湖南省长沙市麓山教育共同体2023-2024学年高一数学上学期第一次联考试题（Word版附解析）

2023-2024-1麓山共同体高一上第一次联考试卷

高一年级数学试卷

总分：150分 时量：120分钟

一､单选题（每小题5分，共40分）

1. 已知，若，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】由集合M中元素的特征，对元素进行判断.

【详解】且，则；且，则，所以.

故选：A

2. 若不等式的解集为，则实数（    ）

A. 2 B.  C. 3 D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据一元二次不等式与一元二次方程、二次函数的关系计算即可.

【详解】由题意可知和是方程的两个根，且，

利用根与系数的关系可得.

故选：B.

3. 若，则“”是“”的（    ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】C

【解析】

【分析】解法一：由化简得到即可判断；解法二：证明充分性可由得到，代入化简即可，证明必要性可由去分母，再用完全平方公式即可；解法三：证明充分性可由通分后用配凑法得到完全平方公式，再把代入即可，证明必要性可由通分后用配凑法得到完全平方公式，再把代入，解方程即可.

【详解】解法一：

因为，且，

所以，即，即，所以.

所以“”是“”的充要条件.

解法二：

充分性：因为，且，所以，

所以，

所以充分性成立；

必要性：因为，且，

所以，即，即，所以.

所以必要性成立.

所以“”是“”的充要条件.

解法三：

充分性：因为，且，

所以，

所以充分性成立；

必要性：因为，且，

所以，

所以，所以，所以，

所以必要性成立.

所以“”是“”的充要条件.

故选：C

4. 若正数x，y满足x+3y=5xy，则3x+4y的最小值是

A.  B.  C. 5 D. 6

【答案】C

【解析】

【详解】由已知可得，则，所以的最小值，应选答案C．

5. 已知方程有两个不相等的实数根，且两个实数根都大于2，则实数m的取值范围是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】令，根据二次方程根的分布可得式子，计算即可.

【详解】令

由题可知：

则，即

故选：C

6. 若关于x的不等式在时有解，则实数a的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】问题等价于当时，，数形结合求出二次函数在时的最大值即可.

【详解】不等式在时有解，

等价于当时，.

由二次函数的图象知，当时，，所以.

故选：A.

7. 若不等式对于恒成立，则实数a的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】原不等式可化为，设.只需求出在时的最小值，即可得出答案.

【详解】原不等式可化为，

设，

则，

当且仅当，且，即时，函数有最小值为2.

因为恒成立，所以.

故选：C.

8. 定义：表示集合中元素的个数，.已知集合，集合，集合，若，则的取值范围是（    ）

A.  B.

C.  D. 且

【答案】D

【解析】

【分析】由题意，，由，得或，分类讨论集合B中元素个数即可.

【详解】，，

，又，或，

方程的解为；

方程可能有0个解，2个相同的解，2个不同的解，

或或，故只需要排除，

若，①当，即时，

时方程的解为，时方程的解为，

或，成立，

②若是方程的根，则，方程的解为和，

，成立，

③若1是方程的根，则，方程的解为和，

，成立，

0不可能是方程的根，

综上所述，当且仅当或时，，

故的取值范围是且.

故选：D．

二､多选题（每小题5分，共20分，部分选对得2分，有错选得0分，全部选对得5分）

9. 已知，那么下列结论正确的是（   ）

A. 若，，则 B. 若，则

C. 若，则 D. 若，则

【答案】ACD

【解析】

【分析】利用不等式的运算性质、特殊值法分析运算判断即可得解.

【详解】选项A，∵，

∴，，

∴，故A正确；

选项B，取，，满足，

但，故B错误；

选项C，∵，∴.

又∵，由成立，则

∴，则有，∴，故C正确；

选项D，∵，∴，

∴，故D正确；

故选：ACD.

10. 下列说法中，以下是真命题的是（    ）．

A. 存在实数，使 B. 所有的素数都是奇数

C. ， D. ，

【答案】ACD

【解析】

【分析】由已知结合真命题的定义逐一验证每一选项即可.

【详解】对于A：因为方程有实数根，所以存在实数，使，所以A选项是真命题；

对于B：因为素数2不是奇数，所以B选项是假命题；

对于C：因为时有，当时有，所以，，所以C选项是真命题；

对于D：因为当时有，所以，，所以D选项是真命题.

故选：ACD.

11. “关于的不等式对恒成立”的必要不充分条件有 （    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】CD

【解析】

【分析】讨论二次项系数，求出满足条件的的范围，根据题中条件考查选项即可.

【详解】若关于的不等式对恒成立，

当时，不等式为，满足题意；

时，则必有且

解得，

故的范围为，

故“关于的不等式对恒成立”的必要不充分条件的集合必真包含集合，

考查选项知满足条件.

故选：

12. 若x，y满足，则（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】BC

【解析】

【分析】根据基本不等式或者取特值即可判断各选项的真假．

【详解】因为（R），由可变形为，，解得，当且仅当时，，当且仅当时，，所以A错误，B正确；

由可变形为，解得，当且仅当时取等号，所以C正确；

因为变形可得，设，所以，因此

，所以当时满足等式，但是不成立，所以D错误．

故选：BC．

三､填空题（每小题5分，共20分）

13. “∀x∈R，x2+2x+1＞0”的否定是_____．

【答案】

【解析】

【分析】根据全称命题“”的否定为特称命题“”即可得结果.

