湖南省长沙市周南中学2023-2024学年高二数学上学期第一次阶段考试试题（Word版附解析）

周南教育集团2023年下学期高二年级第一阶段考试

数学试卷

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 已知，则x的值为（    ）

A. 2 B. 4 C. 6 D. 8

【答案】D

【解析】

【分析】根据对数的定义运算求解.

【详解】∵，则.

故选：D.

2. 某读书会有6名成员，寒假期间他们每个人阅读的书本数分别如下：3，2，5，4，3，1，则这组数据的75%分位数为（    ）

A. 3 B. 4 C. 3.5 D. 4.5

【答案】B

【解析】

【分析】这组数从小到大排列顺序为：1，2，3，3，4，5，根据，结合百分数的定义，即可求解.

【详解】由题意，这组数从小到大排列顺序为：1，2，3，3，4，5，

由，可得这组数据的75%分位数为从小到大排列的第5个数为4.

故选：B.

3. 已知直线与直线垂直，垂足为，则的值为（    ）

A. －6 B. 6 C. 4 D. 10

【答案】A

【解析】

【分析】

由已知条件中两直线垂直可以求出的值,再由垂足在两条直线上可得和的二元一次方程组,求解出和的值,即可求出的值.

【详解】因为直线与直线垂直,所以,解得,又垂足为,代入两条直线方程可得,解得,,

则.

故选

【点睛】本题考查了两条直线的位置关系,需要掌握两条直线平行或垂直时其直线方程一般式的系数关系,本题较为基础.

4. 已知圆柱底面半径和母线长均为分别为圆､圆上的点，若，则异面直线所成的角为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】在圆的投影为，连接，计算，根据余弦定理得到，得到答案.

【详解】如图所示：在圆的投影为，连接，易知，

在直角中，，

在中，根据余弦定理，，

，故，

故异面直线所成的角为.

故选：C.

5. 如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝2，点E是棱AB的中点，则点E到平面ACD1的距离为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】以D坐标原点， ，分别为x轴，y输、z轴正方向建立空间直角坐标系，用向量法求解.

【详解】如图，

以D为坐标原点， ，分别为x轴，y输、z轴正方向建立空间直角坐标系，则．从而.

设平面的法向量为，则，即，得，

令，则，所以点E到平面的距离为．

故选：C

6. 某高校在2019年新增设的“人工智能”专业，共招收了两个班，其中甲班30人，乙班40人，在2019届高考中，甲班学生的平均分为665分，方差为131，乙班学生平均分为658分，方差为208．则该专业所有学生在2019年高考中的平均分和方差分别为（    ）

A. 661.5，169.5 B. 661，187 C. 661，175 D. 660，180

【答案】B

【解析】

【分析】先求出总体均值，再利用分层抽样的方差公式即可得解．

【详解】由题意甲的平均值为，方差为，

乙的平均值是，方差为，

则总体平均值为，

方差为．

故选：B．

7. 在中，内角的对边分别为．若的面积为，且，，则外接圆的面积为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】由条件结合面积公式与余弦定理可得，即，再根据正弦定理可得外接圆的半径，从而得到外接圆的面积.

【详解】在中，由余弦定理得，既有，又由面积公式，得，又，故，所以．因为，所以，又由正弦定理，其中为外接圆的半径，由及，得 ，所以外接圆的面积

故选：D

8. 设函数，若对于任意实数，在区间上至少有2个零点，至多有3个零点，则的取值范围是（　　）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】，只需要研究的根的情况，借助于和的图像，根据交点情况，列不等式组，解出的取值范围.

【详解】令，则

令，则

则问题转化为在区间上至少有两个，至少有三个t，使得，求的取值范围.

作出和的图像，观察交点个数，

可知使得的最短区间长度为2π，最长长度为，

由题意列不等式的：

解得：.

故选：B

【点睛】研究y=Asin(ωx+φ)+B的性质通常用换元法（令），转化为研究的图像和性质较为方便.

二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．

9. 下列说法正确的是（    ）

A. 直线与两坐标轴围成的三角形的面积是2

B. 直线在轴上的截距是3

C. 过两点的直线方程为

D. 点关于直线的对称点为

【答案】AD

【解析】

【分析】A确定直线在坐标轴上截距，再求面积即可判断；B由直线斜截式即可判断；C根据两点式使用前提判断；D检验对称点的满足条件即可判断.

【详解】A：由直线易得，其在x、y轴截距分别为，

故该直线与坐标轴所围成三角形面积为，对；

B：由直线斜截式可知，轴上的截距是，错；

C：仅当时，直线才能表示为，错；

D：因为点与点的中点为，代入直线，显然满足；

又经过点与点的直线的斜率为，而直线的斜率为，所以这两直线互相垂直；

所以点关于直线的对称点为，对.

