人教版数学八年级下册同步精品讲义第15课 变量与函数（2份打包，原卷版+教师版）

第15课  变量与函数

知识点01  变量、常量的概念

在一个变化过程中，我们称      的量为变量.数值      的量叫做常量.

【注意】：

一般地，常量是       的量，变量是      的量，这些都是针对某个变化过程而言的.例如，，速度60千米/时是      ，时间和里程为       .

【通俗解读】：

常量为数值（或已知数值的字母，如       ），变量为不是数值的字母（或不知数值的字母）。找变量和常量，即等式中的数字记为常量，等式中不知数值的字母即为变量。例如，中，常量为      ，变量为       。

知识点02  函数的定义

一般地，在一个变化过程中. 如果有两个变量与，并且对于的      ，都有       与其对应，那么我们就说 是自变量，是的函数.

【注意】：

对于函数的定义，应从以下几个方面去理解：

　　（1）函数的实质，揭示了两个变量之间的对应关系；

　　（2）对于自变量的取值，必须要使代数式有实际意义；

　　（3）判断两个变量之间是否有函数关系，要看对于允许取的每一个值，是否都有唯一确定的值与它相对应.

　　（4）两个函数是同一函数至少具备两个条件：

①函数关系式相同（或变形后相同）；

②自变量的取值范围相同.

否则，就不是相同的函数.而其中函数关系式相同与否比较容易注意到，自变量的取值范围有时容易忽视，这点应注意.

【通俗解读】：

（1）函数关系，实质是两个变量的      （即一个      方程）；这是二元一次方程的一种转化理解，例如二元一次方程，这个二元一次方程有      组解，这无数组解的x和y，分别作为平面直角坐标系中点的      ，那个我们即可得到      个点，这些点就能连成一条直线，即可得到函数的图像；

（2）两个变量是否是函数关系，定义“对于x的每一个确定的值， 都有唯一确定的y值与其对应”的含义是：在自变量x与因变量y的等式中（即二元一次方程），给定一个x的值，是否只能解得一个y值，如果只能得到      个y值，那么y是x 的函数，如果解得        y值，那么y不是x的函数；

例如，，当x=1时，，此种情况即不满足定义“对于x的每一个确定的值， 都有唯一确定的y值与其对应”，因此y不是x的函数；

知识点03  函数值

是的函数，如果当＝时＝，那么     叫做当自变量为时的函数值.

【注意】：

对于每个确定的自变量值，函数值是       ，但反过来，可以不唯一，即一个函数值对应的自变量可以是多个.比如：中，当函数值为4时，自变量的值为±2.

【通俗解读】：

函数值即为自变量x取一个值时，因变量y的值，即函数值表示因变量y的值；

例如：x与y满足，当，函数值即为将代入，得          ；

知识点04  自变量取值范围的确定

使函数有意义的自变量的取值的全体实数叫自变量的取值范围.（当自变量为x时，求使得该等式有意义的x的取值范围）

【注意】：

自变量的取值范围的确定方法：

首先，要考虑自变量的取值必须使解析式有意义：

　　（1）当解析式是整式时，自变量的取值范围是                               ；

　　（2）当解析式是分式时，自变量的取值范围是                               ；

　　（3）当解析式是二次根式时，自变量的取值范围是                          ；

    （4）当解析式中含有零指数幂或负整数指数幂时，自变量的取值应使相应的                ；

　　（5）当解析式表示实际问题时，自变量的取值必须使实际问题有意义.

知识点05  函数的几种表达方式

变量间的单值对应关系有多种表示方法，常见的有以下三种：

（1）解析式法：用来表示函数关系的           叫做函数关系式，也称函数的解析式.

（2）列表法：函数关系用一个表格表达出来的方法.

（3）图象法：用图象表达两个变量之间的关系.

【注意】：

函数的三种表示方法各有不同的长处.解析式法能揭示出变量之间的内在联系，但较抽象，不是所有的函数都能列出解析式；列表法可以清楚地列出一些自变量和函数值的对应值，这会对某些特定的数值带来一目了然的效果，例如火车的时刻表，平方表等；图象法可以直观形象地反映函数的变化趋势，而且对于一些无法用解析式表达的函数，图象可以充当重要角色.

【通俗解读】：

（1）解析式法即为自变量与因变量的等式，即为二元一次方程；图像法即为解二元一次方程的无数组解，将每一组解的x和y作为点的横坐标与纵坐标，描点，即可得出函数图像；

（2）求函数解析式，即求自变量x与因变量y的等式，即列出一个二元一次方程，因变量放在等式左侧（系数为1），其他项放在等式右侧；

知识点06  函数的图象

对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象.

【注意】：

由函数解析式画出图象的一般步骤：列表、描点、连线.列表时，自变量的取值范围应注意兼顾原则，既要使自变量的取值有一定的代表性，又不至于使自变量或对应的函数值太大或太小，以便于描点和全面反映图象情况.

