品收益估计值为__________.

【答案】亿元

【解析】

【分析】将样本中心点的坐标代入回归直线方程，求出的值，可得出回归直线方程，再将代入回归直线方程，可得结果.

【详解】由表格中的数据可得，，

将样本中心点代入回归直线方程可得，解得，

所以，回归直线方程为，

当时，（亿元），

因此，当研发投入亿元时，相应的产品收益估计值为亿元.

故答案为：亿元.

18. 某校高三1班第一小组有男生4人，女生2人，为提高中学生对劳动教育重要性的认识，现需从中抽取2人参加学校开展的劳动技能学习，恰有一名女生参加劳动学习的概率则为__________；在至少有一名女生参加劳动学习的条件下，都是女生参加劳动学习的概率______________．

【答案】    ①.     ②.

【解析】

【分析】设表示事件“恰有一名女生参加学习”，表示事件“至少有一名女生参加劳动学习”，设表示事件“都是女生参加劳动学习”,结合组合数公式和条件概率公式，可分别求得.

【详解】设表示事件“恰有一名女生参加学习”，表示事件“至少有一名女生参加劳动学习”，设表示事件“都是女生参加劳动学习”，

则

所以

故答案为：；.

19. 设函数（A，，是常数，，）．若在区间上具有单调性，且，则______．

【答案】2

【解析】

【分析】根据函数在区间上具有单调性可得；再根据可知其图象的一条对称轴为，和其相邻的一个对称中心为，即可求得.

【详解】由函数在区间上具有单调性可知

，解得；

又，且，

所以函数关于直线对称，

由可得函数的一个对称中心为，

即其图象关于成中心对称；

所以，解得.

故答案为：2

20. 如图，在平行四边形中，，点分别在边上，且，若点为的中点，且满足，则________；当点在线段上运动时，的取值范围为________．

【答案】    ①. ##    ②.

【解析】

【分析】若点为的中点，根据平面向量的加减法的三角形法则表示，从而可求解，进而可求得；当点在线段上运动时，设，利用，表示出和，再表示出，根据的范围，即可得出结果.

【详解】若点为的中点，则

.

所以，则；

当点在线段上运动时，设，

，

又，

，

又，则，

.

故答案为：；

三､解答题：本大题共4小题，共50分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

21. 已知.

（1）求的值；

（2）求的值；

（3）当是第四象限角时，求的值.

【答案】（1）   

（2）   

（3）

【解析】

【分析】（1）利用已知条件求出，再结合差角的正切公式，即可求解.

（2）利用诱导公式化简式子即可求解.

（3）由（1）知，，结合是第四象限角可求出的值，再利用和角的余弦公式，即可求解.

【小问1详解】

若，则，显然不满足，

∴则，

∴则，

∴.

【小问2详解】

由（1）知，

∴.

【小问3详解】

由（1）知，

又∵是第四象限角，

∴解得，

∴.

22. 在中，角的对边分别为，已知.

（1）求的值；

（2）若，且，求边长及的面积.

（3）若，求的值.

【答案】（1）
   

（2）
   

（3）
 

【解析】

【分析】（1）由题意，根据正弦定理和二倍角的正弦公式化简计算即可求解；

（2）由（1），根据余弦定理求出c，利用同角三角函数的关系求出sinA，结合三角形的面积公式计算即可求解；

（3）由（1）（2）和二倍角的正、余弦公式求出cos2B、sin2B，结合两角差的正弦公式计算即可求解.

【小问1详解】

，由正弦定理得，则，

由，得，

又，所以；

【小问2详解】

由，得，由（1）知，

又，得，

即，由解得；

又，

所以；

【小问3详解】

由（1）（2）知，，则，

由，得，

所以，，

所以.

23. 已知函数（其中）.

（1）若，求在处的切线方程；

（2）讨论函数的单调性；

（3）若恒成立，求实数的取值范围.

【答案】（1）   

（2）答案见解析    （3）

【解析】

【分析】（1）当时，求出、的值，利用导数的几何意义可求得所求切线的方程；

（2）分、两种情况讨论，分析导数符号变化，由此可得出函数的增区间和减区间；

（3）由参变量分离法可得，利用导数求出函数的最大值，即可求得实数的取值范围.

【小问1详解】

解：当时，，则，所以，，，

所以，当时，在处的切线方程为，即.

【小问2详解】

解：函数定义域为，.

当时，对任意的，，此时函数的增区间为，无减区间；

当时，由可得，由可得，

此时，函数的增区间为，减区间为.

综上所述，当时，函数的增区间为，无减区间；

当时，函数的增区间为，减区间为.

【小问3详解】

解：由可得，

令，其中，则，

由可得，由可得，

所以，函数的增区间为，减区间为，

所以，，则，解得，

因此，实数的取值范围是.

24. 已知函数，.

（1）证明：对任意，；

（2）若函数在区间上单调递减，求实数的取值范围；

（3）是的导函数，若函数，证明：，.

【答案】（1）证明见解析   

（2）   

（3）证明见解析

【解析】

【分析】（1）令，利用导数证明出，即可证得结论成立；

（2）由题意可知，在上恒成立，结合参变量分离可求得实数的取值范围；

（3）先证明出，然后再证，结合不等式的基本性质可证得原不等式成立.

【小问1详解】

证明：令，其中，则，

由可得，由可得，

所以，函数的减区间为，增区间为，

所以，，故对任意的，.

【小问2详解】

解：函数在上为减函数，

故在上恒成立，

因为，，

当时，，可得，

令，其中，则，

因为，当时，即当时，，

当时，即当时，，

所以，函数在上单调递增，在上单调递减，

所以，，则，则，

所以，.

【小问3详解】

证明：，

令，其中，则且不恒为零，

所以，函数在上为增函数，所以，当时，，即，

要证当时，，先证，

令，其中，则，

所以，函数在上为增函数，即，

所以，，故原不等式得证.

【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：

（1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数；

（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；

（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.