故选：AD

10. 关于直线，与平面，，以下四个命题中真命题是

A. 若，且，则 B. 若，且，则

C. 若，且，则 D. 若，且，则

【答案】BC

【解析】

【分析】

根据线面垂直的性质定理和线面平行的性质定理，对四个结论逐一进行分析，易得到答案．

【详解】解：若，且，则，可能平行也可能异面，也可以相交，故A错误；

若，且，则，一定垂直，故B正确；

若，且，则，一定垂直，故C正确；

若，且，则，可能相交､平行也可能异面，故D错误

故选：BC．

【点睛】考查线线平行与垂直的判定，基础题.

11. 下列命题正确的有（    ）．

A.

B. 若，把向右平移2个单位，得到的向量的坐标为

C. 在中，若点满足，则点是的重心

D. 在中，若，则点的轨迹经过的内心

【答案】ACD

【解析】

【分析】选项A利用向量的加减法运算判定；选项B利用向量的坐标表示判定；选项C利用三角形重心的向量表示判定；选项D根据条件得点在的角平分线上，从而有点的轨迹经过的内心.

【详解】选项A：因为，所以选项A正确；

选项B：若，把向右平移2个单位，得到的向量的坐标依然是，故选项B错误；

选项C：由三角形的重心的向量表示可知，若点满足，则点是的重心，故选项C正确；

选项D：在中，若，则点在的角平分线上，所以点的轨迹经过的内心，故选项D正确；

故选：ACD.

12. 如图，在边长为2的正方形 中，E，F分别是 的中点，D是EF的中点，将 分别沿SE，SF折起，使 两点重合于G，下列说法正确的是（    ）

A. 若把 沿着EF继续折起， 与G恰好重合

B.  

C. 四面体 的外接球体积为

D. 点G在面SEF上的射影为△SEF的重心

【答案】ABC

【解析】

【分析】根据，可说明 与G恰好重合，判断A;根据线面垂直的性质定理可判断B;将四面体 补成长方体，可求得其外接球半径，进而求得外接球体积，判断C;根据线面垂直证明线线垂直，说明点G在面SEF上的射影为三角形的高的交点，判断D.

【详解】对于A，因为，故把沿着继续折起，与恰好重合，正确；

对于B,因为,D是EF的中点，故;

又，故平面GEF,

而平面GEF,故,又平面SGD,

所以平面，平面,所以正确；

对于，由翻折的性质可知，两两垂直，

将其补成相邻三条棱长为1,1,2的长方体，则长方体外接球和四面体外接球相同，

其体对角线长，所以长方体外接球的半径为，

故外接球的体积为，故正确；

对于D，因为两两互相垂直，故平面GEF,则,

设P为点G在平面SEF上的射影，连接EP,SP,则 ,

而平面SGP,故平面SGP, 平面SGP,

故，同理可证,即点P为三角形高线的交点，

所以点在平面上的射影为的垂心，故D错误，

综上，正确答案为ABC，

故选：ABC

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13. 已知，，若，则的最大值为_________

【答案】

【解析】

【分析】利用基本不等式，代入方程中，即可求解.

【详解】正数，满足，

，即，

解得，

故，当且仅当时取等号．

的最大值为，

故答案为：4

14. 已知直线过点，且点到直线的距离为2，则直线的方程为________________．

【答案】或

【解析】

【分析】分直线斜率存在和不存在两种情况讨论，利用点到直线的距离公式即可得出答案.

【详解】当直线l斜率不存在时，可得直线l的方程为，满足题意；

当直线斜率存在时，可设直线的方程为，即，

因为点到直线l的距离是2，则，解得.

所以直线的方程为，

综上所述，直线l的方程为或.

故答案为：或.

15. 已知在平行六面体中，若同一顶点为端点的三条棱长都等于1，且彼此的夹角都是60°，则此平行六面体的对角线的长为___________.

【答案】

【解析】

【分析】根据题意首先画出图形，并设，，，然后根据三角形法则，用、

、表示，然后根据向量模的计算公式和向量的数量积运算，即可求解.

【详解】如图所示，

设，，，则，两两向量之间的夹角都为，

又，两边同时平方得：

，

，即的长为

故答案为：.

16. 若函数的图象上存在两点，关于点对称，则直线的方程是______．

【答案】

【解析】

【分析】首先根据方程形式，设出点的坐标，再根据中点坐标公式，即可求得两点坐标，再计算直线方程.

【详解】根据题意，设，，

因为线段的中点是，

所以，整理得，

所以，为方程的根，解得，

所以，或，．

由两点式得直线的方程为．

故答案为：

四、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17. 在中，，，，D为BC三等分点（靠近B点）．

（1）求的值；

（2）若点P满足，求的最小值，并求此时的．

【答案】（1）   

（2），此时

【解析】

【分析】（1）将和分别用，线性表示，再进行数量积运算即可；

（2）建立如图所示的坐标系，设，利用向量数量积的坐标表示将所求式子表示为关于的函数，进而求结果.

【小问1详解】

因为，

所以

【小问2详解】

如图建立直角坐标系，则，，

令

所以，

∴

∴当时，，

此时

18. 已知直线，.

（1）当时，直线过与的交点，且它在两坐标轴上的截距相反，求直线的方程；

（2）若坐标原点到直线的距离为，判断与的位置关系.