考法01   变量与常量辨析

【典例1】寒冷的冬天里我们在利用空调制热调控室内温度的过程中，空调的每小时用电量随开机设置温度的高低而变化，这个问题中自变量是（       ）

A．每小时用电量 B．室内温度 C．设置温度 D．用电时间

【即学即练】下列关于圆的面积S与半径R之间的关系式S中，有关常量和变量的说法正确的是（          ）

A．S，是变量，是常量 B．S，，R是变量，2是常量

C．S，R是变量，是常量 D．S，R是变量，和2是常量

【即学即练】一个长方体的高为5，底面的宽为a，底面的长是宽的2倍，则这个长方体的体积V可以表示为，其中的自变量是（       ）

A． B． C． D．

【即学即练】一本笔记本5元，买本共付元，则5和分别是（       ）

A．常量，常量 B．变量，变量

C．常量，变量 D．变量，常量

【即学即练】在利用太阳能热水器来加热水的过程中，热水器里的水温随所晒时间的长短而变化，这个问题中因变量是（　　）

A．太阳光强弱 B．水的温度 C．所晒时间 D．热水器

考法02  函数的判断

【典例2】下列各曲线表示的y与x的关系中，y是x的函数的是（     ）

A． B． C． D．

【即学即练】下列各图给出了变量x与y之间的对应关系，其中y是x的函数的是（       ）

A．B．C． D．

【典例3】下列关于变量x，y的关系，其中y不是x的函数的是（　　）

A． B．

C． D．

【典例4】下列关系式中y不是x的函数是（          ）

A． B．

C． D．

【典例5】下列变量之间的关系不是函数关系的是（       ）

A．长方形的宽一定，其长与面积 B．正方形的周长与面积

C．等腰三角形的底边与面积 D．速度一定时，行驶的路程与时间

【即学即练】下列变量之间的关系不是函数关系的是（       ）

A．长方形的宽一定，其长与面积

B．正方形的周长与面积

C．等腰三角形的底边与面积

D．圆的面积与圆的半径

考法03  函数值

【典例6】当时，函数的值是（       ）

A． B． C．2 D．1

【即学即练】根据流程图中的程序，当输入数值为-6时，输出数值为（ ）

A．2 B．8 C．-8 D．-2

【即学即练】某商场降价销售一批名牌球鞋，已知所获利润y（元）与降价金额x（元）之间满定函数关系式y＝﹣x2＋50x＋600，若降价10元，则获利为（       ）

A．800元 B．600元 C．1200元 D．1000元

【即学即练】变量x与y之间的关系是，当时，自变量x的值是（       ）

A．13 B．5 C．2 D．3

【典例7】根据如图所示的程序计算函数y的值，若输入x的值为4时，输出的y的值为7，则输入x的值为2时，输出的y的值为（       ）

A．1 B．2 C．4 D．5

【典例8】函数的图象过点（       ）．

A． B． C． D．

【即学即练】在平面直角坐标系xOy中, 下列函数的图像过点（-1，1）的是（     ）

A． B． C． D．

【典例9】已知函数，则当x＝2时，函数值y等于（       ）

A．5 B．6 C．7 D．8

【典例10】若函数y=，则当函数值y=9时，自变量x的值是（       ）

A． B．3 C．3或 D．3或

考法04  自变量的取值范围

【典例11】函数的自变量x的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

【即学即练】已知函数，则自变量的取值范围是（　　）

A． B．﹣1且 C． D．

【即学即练】某水库的水位高度y（米）与时间x（小时）满足关系式：，则下列说法错误的是（       ）

A．时间是自变量，水位高度是因变量 B．y是变量，它的值与x有关

C．x可以取任意大于零的实数 D．当时，

考法05  求函数解析式

【典例12】小明以的速度匀速前进，则他行走的路程与时间之间的函数关系式是（       ）

A． B． C． D．

【即学即练】从地向地打长途，不超过3分钟，收费2.4元，以后每超过一分钟加收一元，若通话时间分钟，则付话费元与分钟函数关系式是（       ）．

A． B． C． D．

【即学即练】把一个长为8，宽为3的长方形的宽增加x(0≤x＜5)，长不变，所得长方形的面积y关于x的表达式为（     ）

A．y＝8x B．y＝8x＋24 C．y＝24－x D．y＝8x－24

【即学即练】某商场存放处每周的存车量为5000辆次，其中自行车存车费是每辆1元/次，电动车存车费是每辆2元/次，若自行车的存车量为辆次，存车的总收入为元，则与之间的关系式是（       ）