【详解】因为全称命题的否定是特称命题，否定全称命题时，一是要将全称量词改写为存在量词，二是否定结论，所以，命题“∀x∈R，x2+2x+1＞0”的否定是“”.

故答案为：

【点睛】本题主要考查全称命题的否定，属于简单题.全称命题与特称命题的否定与命题的否定有一定的区别，否定全称命题和特称命题时，一是要改写量词，全称量词改写为存在量词、存在量词改写为全称量词;二是要否定结论，而一般命题的否定只需直接否定结论即可.

14. 若，则的取值范围是______．

【答案】

【解析】

【分析】根据条件得到，得到取值范围.

【详解】，故，则，

又，故.

故答案为：

15. 已知正数，满足，则的最小值是______.

【答案】

【解析】

【分析】利用基本不等式求得最小值.

详解】，

当且仅当时等号成立.

故答案为：

16. 关于x的不等式的解集中恰有两个整数，则实数a的取值范围是______．

【答案】

【解析】

【分析】不等式化为，讨论与1的大小解出不等式即可得出.

【详解】关于x的不等式可化为，

当时，解得，要使解集中恰有两个整数，则，

当时，不等式化为，此时无解，

当时，解得，要使解集中恰有两个整数，则，

综上，实数a的取值范围是.

故答案为：.

四､解答题

17. 解下列不等式．

（1）．

（2）

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）结合二次函数的图像和性质，解一元二次不等式．

（2）分式不等式转化为整式不等式，解二次不等式即可.

【小问1详解】

不等式，即，解得，

所以不等式解集为.

【小问2详解】

不等式，即，

等价于，解得，

所以不等式解集为

18. 已知集合.

（1）若“”是“”充分不必要条件，求实数的取值范围；

（2）若，求实数的取值范围.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据充分不必要条件可以得出，再列出不等式组计算即可.

（2）分和两种情况分类讨论集合间关系列不等式求解即可.

【小问1详解】

由题意，，解得，

.

由“”是“”的充分不必要条件，得，

则且等号不能同时取到，解得，

故实数的取值范围为.

【小问2详解】

当时，得，即，符合题意；

当时，得，即，

由，得或，解得或，

或；

综上所述，实数的取值范围为.

19. 已知，.

（1）若不等式恒成立，求的最大值；

（2）若，求的最小值.

【答案】（1）12；    （2）4.

【解析】

【分析】（1）对给定不等式分离参数，再利用1的妙用求出最小值作答.

（2）变形给定等式，利用均值不等式建立并解一元二次不等式作答.

【小问1详解】

因为，，则，

而，当且仅当，即时取等号，

依题意，不等式恒成立，于是

所以m的最大值为12.

【小问2详解】

若，，，则，

当且仅当，即，时取等号，

于是，而，解得，

所以的最小值为4.

20. 某小区要建一座八边形的休闲小区，它的主体造型的平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的十字形地域，四个小矩形加一个正方形面积共为200平方米．计划在正方形MNPQ上建一座花坛，造价为每平方米4200元，在四个相同的矩形上（图中阴影部分）铺设花岗岩地坪，造价为每平方米210元，再在四个角上铺设草坪，造价为每平方米80元．

（1）设AD长为x米，总造价为S元，试建立S关于x的函数关系式；

（2）问：当x为何值时S最小，并求出这个S最小值.

【答案】（1）   

（2），118000元

【解析】

分析】（1）根据题意，建立函数关系式即可；

（2）根据题意，由（1）中的函数关系式，结合基本不等式即可得到结果.

【小问1详解】

由题意可得，，且，则，

则

【小问2详解】

由（1）可知，

当且仅当时，即时，等号成立，

所以，当米时，元.

21. 解关于的不等式: .

【答案】答案见解析

【解析】

【分析】分成，，，，几种情况分别讨论不等式的解集；

【详解】原不等式可化为..

（1）当时，有.

（2）当时， 式，∵，

①当时，，∴.

②当时，，，此时解集为.

③ 当时，.∴.

（3）当时，式，∵，∴.∴或.

综上所述，原不等式的解集为:

当时，为或；

当时，为；

当时，为；

当时，为；

当时，为.

22. 已知一元二次函数的图像与轴有两个不同的交点,其中一个交点的坐标为且当时,恒有

(1)求出不等式的解(用表示)；

(2)若以二次函数的图像与坐标轴的三个交点为顶点的三角形的面积为8,求的取值范围；

(3)若不等式对所有恒成立,求实数的取值范围.

【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】

【分析】（1）利用求得关于表达式，进而求得不等式的解集.

（2）根据（1）求得三个交点的坐标，利用面积列方程，求得的表达式，进而求得的取值范围.

（3）根据（1）中求得的表达式化简不等式.对分成三种情况进行分类讨论，由此求得的取值范围.

【详解】（1）依题意可知，即①，由，故①式可化为.所以.令，解得，.由于当时，恒有，所以.令，解得.所以不等式的解集为.

（2）结合（1）可知，三个交点的坐标为，且.根据三角形的面积得，化简得，时等号成立，故的取值范围是.

（3）由于，所以不等式可化为②.

当时，②成立.

当时，②可化为，而，所以.

当时，②可化为，而，所以.

综上所述，的取值范围是.

【点睛】本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查基本不等式的运用，考查不等式恒成立问题的求解，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题.