【答案】（1）或；（2）或

【解析】

【详解】试题分析：（1）联立解得与的交点为（-21，-9），当直线过原点时，直线的方程为；当直线不过原点时，设的方程为，将（-21，-9）代入得，解得所求直线方程（2）设原点到直线的距离为，则，解得：或，分情况根据斜率关系判断两直线的位置关系;

试题解析：

解：（1）联立解得即与的交点为（-21，-9）.

当直线过原点时，直线的方程为；

当直线不过原点时，设的方程为，将（-21，-9）代入得，

所以直线的方程为，故满足条件的直线方程为或.

（2）设原点到直线的距离为，

则，解得：或，

当时，直线的方程为，此时；

当时，直线的方程为，此时.

19. 已知函数．

（Ⅰ）求函数在区间上的值域．

（Ⅱ）在中，角A，B，C，所对的边分别是a，b，c，若角C为锐角，，且，求面积的最大值．

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）

【解析】

【分析】（Ⅰ）利用差角的正弦公式、辅助角公式化简函数，结合正弦函数的性质，可得函数在区间，上的值域；

（Ⅱ）先求出，再利用余弦定理，结合基本不等式，即可求得面积最大值．

【详解】解：（Ⅰ）

，

由，有，所以

函数的值域为．

（Ⅱ）由，有，

为锐角，，．

，由余弦定理得：，

，．

，

当，即为正三角形时，的面积有最大值．

20. 为了普及垃圾分类知识，某校举行了垃圾分类知识考试，试卷中只有两道题目，已知甲同学答对每题的概率都为p，乙同学答对每题的概率都为q（），且在考试中每人各题答题结果互不影响．已知每题甲、乙两人同时答对的概率为，恰有一人答对的概率为．

（1）求p和q的值；

（2）求甲、乙两人共答对3道题的概率．

【答案】（1），   

（2）

【解析】

【分析】（1）利用独立、互斥事件概率公式得到方程组求解；

（2）先求出甲、乙答对题目数为0、1、2的概率，再由甲乙总共答对3道题，等价于甲答对2道题乙答对1道题或甲答对1道题乙答对2道题，利用独立、互斥事件概率公式计算求得.

【小问1详解】

设A：甲同学答对第一题，B：乙同学答对第一题，则，．

设C：甲、乙两人均答对第一题，D：甲、乙两人恰有一人答对第一题，

则，．

∵甲、乙两人答题互不影响，且每人各题答题结果互不影响，

∴A与B相互独立，与互斥，

∴,．

由题意得解得或

∵，∴，．

【小问2详解】

设：甲同学答对了i道题，:乙同学答对了i道题，．

由题意得，，，．

设E：甲、乙两人共答对3道题，则，

∴，

∴甲、乙两人共答对3道题的概率为．

21. 如图，在三棱柱中，侧面为正方形，平面平面，，M，N分别为，AC的中点．

（1）求证：平面；

（2）若，求直线AB与平面BMN所成角的正弦值．

【答案】（1）证明见解析   

（2）

【解析】

【分析】（1）作辅助线，得到线线平行，进而得到线面平行；

（2）由面面垂直得到线面垂直，建立空间直角坐标系，利用空间向量进行求解

【小问1详解】

证明：取AB的中点为K，连接MK，NK，

由三棱柱可得四边形为平行四边形，

而，，则，

而平面，平面，故平面，

而，，则，同理可得平面，

而，NK，平面MKN，

故平面平面，而平面MKN，

故平面；

【小问2详解】

因为侧面为正方形，故，

而平面，平面平面，

平面平面，故平面，

因为平面，所以，

因为，故平面，

因为平面，故，

又，而，，

故平面MNK，而平面MNK，故，

所以，故两两垂直，

故可建立如所示的空间直角坐标系，则，，，，

故，，，

设平面BNM的法向量为，

则，从而，取，则，

设直线AB与平面BNM所成的角为，则

．

22. 已知函数，在区间上有最大值4，最小值1，设．

（1）求的值；

（2）不等式在上恒成立，求实数的取值范围；

（3）方程有三个不同的实数解，求实数k的取值范围

【答案】（1）； （2）； （3）.

【解析】

【分析】（1）根据题意，结合二次函数的图象与性质，列出方程组，即可求解；

（2）由题意得到，根据转化为在上恒成立，结合二次函数的性质，即可求解；

（3）化简得到，令，得到，根据题意转化为方程有两个根且，结合二次函数的性质，即可求解.

【详解】（1）由题意，函数，可得对称轴为，

当时，在上为增函数，可得，即，

解得；

当时，在上为减函数，可得，即，

解得，

因为，所以.

（2）由（1）可得，所以，

方程化为，所以，

令，则，

因为，可得，令，

当时，可得，所以，即实数的取值范围是.

（3）方程，可化为，

可得且，

令，则方程化为，

方程有三个不同的实数解，

所以由的图象知，

方程有两个根且，

记，则或，

解得，

综上所述，实数的取值范围是.