2024天津静海区北师大实验学校高二上学期第一阶段评估试题数学含解析

这是一份2024天津静海区北师大实验学校高二上学期第一阶段评估试题数学含解析，共10页。试卷主要包含了单选题，解答题等内容，欢迎下载使用。
北师大静海实验学校2023-2024学年第一学期高二年级第一次阶段性评估数 学　试　题考试时间：120分钟    满分：150分  一、单选题（45分）1．经过，两点的直线方程为（    ）A． B． C． D．2．直线的倾斜角为（    ）A．30° B．45° C．120° D．150°3．若{，，}构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（    ）A．，，B．，， C．，， D．，，4．已知点A（1，-1），B（1，2），则直线AB的倾斜角为（    ）A．0 B． C． D．5．已知点B是A（3，4，5）在坐标平面xOy内的射影，则||＝（　　）A． B． C．5 D．56．平行六面体中，，则实数x，y，z的值分别为A． B． C． D．7．已知两点，，直线过点，若直线与线段相交，则直线的斜率取值范围是（    ）A． B．C． D． 8．直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BCA＝90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC＝CA＝CC1，则BM与AN所成角的余弦值为(　　)A． B． C． D．9．在正四面体中，棱长为2，且E是棱AB中点，则的值为A． B．1 C． D．  二、填空题（30分） 10．已知平面的一个法向量为,点在内,则到的距离      　11．如图，在正四棱锥中，，点为的中点，．若，则实数         12．已知空间向量则向量在向量上的投影向量的坐是           . 13．直线l1与直线l2：y＝3x＋1平行，又直线l1过点(3,5)，则直线l1的方程为        . 14．设两直线与.若,则     ,若,     ． 15．在空间直角坐标系中，，，且，则的最小值是        ，最大值是          .     三、解答题（75分）16．如图，在直四棱柱中，侧棱的长为3，底面是边长为2的正方形，是棱的中点.(1)证明：平面；(2)求平面与平面的夹角的正切值；(3)求点到平面的距离. 17．已知的顶点坐标分别是，，.(1)求边上的中线所在直线的方程；(2)求过点且与直线平行的直线方程；(3)若点，当时，求直线倾斜角的取值范围． 18．如图：在直三棱柱中，，，是棱的中点，是的延长线与的延长线的交点.(1)求证：平面；(2)求二面角的正弦值：(3)若点在线段上，且直线与平面所成的角的正弦值为，求线段的长.      19．如图，在三棱台中,,,侧棱平面,点是棱的中点.(1)证明:平面(2)求点到平面的距离;(3)求平面与平面的夹角的余弦值.  20．在四棱锥中，底面，且，四边形是直角梯形，且，，，，为中点，在线段上，且.  (1)求证：平面；(2)求直线PB与平面所成角的正弦值；(3)求点到PD的距离.