A． B．

C． D．

【即学即练】某农场有耕地公顷，拖拉机需要小时耕完，则未耕地的面积（公顷）与拖拉机耕地的时间（小时）间的关系式是（       ）

A． B． C． D．

【即学即练】油箱装满30升油，油从油箱的管道均匀流出，90分钟可以流尽．那么油箱中剩油量y（升）与流出时间x（分钟）之间的表达式是（　　）

A． B． C． D．

【即学即练】已知一个等腰三角形的腰长为x，底边长为y，周长是10，则底边y关于腰长x之间的函数关系式及定义域为（　　）

A．y＝10﹣2x（5＜x＜10） B．y＝10﹣2x（2.5＜x＜5）

C．y＝10﹣2x（0＜x＜5） D．y＝10﹣2x（0＜x＜10）

题组A  基础过关练

1．在球的体积公式中，下列说法正确的是（        ）

A．、、是变量，为常量 B．、是变量，为常量

C．、是变量，、为常量 D．、是变量，为常量

2．骆驼被称为“沙漠之舟”，它的体温随时间的变化而发生较大的变化．在这一问题中，自变量是(       )

A．时间 B．骆驼 C．沙漠 D．体温

3．下列图象中，表示y不是x的函数的是（             ）

A．B．C．D．

4．关于变量x，y有如下关系：①x-y=5；②y2=2x；③：y=|x|；④y=．其中y是x函数的是（　　）

A． B． C． D．

5．若有意义，则x的取值范围是　　

A．且 B． C． D．

6．一辆汽车从甲地以50 km/h的速度驶往乙地，已知甲地与乙地相距150 km，则汽车距乙地的距离s(km)与行驶时间t(h)之间的函数解析式是(　　)

A．s＝150＋50t(t≥0) B．s＝150－50t(t≤3) C．s＝150－50t(0＜t＜3) D．s＝150－50t(0≤t≤3)

7．李大爷要围成一个矩形菜园，菜园的一边利用足够长的墙，用篱笆围成的另外三边总长应恰好为24米．要围成的菜园是如图所示的矩形ABCD．设BC边的长为x米，AB边的长为y米，则y与x之间的函数关系式是(        )

A．y=-2x+24(0<x<12) B．y=-x+12(0<x<24)

C．y=2x-24(0<x<12) D．y=x-12(0<x<24)

8．变量x与y之间的关系是，当自变量时，因变量y的值是   

A． B．3 C． D．15

9．已知函数y＝ 当x＝2时，函数值y为()

A．5 B．6 C．7 D．8

10．若函数，则当函数值y＝8时，自变量x的值是（　　　）

A．± B．4 C．±或4 D．4或－

题组B  能力提升练

11．函数中自变量x的取值范围是______．

12．函数y＝－x2＋4，当函数值为－4时，自变量x的取值为________，当函数值为4时，自变量x的取值为________．

13．根据如图所示的计算程序计算变量y的对应值，若输入变量x的值为﹣，则输出的结果为_____

14．根据如图所示的程序计算函数y的值，若输入的x值是4或7时，输出的y值相等，则b等于(        )

15．地面温度为15 ºC，如果高度每升高1千米，气温下降6 ºC，则高度h(千米)与气温t(ºC)之间的关系式为___________

16．长方形的周长为，其中一边长为，面积为，则与的关系可表示为___.

17．用每片长6cm的纸条，重叠1cm粘贴成一条纸带，如图．纸带的长度y（cm）与纸片的张数x之间的函数关系式是___________________

18．等腰三角形的周长为20cm，设腰长为xcm，底边长为ycm，那么y与x之间的函数解析式是_______，其中自变量x的取值范围是_______．

题组C  培优拔尖练

19．已知函数y＝.求：

(1)当x＝1和x＝－1时的函数值；

(2)当x为何值时，函数y分别等于1，－1.

20．我县出租车车费标准如下：2千米以内(含2千米)收费4元；超过2千米的部分每千米收费1.5元.

（1）写出收费y（元）与出租车行驶路程x（km）(x＞2)之间的关系式；

（2）小明乘出租车行驶6km，应付多少元?

（3）小颖付车费16元，那么出租车行驶了多少千米?

21．如图，长方形ABCD中，AB=4，BC=8．点P在AB上运动，设PB=x，图中阴影部分的面积为y．

（1）写出阴影部分的面积y与x之间的函数解析式和自变量x的取值范围；

（2）点P在什么位置时，阴影部分的面积等于20？

22．在一次实验中，小明把一根弹簧的上端固定、在其下端悬挂物体，下面是测得的弹簧的长度y与所挂物体质量x的一组对应值．

①上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？

②当所挂物体重量为3千克时，弹簧多长？不挂重物时呢？

③若所挂重物为7千克时（在允许范围内），你能说出此时的弹簧长度吗？

23．如图在直角梯形中，，，，，，点P，Q同时从点B出发，其中点P以的速度沿着点运动；点Q以的速度沿着点运动，当点Q到达C点后，立即原路返回，当点P到达D点时，另一个动点Q也随之停止运动．

（1）当运动时间时，则三角形的面积为_____；

（2）当运动时间时，则三角形的面积为_____；

（3）当运动时间为时，请用含t的式子表示三角形的面积．