参考答案：1．C【分析】根据题目条件，选择两点式来求直线方程.【详解】由两点式直线方程可得： 化简得：故选：C【点睛】本题主要考查了直线方程的求法，还考查了运算求解的能力，属于基础题.2．A【分析】将直线的一般式改写成斜截式，再由斜率公式可求得结果.【详解】∵ ∴ ∴ 又∵ ∴故选：A.3．C【分析】由平面向量基本定理逐项判断可得答案．【详解】由平面向量基本定理得：对于A选项，，所以，，三个向量共面；对于B选项，，，，三个向量共面；对于C选项，则存在实数使得，则共面，与已知矛盾，因此C选项中向量不共面；对于D选项，，所以三个向量共面；故选：C．4．D【分析】由两点的横坐标相等，得出倾斜角.【详解】由题意可知，两点的横坐标相等，则直线AB的倾斜角为.故选：D5．C【分析】先求出B（3，4，0），由此能求出||．【详解】解：∵点B是点A（3，4，5）在坐标平面Oxy内的射影，∴B（3，4，0），则||＝＝5．故选：C．6．C【解析】由则因为由,根据空间向量的基本定理即可求得.【详解】,.故选:C.【点睛】本题考查空间向量的基本定理,考查向量的线性运算,考查学生的计算能力,难度较易.7．A【分析】根据直线过定点P ，画出图形，再求出，的斜率，然后利用数形结合求解.【详解】如图所示：  若直线与线段相交，则或 ，因为，，所以直线的斜率取值范围是.故选：A.【点睛】本题主要考查直线斜率的应用，还考查了数形结合的思想方法，属于基础题.8．C【详解】以C为原点，直线CA为x轴，直线CB为y轴，直线为轴，则设CA=CB=1，则，，A（1，0，0），，故，，所以，故选C.考点：本小题主要考查利用空间向量求线线角，考查空间向量的基本运算，考查空间想象能力等数学基本能力，考查分析问题与解决问题的能力. 9．A【解析】根据题意，由正四面体的性质可得：，可得，由E是棱中点，可得，代入，利用数量积运算性质即可得出.【详解】如图所示由正四面体的性质可得：可得：是棱中点故选：【点睛】本题考查空间向量的线性运算，考查立体几何中的垂直关系，考查转化与化归思想，属于中等题型.10．4【分析】解利用点到面的坐标距离公式即可求解.【详解】解：由题意得：则到平面的距离故答案为：11．4【分析】连结AC，交BD于O，以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出实数λ．【详解】解：连结AC，交BD于O，以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，设PA＝AB＝2，则A（，0，0），D（0，，0），P（0，0，），M（，0，），B（0，，0），（0，﹣2，0），设N（0，b，0），则（0，b，0），∵λ，∴﹣2，∴b，∴N（0，，0），（，，），（，0），∵MN⊥AD，∴10，解得实数λ＝4．故答案为4．【点睛】本题考查实数值的求法，考查空间向量、正四棱锥的结构牲等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．12．【分析】按照投影向量的定义，代入计算即可得到结果.【详解】因为，依题意向量在向量上的投影向量的坐标是.故答案为: 13． 【详解】∵直线l2的斜率k2＝3，l1与l2平行．∴直线l1的斜率k1＝3.又直线l1过点(3,5)，∴l1的方程为y－5＝3(x－3)，即y＝3x－4故答案为．点睛：这个题目考查了直线间的位置关系，两直线平行即斜率相等，充要条件为，两直线垂直充要条件为，知道直线的斜率和过的点，直接点斜式写出直线方程即可．14．     -7     【分析】由直线平行,得 解出方程进行检验可得 的值;由直线垂直可得,解出方程即可得 的值.【详解】解:当时, ,解得 或 当 时, 两直线重合,不符合题意.即当时, ,解得故答案为:-7; 【点睛】本题考查了直线的平行和垂直问题.一般地,对于两条直线,,.当时,; 当时,.本题的易错点在于,在平行问题中,求出的值后没有代入方程检验两直线是否重合.15．     0     8【解析】先利用空间向量数量积运算可得，再利用椭圆的参数方程求最值即可得解.【详解】解：因为，，且，所以，即，设，则 ，又，则，故答案为：0，8.【点睛】本题考查了空间向量数量积运算，重点考查了椭圆的参数方程，属中档题.16．(1)见解析(2)(3) 【分析】（1）建立以为原点，分别以的方向为轴，轴，轴正方向得空间直角坐标系，求得平面的一个法向量为，根据即可解决；（2）设平面的一个法向量为，根据空间向量方法解决面面角即可；（3）由题得，由点到平面的距离为解决即可.【详解】（1）根据题意，建立以为原点，分别以的方向为轴，轴，轴正方向得空间直角坐标系，因为侧棱的长为3，底面是边长为2的正方形，所以，因为是棱的中点，所以，所以,设平面的一个法向量为，所以，得，令，得，所以，因为,所以，因为平面，所以平面.（2）由（1）得平面的一个法向量为，由题可设平面的一个法向量为，所以，所以，所以，所以平面与平面的夹角的正切值为.（3）由（1）得平面的一个法向量为，所以，所以点到平面的距离为.所以点到平面的距离为.17．(1)(2)(3) 【分析】（1）由题意可得的中点坐标，进而可得中线的斜率，可得点斜式方程，化为一般式即可；（2）由斜率公式可得的斜率，由平行关系可得中线的斜率，可得点斜式方程，化为一般式即可；（3）由条件可得直线的斜率，可得其范围，进而可得倾斜角的范围．【详解】（1）解：，，，的中点坐标为，中线的斜率为，中线所在直线的方程为：，即；（2）解：由已知可得AB的斜率为，与直线平行的直线的斜率也为，所求直线的方程为，化为一般式可得；（3）解：可得直线AD的斜率为，直线倾斜角的取值范围为.18．(1)证明见解析；(2)；(3). 【分析】（1）在平面中构造与平行的直线，通过线线平行推证线面平行即可；（2）建立空间直角坐标系，求得平面的法向量，通过向量法求解二面角的正弦值；（3）设出点的坐标，根据已知条件以及线面角的向量求解方法，即可求得点的坐标，从而求得的长度.【详解】（1）连接交于点，连接，如下所示：因为是直三棱柱，故可得是矩形，故为的中点，又是的中点，由△△可知：也是的中点，故在△中，分别为的中点，故可得//，又面面，故//面.（2）因为是直三棱柱，故可得面，又面，则，又,故，综上可得两两垂直，故以为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系：则，由（1）知，故，则；则，设平面的法向量为，故可得，即，不妨取，则；设平面的法向量为，故可得，即，不妨取，则；设二面角的平面角为，故可得，则.即二面角的正弦值为.（3）因为在线段上，设其坐标为故可设，则点的坐标为，则；又由（2）知平面的法向量为，又直线与平面所成的角的正弦值为，故可得，整理得：，又，故可得，此时.故的长度为.19．(1)证明见解析(2)(3) 【分析】(1)根据等腰直角三角形的性质,可得,根据线面垂直的性质定理以及判定定理,可得,再结合线面垂直判定定理,可得答案.(2)利用等体积法,由三棱锥的体积等于三棱锥,可得答案;(3)建立空间直线坐标系,求两个平面的法向荲,利用向量叫夹角公式,根据面面角与法向䵣夹角的关系,可得答案.【详解】（1）在平面内,过作,且，则,在中,,易知,即,平面平面,,且平面平面,平面平面,平面.（2）取的中点，连接，则,即,且平面,在Rt中,,则,平面,且平面,,且平面平面,平面,故,由（1）易得,设到平面的距离为,由三棱锥的体积等于二棱锥,则,即.（3）以点为原点,分别以所在的直线为轴,建立空间直线坐标系，则,由点为的中点,则在平面中,取,设该平面的法向量,则,即,今,解得,故平面的一个法向量,在平面中,取,设该平面的法向量,则,即,今,解得,故平面的一个法向量,则,故平面与平面的夹角的余弦值为.20．(1)证明见解析(2)(3) 【分析】（1）构造平面，由面面平行的判定定理证明面面平行，再根据面面平行的性质可得线面平行；（2）根据题意，建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算代入计算，即可得到结果；（3）根据题意，由空间向量的坐标运算，代入计算，即可得到结果.【详解】（1）如图，取中点，连接      因为为中点，，，，所以，所以四边形为平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面，因为为中点，为中点，则，又平面，平面，所以平面，因为平面，所以平面平面，又平面，故平面．（2）  根据题意，分别以所在直线为轴，建立如图所示空间直角坐标系，由条件可得，，则，设平面的法向量为，则，解得，取，则，所以平面的一个法向量为，设直线PB与平面所成角为，则.所以直线PB与平面所成角的正弦值为.（3）由（2）可知，，所以点到PD的距离为.